|
Prvi kolokvij - 8. svibnja 2023.
1. Ispitajte mogućnost postojanja, u smislu ispunjenosti poznatih
nužnih uvjeta, za simetrične (v, k, λ) dizajne s v = 109 točaka.
Pritom pretpostavljamo 2 < k < 108 kako bi se izbjegli trivijalni slučajevi,
a za komplementarne parove dizajna s k, v-k dovoljno je promatrati manju od tih vrijednosti.
(Blokovi komplementarnog dizajna su skupovni komplementi blokova
tog dizajna, na istom skupu točaka).
2. Dokažite da je za Hadamardov dizajn s v točaka, uz v > 3, broj v + 1 djeljiv s 4.
Koja je vrijednost v najbliža broju 109 takva da sigurno postoji Hadamardov dizajn s v točaka?
(Najbliža veća ili manja vrijednost).
Opišite kako bi se ta najbliža vrijednost mogla ostvariti. Nije potreban dokaz valjanosti metode.
3. Neka je v pozitivan cijeli broj oblika v = 6m+2 ili v = 6m +4. Ispitajte jesu li za svaki takav v
ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja 3-(v, 5, λ) dizajna s λ = 5(v – 4)/2.
Koje parametre ima dizajn dobiven deriviranjem ovakvog 3-dizajna u nekoj točki?
(Napomena: pokazano je da se svi dizajni s navedenim podacima mogu konstruirati).
4. Na pripremama košarkaškog kluba sudjeluje 10 košarkašica. Tokom svakog dana priprema
može se odigrati najviše 10 kratkih utakmica između dvije petorke igračica.
Trener želi ispitati koje su trojke igračica najefikasnije (kad igraju zajedno u timu). U tu svrhu
probne utakmice treba planirati tako da svaka trojka igra zajedno jednako mnogo puta.
Koliko bi dana trebale trajati pripreme da bi svaka moguća petorka odigrala
po jednu utakmicu (s komplementarnom petorkom igračica)?
Koliko bi utakmica tada odigrala svaka trojka?
Je li 10 dana priprema dovoljno za to? Ako nije dovoljno, mogu li se petorke izabrati na toliko načina
da 10 dana bude dovoljno, a da svaka trojka odigra čim više utakmica i to jednako za sve trojke?
Uputa: Ovdje je 3. zadatak možda koristan.
5. Konstruirajte 2-(9,3,1) dizajn to jest afinu ravninu reda 3 (na bilo koji način, dizajn je jedinstven
do izomorfizma).
Odredite neka dva automorfizma tog dizajna, različita od identičkog.
(Geometrijska skica može biti vrlo korisna).
Prvi kolokvij - 8. svibnja 2023.
1. Ispitajte mogućnost postojanja, u smislu ispunjenosti poznatih
nužnih uvjeta, za simetrične (v, k, λ) dizajne s v = 109 točaka.
Pritom pretpostavljamo 2 < k < 108 kako bi se izbjegli trivijalni slučajevi,
a za komplementarne parove dizajna s k, v-k dovoljno je promatrati manju od tih vrijednosti.
(Blokovi komplementarnog dizajna su skupovni komplementi blokova
tog dizajna, na istom skupu točaka).
2. Dokažite da je za Hadamardov dizajn s v točaka, uz v > 3, broj v + 1 djeljiv s 4.
Koja je vrijednost v najbliža broju 109 takva da sigurno postoji Hadamardov dizajn s v točaka?
(Najbliža veća ili manja vrijednost).
Opišite kako bi se ta najbliža vrijednost mogla ostvariti. Nije potreban dokaz valjanosti metode.
3. Neka je v pozitivan cijeli broj oblika v = 6m+2 ili v = 6m +4. Ispitajte jesu li za svaki takav v
ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja 3-(v, 5, λ) dizajna s λ = 5(v – 4)/2.
Koje parametre ima dizajn dobiven deriviranjem ovakvog 3-dizajna u nekoj točki?
(Napomena: pokazano je da se svi dizajni s navedenim podacima mogu konstruirati).
4. Na pripremama košarkaškog kluba sudjeluje 10 košarkašica. Tokom svakog dana priprema
može se odigrati najviše 10 kratkih utakmica između dvije petorke igračica.
Trener želi ispitati koje su trojke igračica najefikasnije (kad igraju zajedno u timu). U tu svrhu
probne utakmice treba planirati tako da svaka trojka igra zajedno jednako mnogo puta.
Koliko bi dana trebale trajati pripreme da bi svaka moguća petorka odigrala
po jednu utakmicu (s komplementarnom petorkom igračica)?
Koliko bi utakmica tada odigrala svaka trojka?
Je li 10 dana priprema dovoljno za to? Ako nije dovoljno, mogu li se petorke izabrati na toliko načina
da 10 dana bude dovoljno, a da svaka trojka odigra čim više utakmica i to jednako za sve trojke?
Uputa: Ovdje je 3. zadatak možda koristan.
5. Konstruirajte 2-(9,3,1) dizajn to jest afinu ravninu reda 3 (na bilo koji način, dizajn je jedinstven
do izomorfizma).
Odredite neka dva automorfizma tog dizajna, različita od identičkog.
(Geometrijska skica može biti vrlo korisna).
|
