| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Void
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 11. 2002. (18:08:22)
Postovi: (FA)16
|
 Postano: 17:42 pet, 22. 10. 2004 Naslov: Svaka konveksna funkcija je neprekidna |
    |
|
Imam problema s jednim zadatkom, molio bih za pomoc, cijenim bilo kakvu natuknicu ili smjernice, te ideju dokaza...
f je konveksna funkcija ako vrijedi:
[latex] f(\ lambda x + (1-\ lambda) y) \ leq \ lambda f(x) + (1-\ lambda) f(y), \ forall x,y \ in R, \ forall \ lambda \ in [0,1] [/latex]
Tvrdnja: Svaka konveksna funkcija je neprekidna
Moja ideja je bila ovakva:
Fiksiram proizvoljne a, b iz R, te c iz <a, b>. Promatram neprekidnost u c.
Za x iz <a,b> gledam slucajeve:
1) x < c
2) x > c
3) x = c
Slucaj 3) je trivijalan... dovoljno je dokazati slucaj 1), slucaj 2) je analogan.
Slucaj 1):
Za x postoji jedinstveni [latex]\ lambda[/latex] t.d. je [latex]x = \ lambda a + (1-\ lambda) c[/latex]
Lako se pokaze da ako vrijedi [latex]|x-c| < \ delta[/latex] tada je i [latex]|\ lambda| |a-c| < \ delta[/latex]
Sada slijedi da je:
[latex]f(x) \ leq \ lambda f(a) + (1-\ lambda) f(c)[/latex]
[latex]f(x) - f(c) \ leq \ lambda (f(a) - f(c))[/latex]
Ako je [latex]f(x) > f(c)[/latex] tada je [latex] |f(x)-f(c)| \ leq |\ lambda| |f(a)-f(c)| [/latex]
Sada se lako namjesti delta tako da ovdje dobijemo epsilon...
Imam problema s drugim slucajem, kada je [latex]f(x) < f(c)[/latex]. Ne mogu dobiti ovako jednostavnu nejednakost iz koje mogu lako dokazati neprekidnost fje f.
Moze se i BSO pretpostaviti da je fja rastuca na <a,c> jer ako konveksna fja ima lokalni minimum u nekoj tocki, ona u toj tocki ima globalni minimum.
Ima li netko nekakvu ideju?
f je konveksna funkcija ako vrijedi:
Tvrdnja: Svaka konveksna funkcija je neprekidna
Moja ideja je bila ovakva:
Fiksiram proizvoljne a, b iz R, te c iz <a, b>. Promatram neprekidnost u c.
Za x iz <a,b> gledam slucajeve:
1) x < c
2) x > c
3) x = c
Slucaj 3) je trivijalan... dovoljno je dokazati slucaj 1), slucaj 2) je analogan.
Slucaj 1):
Za x postoji jedinstveni  t.d. je 
Lako se pokaze da ako vrijedi  tada je i 
Sada slijedi da je:
Ako je  tada je 
Sada se lako namjesti delta tako da ovdje dobijemo epsilon...
Imam problema s drugim slucajem, kada je  . Ne mogu dobiti ovako jednostavnu nejednakost iz koje mogu lako dokazati neprekidnost fje f.
Moze se i BSO pretpostaviti da je fja rastuca na <a,c> jer ako konveksna fja ima lokalni minimum u nekoj tocki, ona u toj tocki ima globalni minimum.
Ima li netko nekakvu ideju?
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 12:21 sub, 23. 10. 2004 Naslov: Re: Svaka konveksna funkcija je neprekidna |
|
|
|
[quote="Void"]Imam problema s jednim zadatkom, molio bih za pomoc, cijenim bilo kakvu natuknicu ili smjernice, te ideju dokaza...
f je konveksna funkcija ako vrijedi:
[latex] f(\lambda x + (1-\lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y), \forall x,y \in R, \forall \lambda \in [0,1] [/latex]
Tvrdnja: Svaka konveksna funkcija je neprekidna.[/quote]
Evo ti ideja:
Uzmi proizvoljnu točku c i dokazuj neprekidnost u c .
Sa svake strane od c moguce je da se dogode dvije stvari:
1) postoji poluokolina (s te strane) od c , takva da je na cijeloj toj poluokolini <c-delta,c> ili <c,c+delta> , f uvijek veca ili jednaka f(c) .
2) postoji niz tocaka koji tezi prema c (s te strane), takav da je u svim tim tockama f manji od f(c) .
Prvo, dokazi da su to sve alternative.
Drugo, to znaci da imas 4 slucaja: slijeva i zdesna mogu biti 11,12,21,22 .
Trece, dokazi da s one strane s koje imas svojstvo 1 , s te strane je funkcija neprekidna u c (slicno ovom sto si ti napravio, za lijevu stranu. Za desnu uvedi supstituciju mi:=1-lambda ). Time je pokriven slucaj 11 , i po polovica slucajeva 12 i 21 . Za drugu polovicu tih slucajeva se trebas malo potruditi (hint: iskoristi neprekidnost s one druge strane), a slucaj 22 je trivijalno kontradiktoran s konveksnoscu (hint: dovoljna ti je samo jedna tocka sa svake strane za kontradikciju).
Ako negdje zapne, javi.
Ako raspises dokaz do kraja, postaj ga ovdje. Mozes ti to... ako si FUI uspio raspisati... ;- ))
| Void (napisa): | Imam problema s jednim zadatkom, molio bih za pomoc, cijenim bilo kakvu natuknicu ili smjernice, te ideju dokaza...
f je konveksna funkcija ako vrijedi:
Tvrdnja: Svaka konveksna funkcija je neprekidna. |
Evo ti ideja:
Uzmi proizvoljnu točku c i dokazuj neprekidnost u c .
Sa svake strane od c moguce je da se dogode dvije stvari:
1) postoji poluokolina (s te strane) od c , takva da je na cijeloj toj poluokolini <c-delta,c> ili <c,c+delta> , f uvijek veca ili jednaka f(c) .
2) postoji niz tocaka koji tezi prema c (s te strane), takav da je u svim tim tockama f manji od f(c) .
Prvo, dokazi da su to sve alternative.
Drugo, to znaci da imas 4 slucaja: slijeva i zdesna mogu biti 11,12,21,22 .
Trece, dokazi da s one strane s koje imas svojstvo 1 , s te strane je funkcija neprekidna u c (slicno ovom sto si ti napravio, za lijevu stranu. Za desnu uvedi supstituciju mi:=1-lambda ). Time je pokriven slucaj 11 , i po polovica slucajeva 12 i 21 . Za drugu polovicu tih slucajeva se trebas malo potruditi (hint: iskoristi neprekidnost s one druge strane), a slucaj 22 je trivijalno kontradiktoran s konveksnoscu (hint: dovoljna ti je samo jedna tocka sa svake strane za kontradikciju).
Ako negdje zapne, javi.
Ako raspises dokaz do kraja, postaj ga ovdje. Mozes ti to... ako si FUI uspio raspisati... ;- ))
|
|
| [Vrh] |
|
Void
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 11. 2002. (18:08:22)
Postovi: (FA)16
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: 
|
| Postano: 17:48 sub, 23. 10. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Void"]Svaka konveksna funkcija je neprekidna.[/quote]
To vrijedi uz pretpostavku da je konveksna funkcija definirana na otvorenom konveksnom podskupu od R^n (u jednoj dimenziji to znači na [i]otvorenom[/i] intervalu).
Naime, funkcija
f:[0,1]->R, f(0)=f(1)=1, f(x)=0 za sve x iz <0,1>
je također konveksna, ali nije neprekidna. :shock:
Inače, za konveksne funkcije na otvorenom intervalu (dakle u jednoj dimenziji) neprekidnost slijedi iz teorema (Kurepina knjiga, MA2) koji kaže da konveksna funkcija na otvorenom intervalu čak ima lijevu i desnu derivaciju u svakoj točki. Specijalno je neprekidna (i slijeva i zdesna) u svakoj točki intervala.
Istina da tamo (barem u starom izdanju iz 1987.) stoji još i pretpostavka o neprekidnosti, ali je ona u dokazu nepotrebna, tj. ne koristi se. Ne možemo zamjeriti autoru - to je sve iz metodičkih razloga. :D
| Void (napisa): | | Svaka konveksna funkcija je neprekidna. |
To vrijedi uz pretpostavku da je konveksna funkcija definirana na otvorenom konveksnom podskupu od R^n (u jednoj dimenziji to znači na otvorenom intervalu).
Naime, funkcija
f:[0,1]→R, f(0)=f(1)=1, f(x)=0 za sve x iz <0,1>
je također konveksna, ali nije neprekidna. 
Inače, za konveksne funkcije na otvorenom intervalu (dakle u jednoj dimenziji) neprekidnost slijedi iz teorema (Kurepina knjiga, MA2) koji kaže da konveksna funkcija na otvorenom intervalu čak ima lijevu i desnu derivaciju u svakoj točki. Specijalno je neprekidna (i slijeva i zdesna) u svakoj točki intervala.
Istina da tamo (barem u starom izdanju iz 1987.) stoji još i pretpostavka o neprekidnosti, ali je ona u dokazu nepotrebna, tj. ne koristi se. Ne možemo zamjeriti autoru - to je sve iz metodičkih razloga. 
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 18:23 sub, 23. 10. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="vjekovac"][quote="Void"]Svaka konveksna funkcija je neprekidna.[/quote]
To vrijedi uz pretpostavku da je konveksna funkcija definirana na otvorenom konveksnom podskupu od R^n (u jednoj dimenziji to znači na [i]otvorenom[/i] intervalu).
Naime, funkcija
f:[0,1]->R, f(0)=f(1)=1, f(x)=0 za sve x iz <0,1>
je također konveksna, ali nije neprekidna. :shock: [/quote]
Općenito, da. No iz originalnog posta se vidi da njemu "konveksna funkcija" implicitno znači "definirana na cijelom |R " - pogledaj kvantifikatore. ;-)
| vjekovac (napisa): | | Void (napisa): | | Svaka konveksna funkcija je neprekidna. |
To vrijedi uz pretpostavku da je konveksna funkcija definirana na otvorenom konveksnom podskupu od R^n (u jednoj dimenziji to znači na otvorenom intervalu).
Naime, funkcija
f:[0,1]→R, f(0)=f(1)=1, f(x)=0 za sve x iz <0,1>
je također konveksna, ali nije neprekidna. |
Općenito, da. No iz originalnog posta se vidi da njemu "konveksna funkcija" implicitno znači "definirana na cijelom |R " - pogledaj kvantifikatore. 
|
|
| [Vrh] |
|
Void
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 11. 2002. (18:08:22)
Postovi: (FA)16
|
|
| [Vrh] |
|
nenad
Moderator
Pridružen/a: 08. 10. 2002. (14:08:30)
Postovi: (350)16
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
| Postano: 22:09 ned, 24. 10. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="vjekovac"]Ustvari, u knjizi prof. Kurepe se konveksna funkcija drukčije definira - zahtijeva se da vrijedi gornja (=Jensenova) nejednakost samo za [latex]\lambda=\frac{1}{2}[/latex], a tek za neprekidne funkcije je njegova definicija ekvivalentna gornjoj (uobičajenoj). Odatle ta "neekonomičnost" u iskazu.[/quote]
Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna ([latex]\lambda=\frac{1}{2}[/latex]), ali nije konveksna (ili ekvivalentno, ima prekid u unutrasnjosti domene)? Nikako ne uspjevam naci primjer, a cini mi se da midpoint konveksnost i konveksnost ipak nisu ekvivalentni pojmovi.
| vjekovac (napisa): | Ustvari, u knjizi prof. Kurepe se konveksna funkcija drukčije definira - zahtijeva se da vrijedi gornja (=Jensenova) nejednakost samo za  , a tek za neprekidne funkcije je njegova definicija ekvivalentna gornjoj (uobičajenoj). Odatle ta "neekonomičnost" u iskazu. |
Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna (), ali nije konveksna (ili ekvivalentno, ima prekid u unutrasnjosti domene)? Nikako ne uspjevam naci primjer, a cini mi se da midpoint konveksnost i konveksnost ipak nisu ekvivalentni pojmovi.
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 10:18 pon, 25. 10. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="krcko"]
Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna ([latex]\lambda=\frac{1}{2}[/latex]), ali nije konveksna (ili ekvivalentno, ima prekid u unutrasnjosti domene)? Nikako ne uspjevam naci primjer, a cini mi se da midpoint konveksnost i konveksnost ipak nisu ekvivalentni pojmovi.[/quote]
Trazis na krivom mjestu. ;-)
Takva funkcija nije konstruktibilna. No ako imas Hamelovu bazu, tad je relativno jednostavno. :-)
--SPOILER--
Pogledaj www.math.uu.se/~kiselman/pluri0.ps . Ctrl+F,"Hamel". 8)
| krcko (napisa): |
Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna (), ali nije konveksna (ili ekvivalentno, ima prekid u unutrasnjosti domene)? Nikako ne uspjevam naci primjer, a cini mi se da midpoint konveksnost i konveksnost ipak nisu ekvivalentni pojmovi. |
Trazis na krivom mjestu.
Takva funkcija nije konstruktibilna. No ako imas Hamelovu bazu, tad je relativno jednostavno. 
–SPOILER–
Pogledaj www.math.uu.se/~kiselman/pluri0.ps . Ctrl+F,"Hamel". 
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol:
|
| Postano: 19:35 pon, 25. 10. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="veky"]Trazis na krivom mjestu. ;-)[/quote]
Pa čini se da je ipak bilo pravo mjesto... :lol:
Konveksnih funkcija R->R ima c.
Midpoint-konveksnih funkcija R->R ima 2^c, što je >c.
(Naravno, u dokazu ovog posljednjeg se koristi AC: svi Q-linearni operatori R->R su takvi, a R nad Q ima dimenziju c.)
[quote="krcko"]Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna, ali nije konveksna[/quote]
[quote="veky"]Takva funkcija nije konstruktibilna.[/quote]
Da li ti to ovdje znači naprosto: ne može se dokazati egzistencija takve funkcije u ZF\AC (ili ti je konstruktibilnost ipak nešto "finije")?
Meni je to isto nekako "jasno", ali jel' imaš možda dokaz od toga? (Zanimalo bi me... Ne baš sam dokaz, nego da li dokaz postoji.) :wink:
| veky (napisa): | | Trazis na krivom mjestu. |
Pa čini se da je ipak bilo pravo mjesto... 
Konveksnih funkcija R→R ima c.
Midpoint-konveksnih funkcija R→R ima 2^c, što je >c.
(Naravno, u dokazu ovog posljednjeg se koristi AC: svi Q-linearni operatori R→R su takvi, a R nad Q ima dimenziju c.)
| krcko (napisa): | | Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna, ali nije konveksna |
| veky (napisa): | | Takva funkcija nije konstruktibilna. |
Da li ti to ovdje znači naprosto: ne može se dokazati egzistencija takve funkcije u ZF\AC (ili ti je konstruktibilnost ipak nešto "finije")?
Meni je to isto nekako "jasno", ali jel' imaš možda dokaz od toga? (Zanimalo bi me... Ne baš sam dokaz, nego da li dokaz postoji.)
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 21:39 pon, 25. 10. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="vjekovac"][quote="veky"]Trazis na krivom mjestu. ;-)[/quote]
Pa čini se da je ipak bilo pravo mjesto... :lol:
Konveksnih funkcija R->R ima c.
Midpoint-konveksnih funkcija R->R ima 2^c, što je >c.
(Naravno, u dokazu ovog posljednjeg se koristi AC: svi Q-linearni operatori R->R su takvi, a R nad Q ima dimenziju c.)[/quote]
Da, može i to... samo to je najslabiji rezultat - koristi AC, i još ne dade primjer, već samo egzistenciju. :-)
[quote][quote="krcko"]Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna, ali nije konveksna[/quote]
[quote="veky"]Takva funkcija nije konstruktibilna.[/quote]
Da li ti to ovdje znači naprosto: ne može se dokazati egzistencija takve funkcije u ZF\AC (ili ti je konstruktibilnost ipak nešto "finije")?[/quote]
Malo je finije. No da, glavna stvar je u tome da se bez AC ne može doći do nje.
[quote]Meni je to isto nekako "jasno", ali jel' imaš možda dokaz od toga? (Zanimalo bi me... Ne baš sam dokaz, nego da li dokaz postoji.) :wink:[/quote]
Hm. Imam dokaz da za Hamelovu bazu bitno treba AC (sa ZF je konzistentno da nema Hamelove baze). No nemam dokaz da za ovo gore treba Hamelova baza... to mi je "nekako jasno", što bi ti rekao. :-)
| vjekovac (napisa): | | veky (napisa): | | Trazis na krivom mjestu. |
Pa čini se da je ipak bilo pravo mjesto...
Konveksnih funkcija R→R ima c.
Midpoint-konveksnih funkcija R→R ima 2^c, što je >c.
(Naravno, u dokazu ovog posljednjeg se koristi AC: svi Q-linearni operatori R→R su takvi, a R nad Q ima dimenziju c.) |
Da, može i to... samo to je najslabiji rezultat - koristi AC, i još ne dade primjer, već samo egzistenciju.
| Citat: | | krcko (napisa): | | Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna, ali nije konveksna |
| veky (napisa): | | Takva funkcija nije konstruktibilna. |
Da li ti to ovdje znači naprosto: ne može se dokazati egzistencija takve funkcije u ZF\AC (ili ti je konstruktibilnost ipak nešto "finije")? |
Malo je finije. No da, glavna stvar je u tome da se bez AC ne može doći do nje.
| Citat: | | Meni je to isto nekako "jasno", ali jel' imaš možda dokaz od toga? (Zanimalo bi me... Ne baš sam dokaz, nego da li dokaz postoji.) |
Hm. Imam dokaz da za Hamelovu bazu bitno treba AC (sa ZF je konzistentno da nema Hamelove baze). No nemam dokaz da za ovo gore treba Hamelova baza... to mi je "nekako jasno", što bi ti rekao.
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
|
| [Vrh] |
|
kmataija
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 10. 2011. (18:06:02)
Postovi: (2)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
Ne znam hoces li vjerovat, palo mi je na pamet 2 min nakon postanja, ali nisam htio editirat jer sam pretpostavljao da ces biti brzi 
