Nakon dugo vremena, u kojem sam mislila da sam na vjezbama studente oducila od greske koju cu nize opisati, na jednom mi se roku opet pojavila takva greska, pa mislim da je dobro da ju ovdje spomenem...
Radi se o odredjivanju supremuma nekog skupa ordinalnih brojeva, konkretno u kontekstu suma i produkata.
Recimo da imamo situaciju da nakon sredjivanja izraza dobijemo:
[i]sup[/i] { [i]omega[/i]^(n^2) : n iz N}
Taj je supremum po pravilu "skupljanja udesno" (mislim na ona tri pravila:
[i]sup[/i]{o+p: p<r}=o+r, [i]sup[/i]{op: p<r}=or, [i]sup[/i]{o^p: p<r}=o^r)
jednak
[i]omega[/i]^[i]sup[/i]{n^2 : n iz N}
Standardna greska jest da se zadnji supremum izracuna kao [i]omega[/i]^2.
Naime, tocno je
[i]sup[/i]{n^2 : n iz N}=[i]omega[/i]
Zasto? Supremum je po definiciji najmanja gornja medja. Ako je n iz N, onda je i n^2 iz N tj. n^2<[i]omega[/i], dakle je [i]omega[/i] jedna gornja medja svih n^2 za n iz N. Postoji li manja? Ne, jer kad bi postojala, postojao bi prirodan broj k (jedini brojevi manji od [i]omega[/i] su prirodni) takav da je n^2<k za sve n iz N, sto je (nadam se svima ocito) nemoguce. Stoga je [i]omega[/i] najmanja gornja medja u ovom kontekstu.
Uocite da je [i]omega[/i] supremum bilo kojeg skupa oblika { f(n) : n iz N } ako izrazi f(n) nisu odozgo ograniceni nekim prirodnim brojem i ako je f:N->N.
No, pripazite: u nekim kontekstima tj. zadacima pojavljuju se i supremumi koji ne idu samo po n iz N (iako se obicno na koncu svode na takve supremume).
FMB :patkica:
Nakon dugo vremena, u kojem sam mislila da sam na vjezbama studente oducila od greske koju cu nize opisati, na jednom mi se roku opet pojavila takva greska, pa mislim da je dobro da ju ovdje spomenem...
Radi se o odredjivanju supremuma nekog skupa ordinalnih brojeva, konkretno u kontekstu suma i produkata.
Recimo da imamo situaciju da nakon sredjivanja izraza dobijemo:
sup { omega^(n^2) : n iz N}
Taj je supremum po pravilu "skupljanja udesno" (mislim na ona tri pravila:
sup{o+p: p<r}=o+r, sup{op: p<r}=or, sup{o^p: p<r}=o^r)
jednak
omega^sup{n^2 : n iz N}
Standardna greska jest da se zadnji supremum izracuna kao omega^2.
Naime, tocno je
sup{n^2 : n iz N}=omega
Zasto? Supremum je po definiciji najmanja gornja medja. Ako je n iz N, onda je i n^2 iz N tj. n^2<omega, dakle je omega jedna gornja medja svih n^2 za n iz N. Postoji li manja? Ne, jer kad bi postojala, postojao bi prirodan broj k (jedini brojevi manji od omega su prirodni) takav da je n^2<k za sve n iz N, sto je (nadam se svima ocito) nemoguce. Stoga je omega najmanja gornja medja u ovom kontekstu.
Uocite da je omega supremum bilo kojeg skupa oblika { f(n) : n iz N } ako izrazi f(n) nisu odozgo ograniceni nekim prirodnim brojem i ako je f:N→N.
No, pripazite: u nekim kontekstima tj. zadacima pojavljuju se i supremumi koji ne idu samo po n iz N (iako se obicno na koncu svode na takve supremume).
FMB 
_________________
"Have patience. Go where you must, and hope."
(Gandalf in J.R.R.Tolkien's "The Lord of the Rings")
