|
[quote="951753"]Kako da dokažem da Harmonijski red divergira?[/quote]
npr. ovako:
niz njegovih parcijalnih sumâ sigurno strogo raste (jer su mu članovi pozitivni). Ako nađem njegov podniz (niza parcijalnih sumâ, ref) koji teži u +oo , to će značiti da i cijeli niz parcijalnih sumâ teži u +oo , pa red divergira (inFact, za samu divergenciju nije potrebna rastućost, ali je tako lakše vizualizirati što se događa).
Pa promotrimo 2^n-tu parcijalnu sumu. Induktivno dokažimo da je ona veća od n/2 :
Baza: S_(2^0)=S_1=1/1=1>0/2 .
Pretpostavka: S_(2^k)=1/1+1/2+...+1/2^k>k/2
Korak: S_(2^(k+1))=S_(2*2^k)=1/1+...+1/(2*2^k)
Sumu od 2*2^k članova razbijemo u dvije sume od po 2^k članova. Prva je upravo S_(2^k) , i ona je po pretpostavci indukcije veća od k/2 , a druga je suma preostalih, dakle
T_k:=1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/(2^(k+1)) .
Primijetimo da je u sumi T_k svaki pribrojnik veći ili jednak zadnjem (jer padaju), pa je
T>=2^k*1/(2^(k+1))=1/2 .
Dakle, S_(2^(k+1))=S_(2^k)+T_k>k/2+1/2=(k+1)/2 , čime je stvar dokazana.
Budući da je (S_(2^k))_k podniz od (S_n)_n , te je minoriran nizom (k/2)_k koji neograničeno raste, izlazi da (S_n)_n divergira, odnosno harmonijski red divergira. QED.
HTH,
| 951753 (napisa): | | Kako da dokažem da Harmonijski red divergira? |
npr. ovako:
niz njegovih parcijalnih sumâ sigurno strogo raste (jer su mu članovi pozitivni). Ako nađem njegov podniz (niza parcijalnih sumâ, ref) koji teži u +oo , to će značiti da i cijeli niz parcijalnih sumâ teži u +oo , pa red divergira (inFact, za samu divergenciju nije potrebna rastućost, ali je tako lakše vizualizirati što se događa).
Pa promotrimo 2^n-tu parcijalnu sumu. Induktivno dokažimo da je ona veća od n/2 :
Baza: S_(2^0)=S_1=1/1=1>0/2 .
Pretpostavka: S_(2^k)=1/1+1/2+...+1/2^k>k/2
Korak: S_(2^(k+1))=S_(2*2^k)=1/1+...+1/(2*2^k)
Sumu od 2*2^k članova razbijemo u dvije sume od po 2^k članova. Prva je upravo S_(2^k) , i ona je po pretpostavci indukcije veća od k/2 , a druga je suma preostalih, dakle
T_k:=1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/(2^(k+1)) .
Primijetimo da je u sumi T_k svaki pribrojnik veći ili jednak zadnjem (jer padaju), pa je
T>=2^k*1/(2^(k+1))=1/2 .
Dakle, S_(2^(k+1))=S_(2^k)+T_k>k/2+1/2=(k+1)/2 , čime je stvar dokazana.
Budući da je (S_(2^k))_k podniz od (S_n)_n , te je minoriran nizom (k/2)_k koji neograničeno raste, izlazi da (S_n)_n divergira, odnosno harmonijski red divergira. QED.
HTH,
|
