Kako dokazati da smo našli sva rješenja jednadžbe? (objasnjenje gradiva)

[Perosito]

Ko što piše u naslovu, zanima me kako dokazati da smo našli sva rješenja jednadžbe? Pretpostavljam da graf nije dokaz (kao što piše u prošlogodišnjim kolokvijima).

_________________
Nije sve tako sivo... Kad imaš s nekim otić na pivo

[goranm]

Ovisi o funkciji.
Ako je funkcija strogo rastuća na nekom intervalu [a,b], i ako vrijedi da je f(a)<0, a f(b)>0 (obrnuto za strogo padajuću) onda očito postoji jedna nultočka.

Ako je npr. f(x)=0, f(x)=g(x)-h(x), onda je g(x)=h(x).
Sad tražiš presjecišta fja g(x) i h(x). Ako je njihovo presjecište u nekom intervalu [a,b] i ako npr. g strogo pada, a h strogo raste na tom intervalu onda ako je g(a)>h(a) i g(b)<h(b) onda opet očito na intervalu [a,b] imaš jednu nultočku.

Funkciju koja na intervalu [a,b] i raste i pada možeš podijelit na interval gdje samo raste i gdje samo pada itd..

_________________
The Dude Abides

[beros]

Ono što je kolega goranm napisao je točno, ali za slučaj neprekidne funkcije. Ako Vaša funkcija ima prekide ne mora vrijediti

f(a)f(b)<0 => postoji x iz <a,b> : f(x)=0.

Tada funkciju f treba promatrati na onim područjima na kojima je neprekidna, a onda postupak vrijedi.

Također prilikom dokazivanja možete koristiti ocjene: ako pokažete da je na nekom intervalu |f(x)|>M>0 za sve x iz tog intervala, onda tu sigurno nema nultočaka (npr. sin x+2 sigurno nema nultočaka).

[Perosito]

Hvala, sad je jasnije!

_________________
Nije sve tako sivo... Kad imaš s nekim otić na pivo