zajednički faktor za dva polinoma (zadatak)

[kum]

molim nekoga da mi pomogne sa ovim zadatkom;
dati su realni polinomi:
p(x)=x^3+ax^2+8x-6,
q(x)=x^3+bx^2-8x+10.
Odredite a i b tako da dati polinomi imaju zajednički faktor oblika x^2+px+q,
Za tako nađene a i b odredite sve nule zadanih polinoma.
LJUDI HVALA VAM

[kum2]

Ako su P(x) i Q(x) djeljivi s x^2+px+q, onda je time djeljiva i njihova razlika
P(x)-Q(x)=(a-b)x^2+16x-16
No u tom slučaju mora biti
(a-b)x^2+16x-16=(a-b)(x^2+px+q)
te je specijalno
p=16/(a-b), q=-16/(a-b) pa je q=-p.

Nadalje, kako je P(x) djeljiv s x^2+px-p, postoji c€R takav da je
x^3+ax^2+8x-6=(x^2+px-p)(x+c)
Uspoređivanje koeficijenata uz 1 i x daje:
pc=6, pc-p=8
pa je p=6-8=-2, c=6/(-2)=-3.
Uspoređivanje koeficijenata uz x^2 daje:
a=c+p=-5

Konačno, iz a-b=16/p dobivamo
b=a-16/p=3

Dakle, polinomi su:
x^3-5x^2+8x-6=(x-3)(x^2-2x+2)
i on ima nultočke 3, 1-i, 1+i
x^3+3x^2-8x+10=(x+5)(x^2-2x+2)
i on ima nultočke -5, 1-i, 1+i

[kum]

Ja sam zapravo znao da zajednički faktor dva polinoma mora također da dijeli i njihovu razliku ali sam se zapetljao kada sam kod izjednačenja sa nulom ostatka pomenutog dijeljenja htio da pronađem koeficijente a i b...HVALA na pomoći

[Tonci]