Zadatak - minimum funkcije (zadatak)

[johnny]

Moze li mi netko molim vas pomoc oko ovog zadatka?!

Treba odrediti minimum i maksimum funkcije f(x)=(Ax,x) na skupu {x iz R7 : (x,x) =1} pri cemu matrica A ima
na dijagonali i na mjestu (7,1) dvojke , a inace nule.
Zapoceh preko Lagrangeove f-je itd. ali jednostavno se zbunim kad sve to potrpam u sustav

[Unnamed One]

Lagrangeov sustav koji ja dobijem je

2x_i=t*x_i za i>1, i<7. (1)
2x_1+x_7=t*x_1 (2)
x_1+2x_7=t*x_7 (3)
||x||=1 (4)

Iz jednadžbi (2) & (3) dobije se

x_7(t-3)(t-1)=0.


1. slučaj: t=3

Iz (1) zaključujemo x_i=0 za i>1, i<7 pa onda iz (2), (3), (4)

x_1=0.5sqrt(2)
x_7=0.5sqrt(2)

ili

x_1=-0.5sqrt(2)
x_7=-0.5sqrt(2).


2. slučaj: t=1

Iz (1) slijedi opet x_i=0 za i>1, i<7 pa onda iz (2), (3), (4)

x_1=0.5sqrt(2)
x_7=-0.5sqrt(2)

ili

x_1=-0.5sqrt(2)
x_7=0.5sqrt(2).


3. slučaj: t!=3 & t!=1

Iz (2) & (3) je

x_1=0
x_7=0

i ostane nam (4) jer iz (1) ne možemo puno toga zaključiti.


Kako je f-ja f neprekidna na kompaknom skupu po Weierstassovom tm-u ona postiže minimum i maximum. On će se postizati u nekoj od točaka koje smo dobili kao rješenja sustava. Rješenja se uvrste u f...

1. slučaj => f(x)=1
2. slučaj => f(x)=3
3. slučaj => f(x)=2

pa se minimum postiže u 1., a maksimum u 2. slučaju.