|
[quote="Anonymous"]Imam jedno pitanje, a tiće se ovog zadatka, zadatak glasi ovako: Izračunati drugu parcijalnu derivaciju po x i drugu parcijalnu derivaciju po y u svim točkama u kojima one postoje, ako je f(x,y):= sqrt(x^2+2y^4).
Zapravo ja neznam odakle da počenem, da li trebam dokazivati neprekidnost i ako je neprekidna onda difrerencijabilnost ili samo da izračunam bez obzira da li sam dokazala neprekidnost i dif. parcijalne derivacije ili to nemože.[/quote]
Hm. Ne, parcijalne derivacije mogu postojati i u točkama u kojima funkcija ima prekid, jer je parcijalna derivacija naprosto derivacija (realne) funkcije (realne varijable) koju dobiješ restringiranjem dane funkcije na koordinatnu os (po kojoj trazis tu parc. der.). Znači fora je u tome što dana restrikcija može biti jako lijepa (čak i analitička), no to baš ništa ne govori ponašanju funkcije oko te točke van te koordinatne osi.
Ako parc. der. u danoj točki postoji, svakako možeš zaključiti da je restrikcija funkcije na tu koordinatnu os neprekidna u toj točki, ali nikako da je cijela funkcija neprekidna u toj točki.
Stoga moraš redom provjeravati i računati. ah taj život... :drinking:
Prirodna domena ove funkcije je čitav [latex]\mathbb{R}^2[/latex] gdje je i neprekidna (kao kompozicija polinoma i drugog korijena)
Također je f i diferencijabilna na [latex]\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}[/latex] (jer je funkcija "drugi korijen" derivabilna na [latex]\mathbb{R}\setminus\{(0,0)\}[/latex]. Znači na [latex]\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}[/latex] parcijalne derivacije računaš standardno (zamrzneš jednu varijablu i deriviraš po drugoj), dok parcijalne derivacije od f u 0 (provjeravaš) računaš po definiciji:
[latex]\partial_{x} f(0,0)=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=
\lim_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt{t^2}}{t}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{|t|}{t}[/latex],
a taj limes ne postoji (onda nema ni smisla tražiti drugu parcijanlu derivaciju po varijabli x, budući da prva parc. derivacija po x ne postoji).
Sada istu stvar napraviš po varijabli y. (tamo će limes postojati)
[latex]\partial_{y} f(0,0)=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=
\lim_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt{2t^4}}{t}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt{2}t^2}{t}=\lim_{t \rightarrow 0}\sqrt{2}t=0[/latex].
I sad, još trebaš provjeriti (izračunati) [latex]\partial^2_{y} f(0,0)[/latex] i to na istu foru kao i gore. Znači [latex]\partial_yf(x,y)=8y^3\cdot(x^2+2y^4)^{-\frac{1}{2}}, \ (x,y) \in \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}[/latex], pa imamo
[latex]\partial^2_{y} f(0,0)=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{\partial_{y}f(0,t)-\partial_{y}f(0,0)}{t}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{\frac{8t^3}{\sqrt{2t^4 }}-0}{t}=\lim_{t \rightarrow 0} 2^{\frac{5}{2}}=2^{\frac{5}{2}} [/latex].
Srdačan pozdrav,
dr. Exodus :croatia:
| Anonymous (napisa): | Imam jedno pitanje, a tiće se ovog zadatka, zadatak glasi ovako: Izračunati drugu parcijalnu derivaciju po x i drugu parcijalnu derivaciju po y u svim točkama u kojima one postoje, ako je f(x,y):= sqrt(x^2+2y^4).
Zapravo ja neznam odakle da počenem, da li trebam dokazivati neprekidnost i ako je neprekidna onda difrerencijabilnost ili samo da izračunam bez obzira da li sam dokazala neprekidnost i dif. parcijalne derivacije ili to nemože. |
Hm. Ne, parcijalne derivacije mogu postojati i u točkama u kojima funkcija ima prekid, jer je parcijalna derivacija naprosto derivacija (realne) funkcije (realne varijable) koju dobiješ restringiranjem dane funkcije na koordinatnu os (po kojoj trazis tu parc. der.). Znači fora je u tome što dana restrikcija može biti jako lijepa (čak i analitička), no to baš ništa ne govori ponašanju funkcije oko te točke van te koordinatne osi.
Ako parc. der. u danoj točki postoji, svakako možeš zaključiti da je restrikcija funkcije na tu koordinatnu os neprekidna u toj točki, ali nikako da je cijela funkcija neprekidna u toj točki.
Stoga moraš redom provjeravati i računati. ah taj život... 
Prirodna domena ove funkcije je čitav  gdje je i neprekidna (kao kompozicija polinoma i drugog korijena)
Također je f i diferencijabilna na  (jer je funkcija "drugi korijen" derivabilna na  . Znači na parcijalne derivacije računaš standardno (zamrzneš jednu varijablu i deriviraš po drugoj), dok parcijalne derivacije od f u 0 (provjeravaš) računaš po definiciji:
 ,
a taj limes ne postoji (onda nema ni smisla tražiti drugu parcijanlu derivaciju po varijabli x, budući da prva parc. derivacija po x ne postoji).
Sada istu stvar napraviš po varijabli y. (tamo će limes postojati)
 .
I sad, još trebaš provjeriti (izračunati)  i to na istu foru kao i gore. Znači  , pa imamo
 .
Srdačan pozdrav,
dr. Exodus 
|
