tangencijalne ravnine

[Gost]

1. Odredite sve točke plohe 3x2 + 2y2+ z2= 6z u kojima tangencijalna ravnina paralelna s osi x, i prolazi točkom (3,4,-4).

Nadam se da će se naći neka dobra duša koja će se malo pozabaviti ovim zadatkom jer ga ja nikako ne mogu riješiti do kraja.

[vjekovac]

f(x,y,z)=3x2+2y2+z2-6z
Ploha je dana jednadžbom f(x,y,z)=0. (To je zapravo nekakav elipsoid ali nije važno.)
Gradijent od f u točki (x0,y0,z0) je
(6x0, 4y0, 2z0 -6)
Zato tangencijalna ravnina u točki (x0,y0,z0) ima jednadžbu:
6x0(x-x0)+4y0(y-y0)+(2z0-6)(z-z0)=0

Da bi ta ravnina bila paralelna s osi x morao bi joj vektor normale (tj. gornji gradijent) biti okomit na os x, tj. okomit na vektor (1,0,0).
Dakle,
6x0*1+4y0*0+(2z0-6)*0=0,
odakle dobivamo x0=0.

Da bi ta ravnina prolazila kroz (3,4,-4) mora biti
6x0(3-x0)+4y0(4-y0)+(2z0-6)(-4-z0)=0
što zbog x0=0 nakon dijeljenja s -2 daje
2y0^2 -8y0 +z0^2 +z0 -12 =0

Konačno, kako (x0,y0,z0) leži na plohi, mora biti (zbog x0=0):
2y0^2 + z0^2 - 6z0 =0

Oduzimanjem posljednje dvije jednadžbe dobivamo:
-8y0+7z0-12=0
odakle je y0=(7z0-12)/8
pa uvrštavanje u drugu jednadžbu daje
9z0^2 -40z0 +16 =0
što ima za rješenja
z0=4/9 i z0=4

Zato su tražene točke
(0,-10/9,4/9) i (0,2,4)

[Gost]

Evo još nekoliko zadataka!

1. Na plohi x^3 - xy^2 -z^2/4 + 4/27 = 0 odredite sve točke u kojima su tangencijalne ravnine paralelne ravnini z = 2x.

Jednadžba tangencijalne ravnine je
(3x0^2 - y0^2)(x - x0) - 2x0y0(y - y0) - z0/2 (z -z0)=0.
Paralelna je sa z = 2x pa iz toga dobijem da je
3x0^2 - y0^2= 2λ
x0y0=0
z0=2λ

Za x0=0 dobijem točke (0, 2/ (√3√3), -4/ 3√3), (0, - 2/ (√3√3), -4/ 3√3).
Za y0=0 dobijem x0^3 (1 - 9x0/4) = - 4/27. x0 = ???

2. Na plohi z = x^2y + xy^2 + x + y + 1 uočimo dodirne točke svih tangencijalnih ravnina koje prolaze točkom (2,2,13). Pokažite skup svih takvih točaka kao uniju jednoparametarskih krivulja, parametriziranih pomoću prve varijable, tj. u obliku (x, y(x), z(x)).