Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zadaci s 2. kolokvija, 12.02.2022.

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Projektivna geometrija
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Juraj Siftar
Gost





PostPostano: 17:47 čet, 10. 11. 2022    Naslov: Zadaci s 2. kolokvija, 12.02.2022. Citirajte i odgovorite

[b]2. kolokvij (2021./2022.)
[/b]

1. (a) Postoji li na realnom projektivnom pravcu projektivitet koji neke
četiri različite točke A, B, C, D preslikava redom u B, C, D, A?
Ako postoji, kakav je to projektivitet s obzirom na fiksne točke?
Može li se prikazati kao kompozicija dva involutorna projektiviteta?

(b) Postoji li eliptički involutorni projektivitet A, B, C -^- D, C, B?
(Ovo pitanje nije povezano s prethodnim, osim što su A, B, C, D
različite točke na pravcu).

2. Neka je ABC trovrh u realnoj projektivnoj ravnini i S točka
različita od vrhova A, B, C te neka je p pravac koji nije incidentan
ni s jednim od vrhova A, B, C.
Spojnice vrhova A, B, C s točkom S sijeku suprotne stranice
trovrha redom u točkama D, E, F.
Pravac p siječe stranice AB, BC, CA redom u točkama M, N i P.

Dokažite da vrijednost umnoška dvoomjera
R(AB,FM) R(BC,DN) R(CA,EP) ne ovisi o
izboru točaka A, B, C, S i pravca p (uz navedene pretpostavke).

3. U proširenoj euklidskoj ravnini zadan je četverovrh PQST i
pravac t incidentan s točkom T, takav da nijedna od točaka
P, Q, S nije incidentna s t. Neka je C konika koja prolazi točkama
P, Q i S, a u točki T dodiruje (tangira) pravac t.
(a) Konstruirajte tangentu konike C u nekoj od točaka P, Q i S.
(b) Konstruirajte pol pravca PQ u polaritetu zadanom konikom C.

4. U projektivnoj ravnini PG(2, [b]R[/b]) promatramo skup svih konika
koje prolaze zadanom točkom A i diraju (tangiraju) zadani pravac
p u njegovoj točki P, također zadanoj. (A nije incidentna s p).
Odredite opću jednadžbu konika tog skupa u homogenim
koordinatama, uz osnovne točke odabrane po volji.
Ako za pravac p izaberemo beskonačno daleki pravac (proširene
euklidske ravnine) i točku (0:0:1) za točku P te A = (1:0:0),
kako bismo mogli opisati promatrani skup konika uzimajući
u obzir samo euklidsku ravninu?
2. kolokvij (2021./2022.)


1. (a) Postoji li na realnom projektivnom pravcu projektivitet koji neke
četiri različite točke A, B, C, D preslikava redom u B, C, D, A?
Ako postoji, kakav je to projektivitet s obzirom na fiksne točke?
Može li se prikazati kao kompozicija dva involutorna projektiviteta?

(b) Postoji li eliptički involutorni projektivitet A, B, C -^- D, C, B?
(Ovo pitanje nije povezano s prethodnim, osim što su A, B, C, D
različite točke na pravcu).

2. Neka je ABC trovrh u realnoj projektivnoj ravnini i S točka
različita od vrhova A, B, C te neka je p pravac koji nije incidentan
ni s jednim od vrhova A, B, C.
Spojnice vrhova A, B, C s točkom S sijeku suprotne stranice
trovrha redom u točkama D, E, F.
Pravac p siječe stranice AB, BC, CA redom u točkama M, N i P.

Dokažite da vrijednost umnoška dvoomjera
R(AB,FM) R(BC,DN) R(CA,EP) ne ovisi o
izboru točaka A, B, C, S i pravca p (uz navedene pretpostavke).

3. U proširenoj euklidskoj ravnini zadan je četverovrh PQST i
pravac t incidentan s točkom T, takav da nijedna od točaka
P, Q, S nije incidentna s t. Neka je C konika koja prolazi točkama
P, Q i S, a u točki T dodiruje (tangira) pravac t.
(a) Konstruirajte tangentu konike C u nekoj od točaka P, Q i S.
(b) Konstruirajte pol pravca PQ u polaritetu zadanom konikom C.

4. U projektivnoj ravnini PG(2, R) promatramo skup svih konika
koje prolaze zadanom točkom A i diraju (tangiraju) zadani pravac
p u njegovoj točki P, također zadanoj. (A nije incidentna s p).
Odredite opću jednadžbu konika tog skupa u homogenim
koordinatama, uz osnovne točke odabrane po volji.
Ako za pravac p izaberemo beskonačno daleki pravac (proširene
euklidske ravnine) i točku (0:0:1) za točku P te A = (1:0:0),
kako bismo mogli opisati promatrani skup konika uzimajući
u obzir samo euklidsku ravninu?


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Projektivna geometrija Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You cannot download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan