|
[quote="Nok"] :idea: PseudoDEF.1 (X niz):
Neka je X_n niz kojemu su članovi također nizovi,
ali takvi da svaki član ima najviše konačno elemenata[/quote]
Najviše konačno? :zbunj: Nije mi jasno što htjede reći.
[quote] iz N_n [/quote]
Pod N_n vjerujem da misliš na [1..n] .
[quote]i da svaki od njih (osim prvog) opisuje svog prethodnika. [/quote]
Nije previše jasno što znači "opisuje". Ako misliš samo na ovaj primjer dolje, u redu, ali čini se da ciljaš na nešto općenitije...
Misliš da svaki član ovisi samo o svom prethodniku? No ako ti prethodnici ovise o svojim prethodnicima, teško je reći što znači "ovisiti samo o prethodniku".
[quote]Tada takav niz zovemo X nizom prvog reda.
Napomena:
X niz k-tog reda u kojem svaki član (osim prvih k)
opisuje k svojih prethodnika.[/quote]
Iste napomene kao gore.
[quote] :idea: Pseudo DEF.2 ("Konvergencija" X niza):
Za X niz kažemo da "konvergira", ako postoji n0 iz N, takav da
za svaki n >= n0 je x_n = x_n+1.[/quote]
Misliš, nizovi od n0-tog nadalje se međusobno podudaraju? Član po član, dakle specijalno su i jednakih duljinâ od n0-tog nadalje? Ok.
[quote]Nadalje, ako X niz konvergira, tada član x_n0
zovemo njegovim "limesom" i pišemo
limX (X_n) = x_n0.
Nap1:
Ako X niz konvergira, kažemo i da je "X-konvergentan".[/quote]
Napomena tebi: ovo što si dosad opisao je otprilike prostor slogova ("konačnih nizova") prirodnih brojeva, s najgrubljom mogućom topologijom. Just a note... :-) (*1)
[quote]Nap2:
Naravno, ako X niz konvergira, tada njegov limes nije samo
x_n0, već i svaki x_k, k > n0.[/quote]
Hm. Ali oni su jednaki, zar ne? Limes Xniza je niz (zapravo slog) prirodnih brojeva. Nije uopće bitno je li to x_5 ili x_15 ... zar ne?
[quote]I još mi treba jedna mala oznaka ...
Označimo sa P(k,n) broj k-ova u x_n-1 članu.( k iz N_n, n iz N )
P(k,1):= 0 za svaki k.[/quote]
Hm... ovo je kao specijalni slučaj?
To bi značilo da je x_0 prazan slog... to si htio?
[quote]Primjer (X-konvergentan niz):
x_1 = 1 P(1,1) = 0
x_2 = 1,1 P(1,2) = 1
x_3 = 2,1 P(1,3) = 2[/quote]
Pretpostavljam da navodiš samo one P-ove koji nisu 0 . (Ovdje npr., P(2,3)=P(3,3)=0 .)
[quote]x_4 = 1,1,1,2 P(1,4) = 1, P(2,4) = 1
x_5 = 3,1,1,2 P(1,5) = 3, P(2,5) = 1
x_6 = 2,1,1,2,1,3 P(1,6) = 2, P(2,6) = 1
x_7 = 3,1,2,2,1,3 P(1,7) = 2, P(2,7) = 2, P(3,7) = 1
x_8 = 2,1,2,2,2,3 P(1,8) = 2, P(2,8) = 2, P(3,8) = 2
x_9 = 1,1,4,2,1,3 P(1,9) = 1, P(2,9) = 4, P(3,9) = 1
x_10 = 3,1,1,2,1,3,1,4 P(1,10) = 3,P(2,10) = 1, P(3,10) = 1, P(4,10) = 1
x_11 = 4,1,1,2,2,3,1,4 P(1,11) = 4,P(2,11) = 1, P(3,11) = 2, P(4,11) = 1
x_12 = 3,1,2,2,1,3,2,4 P(1,11) = 3,P(2,11) = 2, P(3,11) = 1, P(4,11) = 2
x_13*= 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_14 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_15 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_16 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_17 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_18 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_19 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
... .
... .
Dakle, n0 = 13, i limX (X_n) = x_13 = x_14 = ...[/quote]
Za to vidjeti, dovoljno je vidjeti da je x_13=x_14 . Naime, ovako kako je definirano (dolje), svaki član zaista ovisi samo o prethodnom, tako da kad se jednom slog ponovi, on se ponavlja ciklički zauvijek. (Ovdje je period jednak 1 .)
[quote]U gornjem primjeru svaki član je oblika
P(k,n),k,P(k+1,n),k+1,...,P(max(n),n),max(n)},
gdje je max(n) najveći član u x_n-1 i max(1):= 0.[/quote]
Hm... misliš valjda da kreće od k=1 ? Ili što ti k znači?
U gornjem primjeru uvijek si kretao od 1 .
[quote]Meni je osobno zanimljivo to što ovaj niz "konvergira", unatoč
tome što je "čudno" definiran... :shock: [/quote]
Ima puno zanimljivih stvari u mathu. :-)
[quote]Pitanja: :roll:
1.Da li neka struktura slična X nizu već postoji u matematici? [/quote]
[*1]
[quote]2.Koji bi bio nužan i dovoljan uvjet konvergencije X niza? [/quote]
Također rekoh gore, (nužno i) dovoljno je da bude x_{n+1}=x_n za neki n .
[quote]Ili samo nužan?[/quote]
Recimo, nužno je da se ne pojavi period veći od 1 . Ako je x_{n+k}=x_n , i postoji l@[n..n+k] takav da je x_l!=x_n , znamo da Xniz neće konvergirati.
[quote]3.Možemo li nekako predvidjeti konvergenciju X niza, u ovisnosti
o početnom članu, o nekoliko prethodnih članova, P(k,n) ili
možda max(n)?[/quote]
Upravo se bavim time. :-)
I čini se da nema jednostavnog odgovora. :-/
No mislim (daleko sam od dokaza, ali imam neke argumente) da je svaki takav Xniz _periodičan_, a onda je naravno konvergentan akko je perioda 1 .
Recimo niz po gornjem pravilu koji počinje slogom (6) je perioda 2 , a isti takav niz koji počinje slogom (7) je perioda 3 .
[quote]4.Postoji li X niz k-tog reda za k > 1 koji je X-konvergentan?[/quote]
Definiraj P . Ili odgovarajuće poopći definiciju. Nije baš previše jasno kako napraviti x_n iz x_{n-1} i x_{n-2} na primjer.
[quote]5.Postoje li i neki drugi konv. X nizovi osim navedenog u primjeru?[/quote]
Naravno. Uz isti P i isto pravilo za sljedeći član, nizovi koji počinju svim slogovima brojeva od 1 do 5 , s 1 do 5 članova, su konvergentni (npr. početni član može biti (2,2,3) ili (2,2,2,2,2) ) -- _osim_ dva izuzetka. Prepuštam Forumašima da otkriju koji su to. ;-)
[quote]6*.Imamo li mi ikakve praktične koristi od X nizova?[/quote]
Sumnjam. No već će fizičari naći ponešto. ;-)
Ovo bi te moglo zanimati:
http://www.math.unl.edu/~zsunik/sds.pdf
| Nok (napisa): |  PseudoDEF.1 (X niz):
Neka je X_n niz kojemu su članovi također nizovi,
ali takvi da svaki član ima najviše konačno elemenata |
Najviše konačno?  Nije mi jasno što htjede reći.
Pod N_n vjerujem da misliš na [1..n] .
| Citat: | | i da svaki od njih (osim prvog) opisuje svog prethodnika. |
Nije previše jasno što znači "opisuje". Ako misliš samo na ovaj primjer dolje, u redu, ali čini se da ciljaš na nešto općenitije...
Misliš da svaki član ovisi samo o svom prethodniku? No ako ti prethodnici ovise o svojim prethodnicima, teško je reći što znači "ovisiti samo o prethodniku".
| Citat: | Tada takav niz zovemo X nizom prvog reda.
Napomena:
X niz k-tog reda u kojem svaki član (osim prvih k)
opisuje k svojih prethodnika. |
Iste napomene kao gore.
| Citat: | Pseudo DEF.2 ("Konvergencija" X niza):
Za X niz kažemo da "konvergira", ako postoji n0 iz N, takav da
za svaki n >= n0 je x_n = x_n+1. |
Misliš, nizovi od n0-tog nadalje se međusobno podudaraju? Član po član, dakle specijalno su i jednakih duljinâ od n0-tog nadalje? Ok.
| Citat: | Nadalje, ako X niz konvergira, tada član x_n0
zovemo njegovim "limesom" i pišemo
limX (X_n) = x_n0.
Nap1:
Ako X niz konvergira, kažemo i da je "X-konvergentan". |
Napomena tebi: ovo što si dosad opisao je otprilike prostor slogova ("konačnih nizova") prirodnih brojeva, s najgrubljom mogućom topologijom. Just a note...  (*1)
| Citat: | Nap2:
Naravno, ako X niz konvergira, tada njegov limes nije samo
x_n0, već i svaki x_k, k > n0. |
Hm. Ali oni su jednaki, zar ne? Limes Xniza je niz (zapravo slog) prirodnih brojeva. Nije uopće bitno je li to x_5 ili x_15 ... zar ne?
| Citat: | I još mi treba jedna mala oznaka ...
Označimo sa P(k,n) broj k-ova u x_n-1 članu.( k iz N_n, n iz N )
P(k,1):= 0 za svaki k. |
Hm... ovo je kao specijalni slučaj?
To bi značilo da je x_0 prazan slog... to si htio?
| Citat: | Primjer (X-konvergentan niz):
x_1 = 1 P(1,1) = 0
x_2 = 1,1 P(1,2) = 1
x_3 = 2,1 P(1,3) = 2 |
Pretpostavljam da navodiš samo one P-ove koji nisu 0 . (Ovdje npr., P(2,3)=P(3,3)=0 .)
| Citat: | x_4 = 1,1,1,2 P(1,4) = 1, P(2,4) = 1
x_5 = 3,1,1,2 P(1,5) = 3, P(2,5) = 1
x_6 = 2,1,1,2,1,3 P(1,6) = 2, P(2,6) = 1
x_7 = 3,1,2,2,1,3 P(1,7) = 2, P(2,7) = 2, P(3,7) = 1
x_8 = 2,1,2,2,2,3 P(1, = 2, P(2, = 2, P(3, = 2
x_9 = 1,1,4,2,1,3 P(1,9) = 1, P(2,9) = 4, P(3,9) = 1
x_10 = 3,1,1,2,1,3,1,4 P(1,10) = 3,P(2,10) = 1, P(3,10) = 1, P(4,10) = 1
x_11 = 4,1,1,2,2,3,1,4 P(1,11) = 4,P(2,11) = 1, P(3,11) = 2, P(4,11) = 1
x_12 = 3,1,2,2,1,3,2,4 P(1,11) = 3,P(2,11) = 2, P(3,11) = 1, P(4,11) = 2
x_13*= 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_14 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_15 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_16 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_17 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_18 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
x_19 = 2,1,3,2,2,3,1,4 .
... .
... .
Dakle, n0 = 13, i limX (X_n) = x_13 = x_14 = ... |
Za to vidjeti, dovoljno je vidjeti da je x_13=x_14 . Naime, ovako kako je definirano (dolje), svaki član zaista ovisi samo o prethodnom, tako da kad se jednom slog ponovi, on se ponavlja ciklički zauvijek. (Ovdje je period jednak 1 .)
| Citat: | U gornjem primjeru svaki član je oblika
P(k,n),k,P(k+1,n),k+1,...,P(max(n),n),max(n)},
gdje je max(n) najveći član u x_n-1 i max(1):= 0. |
Hm... misliš valjda da kreće od k=1 ? Ili što ti k znači?
U gornjem primjeru uvijek si kretao od 1 .
| Citat: | Meni je osobno zanimljivo to što ovaj niz "konvergira", unatoč
tome što je "čudno" definiran...  |
Ima puno zanimljivih stvari u mathu.
| Citat: | Pitanja: 
1.Da li neka struktura slična X nizu već postoji u matematici? |
[*1]
| Citat: | | 2.Koji bi bio nužan i dovoljan uvjet konvergencije X niza? |
Također rekoh gore, (nužno i) dovoljno je da bude x_{n+1}=x_n za neki n .
Recimo, nužno je da se ne pojavi period veći od 1 . Ako je x_{n+k}=x_n , i postoji l@[n..n+k] takav da je x_l!=x_n , znamo da Xniz neće konvergirati.
| Citat: | 3.Možemo li nekako predvidjeti konvergenciju X niza, u ovisnosti
o početnom članu, o nekoliko prethodnih članova, P(k,n) ili
možda max(n)? |
Upravo se bavim time.
I čini se da nema jednostavnog odgovora. :-/
No mislim (daleko sam od dokaza, ali imam neke argumente) da je svaki takav Xniz _periodičan_, a onda je naravno konvergentan akko je perioda 1 .
Recimo niz po gornjem pravilu koji počinje slogom (6) je perioda 2 , a isti takav niz koji počinje slogom (7) je perioda 3 .
| Citat: | | 4.Postoji li X niz k-tog reda za k > 1 koji je X-konvergentan? |
Definiraj P . Ili odgovarajuće poopći definiciju. Nije baš previše jasno kako napraviti x_n iz x_{n-1} i x_{n-2} na primjer.
| Citat: | | 5.Postoje li i neki drugi konv. X nizovi osim navedenog u primjeru? |
Naravno. Uz isti P i isto pravilo za sljedeći član, nizovi koji počinju svim slogovima brojeva od 1 do 5 , s 1 do 5 članova, su konvergentni (npr. početni član može biti (2,2,3) ili (2,2,2,2,2) ) – _osim_ dva izuzetka. Prepuštam Forumašima da otkriju koji su to. 
| Citat: | | 6*.Imamo li mi ikakve praktične koristi od X nizova? |
Sumnjam. No već će fizičari naći ponešto.
Ovo bi te moglo zanimati:
http://www.math.unl.edu/~zsunik/sds.pdf
|
