|
[b]Zadaci na 1. kolokviju[/b], 23.4.2021.
1. Neka su p i q = 3p + 2 oba prim brojevi, takvi da je (pq – 1)/4 kvadrat cijelog broja.
Dokazano je da tada postoji simetrični dizajn s
v = pq točaka te s k = (pq – 1)/4 i λ = (pq – 5)/16.
Provjerite da su uz te uvjete ispunjeni nužni uvjeti postojanja dizajna.
Odredite najmanju vrijednost p za koju su ispunjene pretpostavke te napišite vrijednosti (v, k, λ) za taj slučaj.
2. Ispitajte jesu li ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja simetričnih dizajna za sljedeće vrijednosti (v, k, λ):
(149,37,9), (353,33,3), (291,30,3) i (334, 37,4).
3. Za koji broj točaka v najbliži 100 (i ne veći od 100) znamo naučenim metodama konstruirati Hadamardov dizajn s
v točaka? Opišite detaljno korake u konstrukciji.
4.
(i) Dokazano je postojanje 4-(2^s + 1, 5, λ) dizajna za neparne vrijednosti s ≥ 5 i neke određene vrijednosti λ.
Koja najmanja vrijednost λ dolazi u obzir?
(ii) Postoji konstrukcija 7-(33,8,10) dizajna. Zamislimo da se derivirani dizajn takvog dizajna primijeni
na igru loto 7 od 35,
tako da se od ponuđenih 35 brojeva izabere njih 32 i sastavi dizajn.
Uz pretpostavku da se svih 7 izvučenih brojeva nađe među odabranima, koliko bi bilo garantiranih dobitaka
po 6 pogođenih brojeva? Koliko bi kombinacija trebalo uplatiti u tu svrhu?
5.
(a) Trojka (15,7,3) može se odnositi na poznati primjer Hadamardovog dizajna, koji znamo konstruirati.
(Kako? Ukratko opišite moguću konstrukciju).
(b) Budući da je 15 = 2^4 – 1 itd, može se promatrati dizajn
određene projektivne geometrije nad poljem GF(2). Što su točke,
a što blokovi u takvoj interpretaciji, unutar vektorskog prostora dimenzije 4?
Čine li 1-dimenzionalni i 2-dimenzionalni potprostori neki dizajn?
Pokušajte ilustrirati ovu geometriju polazeći od tetraedra, a po uzoru
na trokut kojim se standardno ilustrira PG(2,2).
Zadaci na 1. kolokviju, 23.4.2021.
1. Neka su p i q = 3p + 2 oba prim brojevi, takvi da je (pq – 1)/4 kvadrat cijelog broja.
Dokazano je da tada postoji simetrični dizajn s
v = pq točaka te s k = (pq – 1)/4 i λ = (pq – 5)/16.
Provjerite da su uz te uvjete ispunjeni nužni uvjeti postojanja dizajna.
Odredite najmanju vrijednost p za koju su ispunjene pretpostavke te napišite vrijednosti (v, k, λ) za taj slučaj.
2. Ispitajte jesu li ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja simetričnih dizajna za sljedeće vrijednosti (v, k, λ):
(149,37,9), (353,33,3), (291,30,3) i (334, 37,4).
3. Za koji broj točaka v najbliži 100 (i ne veći od 100) znamo naučenim metodama konstruirati Hadamardov dizajn s
v točaka? Opišite detaljno korake u konstrukciji.
4.
(i) Dokazano je postojanje 4-(2^s + 1, 5, λ) dizajna za neparne vrijednosti s ≥ 5 i neke određene vrijednosti λ.
Koja najmanja vrijednost λ dolazi u obzir?
(ii) Postoji konstrukcija 7-(33,8,10) dizajna. Zamislimo da se derivirani dizajn takvog dizajna primijeni
na igru loto 7 od 35,
tako da se od ponuđenih 35 brojeva izabere njih 32 i sastavi dizajn.
Uz pretpostavku da se svih 7 izvučenih brojeva nađe među odabranima, koliko bi bilo garantiranih dobitaka
po 6 pogođenih brojeva? Koliko bi kombinacija trebalo uplatiti u tu svrhu?
5.
(a) Trojka (15,7,3) može se odnositi na poznati primjer Hadamardovog dizajna, koji znamo konstruirati.
(Kako? Ukratko opišite moguću konstrukciju).
(b) Budući da je 15 = 2^4 – 1 itd, može se promatrati dizajn
određene projektivne geometrije nad poljem GF(2). Što su točke,
a što blokovi u takvoj interpretaciji, unutar vektorskog prostora dimenzije 4?
Čine li 1-dimenzionalni i 2-dimenzionalni potprostori neki dizajn?
Pokušajte ilustrirati ovu geometriju polazeći od tetraedra, a po uzoru
na trokut kojim se standardno ilustrira PG(2,2).
|
