pismeni(la2)

[ja]

U ovogodisnjem pismenom iz la2 (10.02.2003.) naisla sam na pitanje vezano uz lin. operatore i potprostore ali kad je zadan prostor svih realnih nizova, pa me zanima kak se to rejsava, tj. kak s nizovima odredit dal' je nesto potprostor, koja je baza, dimenzija...
Pa ak bi mi neko mogo pomoc bila bih jako zahvalna

[C'Tebo]

A daj napiši kako je zadatak izgledo.
Ovako, napamet može gro toga bit'.

_________________
Click me!
_______________________
Bad panda!

[ja]

U prostoru svih realnih nizova RN zadan je skup L svih nizova a(n) iz R N takvih da je a(n+2)-2a(n)=0, n iz N
a)dokazite da je L potprostor od R N i odredite mu bazu i dimanziju
b)dokazite da je preslikavanje A iz L u L koje nizu a(n) pridruzuje niz a(n+2) (tj. niz s opcim clanom a(n+2)) linearni operator
c)odredite matricu operatora A iz L u L u nadjenoj bazi
d)odredite jezgru i sliku operatora A

Eto, to je zadatak malo je poduzi ali problem je a) i b) i c)
pa ako mozes pomoci bila bih zahvalna

[C'Tebo]

neka su x i y iz L, a i b iz R
Pošto je x(n+2)-2x(n)=0, n € N i isto za y, tako je i x(3)-2x(1)=0.
Dakle, x(3)=2x(1)
x(5)=2x(3)=2^2*x(1)
x(7)=2x(5)=2^3*x(1)
Općenito, x(n)=2^[(n-1)/2)]*x(1), ako je n neparan.
x(4)=2x(2)
x(6)=4x(2)
x(=8x(2)
Općenito, x(n)=2^[n/2-1]*x(2), ako je n paran.
Baza nizova u Rn izgleda, više-manje, ovako:
(1,0,...............), (0,1,0,...........), (0,0,1,0,...........)
Dakle, nesuvislo govoreći, koda imaš Rn, samo je n jaaaako velik
Kako znaš da ti je na trećem mjestu dva puta ovo na prvom, tako znaš da ti je na četvrtom dva puta ovo na ovom drugom, na petom je dva puta ovo sa trećeg mjesta itd...
Trebaš odrediti šta ti je na prvom i drugom mjestu.
Dakle, ako je potprostor, onda je dimenzije dva, pošto se sve ovo ostalo može odrediti preko prva dva mjesta. To je sve uvjetno govoreno, naravno, pošto je to nekakva paralela k.d-b.d.

Sad imaš
[ax+by](n) mora biti u L, recimo n paran.
ax(n)+by(n)=a(x(n)-2x(n-2)+2x(n-2))+b(y(n)-2y(n-2)+2y(n-2))
Uočiš nule i imaš 2[ax(n-2)+by(n-2)]
Kad to malo raspišeš, imat ćeš
2^(nešto)*[ax(2)+by(2)] Ovo nešto će ti sad biti, uz malo detaljnije gledanje, točno n/2-1.
Slično i za n neparan.

Sad, baza.
a(n)=2^((n-1)/2) , n neparan.
_____0, inače
b(n)=2^(n/2-1), n paran
_____0, inače.
To ti je baza. Malo to provjeri i uvjerit ćeš se.

Sad, ne znam ni sam je l' dovdje točno, al' valjda je.
Ak' nije nek' neko malo obrazovaniji od mene uskoči.
Ostatak sutra, nemam sad vremena

_________________
Click me!
_______________________
Bad panda!

[ja]

puno hvala

[C'Tebo]

Idem probat ovo drugo, no nisam sasvim siguran.
Neka su x i y € L i a, b baza prostora L
I neka su w i v neki skalari.
Tada je:
A((wx+vy)(n))=(wx+vy)(n+2)=(definicija zbrajanja funkcija i množenja istih sa skalarom)=wx(n+2)+vy(n+2)=wA(x(n))+vA(y(n))
Dakle A je linearan.
Kako se određuje matrica, ne sjećam se skroz točno, ali mislim da ide nekako ovako:
A(a(n))=a(n+2)=2*a(n)
A(b(n))=b(n+2)=2*b(n)
Dakle, A ima matričnu reprezentaciju: