RP2 - Predavanje 4

Izvor: KiWi

(Usporedba među inačicama)
Skoči na: orijentacija, traži
(→Funkcije zadane pomoću integrala)
 
(Nije prikazano 18 međuinačica)
Redak 10: Redak 10:
Provjerite koliko se ovako izračunata približna vrijednost derivacije razlikuje od stvarne vrijednosti derivacije. Ispitajte za funkcije <math>sin(x)</math> i <math>x^5</math>
Provjerite koliko se ovako izračunata približna vrijednost derivacije razlikuje od stvarne vrijednosti derivacije. Ispitajte za funkcije <math>sin(x)</math> i <math>x^5</math>
 +
 +
=== Zadatak ===
 +
Odredite približnu vrijednost derivacije funkcije <math>f(x)=\frac{x^3-1}{2x+7}</math> za razne vrijednosti <math>\big. h</math> i usporedite sa stvarnom vrijednošću derivacije ove funkcije koju ste odredili pomoću sustava Wolfram Alpha
== Integral ==
== Integral ==
Redak 22: Redak 25:
* <math>f(x)=\frac{x^3-1}{2x+7}</math>
* <math>f(x)=\frac{x^3-1}{2x+7}</math>
 +
 +
* [[Datoteka:integral.png]]
* <math>\ f(x)=e^{\sin x}</math>
* <math>\ f(x)=e^{\sin x}</math>
 +
 +
* [[Datoteka:integral2.png|659px]]
* <math>\ f(x)=a \sin (b x)</math>
* <math>\ f(x)=a \sin (b x)</math>
Za sve ove funkcije odredite vrijednost neodređenog i određenog integrala koristeći sustav Wolfram Alpha. Usporedite vrijednosti dobivene numeričkom metodom i stvarne vrijednosti
Za sve ove funkcije odredite vrijednost neodređenog i određenog integrala koristeći sustav Wolfram Alpha. Usporedite vrijednosti dobivene numeričkom metodom i stvarne vrijednosti
-
 
== Simpsonova formula za računanje integrala ==
== Simpsonova formula za računanje integrala ==
Redak 40: Redak 46:
pri čemu je <math>\ x_i=a+ih</math> za <math>\ i=0, 1, ..., n-1, n</math>, uz <math>h=(b-a)/n</math>; Posebno, <math>x_0=a</math> and <math>x_n=b</math>. Gornja formula se može pisati i kao
pri čemu je <math>\ x_i=a+ih</math> za <math>\ i=0, 1, ..., n-1, n</math>, uz <math>h=(b-a)/n</math>; Posebno, <math>x_0=a</math> and <math>x_n=b</math>. Gornja formula se može pisati i kao
-
<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx
+
<math>
-
\tfrac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg]
+
\begin{align}
-
=\tfrac{h}{3}\sum_{i=1}^{n/2}\bigg[f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i})\bigg].</math>
+
\int_a^b f(x) \, dx & \approx  
 +
\tfrac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg] = \\
 +
& = \tfrac{h}{3}\sum_{i=1}^{n/2}\bigg[f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i})\bigg].\\
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 
 +
 
=== Funkcije zadane pomoću integrala ===
=== Funkcije zadane pomoću integrala ===
-
Neke se funkcije zadaju pomoću integrale drugih funkcija. Odnosno, ako je na segmentu <math>\bigg[a,b\bigg]</math> zadana integrabilna funkcija <math>f(x)</math>, onda možemo definirati funkciju  
+
Neke se funkcije zadaju pomoću integrale drugih funkcija. Odnosno, ako je na segmentu <math>\big[a,b\big]</math> zadana integrabilna funkcija <math>f(x)</math>, onda možemo definirati funkciju  
<math>F(x)=\int_a^x f(t)\, dt</math>
<math>F(x)=\int_a^x f(t)\, dt</math>
-
Izračunajte na ovaj način (približno pomoću Excela i toćno uvrštavanjem vrijednosti integrala funkcije f) vrijednosti funkcije <math>\int_0^x \frac{t^3-1}{2t+7} \, dt</math> u 101 točki iz intervala <math>\[a,b\]</math>.
+
Izračunajte na ovaj način (približno pomoću Excela i toćno uvrštavanjem vrijednosti integrala funkcije f) vrijednosti funkcije <math>\int_0^x \frac{t^3-1}{2t+7} \, dt</math> u 101 točki iz intervala <math>\big[a,b\big]</math>.
Nacrtajte graf obje funkcije.
Nacrtajte graf obje funkcije.
 +
 +
== Excel datoteka uz predavanja ==
 +
 +
[[Datoteka:Predavanja4_201503261145.zip]]
== Euklidov algoritam ==
== Euklidov algoritam ==
Za domaću zadaću napraviti radni list na kojem se računa najveća zajednička mjera dvaju brojeva [http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm Euklidovim algoritmom]
Za domaću zadaću napraviti radni list na kojem se računa najveća zajednička mjera dvaju brojeva [http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm Euklidovim algoritmom]

Trenutačna izmjena od 14:40, 26. ožujka 2015.

Sadržaj

Derivacija

Derivacija funkcije u točki x0 definira se kao \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Približna vrijednost derivacije može se odrediti tako da se za dani h > 0 računa kvocijent diferencija \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Napravite u Excelu tablicu koja će za dani h > 0 računati \frac{f(x+h)-f(x)}{h} (za sve vrijednosti argumenta iz nekog zadanog skupa). Zadaje se granice intervala na kojem se računa, broj točaka u kojima se računa i vrijednost h. Napraviti usporedni prikaz za nekoliko vrijednosti h1, h2, h3 i h4

Provjerite koliko se ovako izračunata približna vrijednost derivacije razlikuje od stvarne vrijednosti derivacije. Ispitajte za funkcije sin(x) i x5

Zadatak

Odredite približnu vrijednost derivacije funkcije f(x)=\frac{x^3-1}{2x+7} za razne vrijednosti \big. h i usporedite sa stvarnom vrijednošću derivacije ove funkcije koju ste odredili pomoću sustava Wolfram Alpha

Integral

Definiramo funkciju F(x)=\frac{f(x+h)+f(x)}{2}\cdot h. Geometrijski, ovaj izraz predstavlja površinu trapeza s duljinama baza f(x) i f(x + h). Ova površina za "mali" h dobro aproksimira površinu ispod grafa funkcije f, na segmentu [x,x + h]. Zbrajanjem ovih površina dolazimo do formule \hat{F}(x+n\cdot h):=\sum_{i=1}^n \frac{f(x+i\cdot h)+f(x+(i-1)\cdot h)}{2}\cdot h, odnosno \hat{F}(x+n\cdot h):=\frac{h}{2} \cdot\sum_{i=1}^n f(x+i\cdot h)+f(x+(i-1)\cdot h)

Napraviti u Excelu radni list koji računa približnu vrijednost integrala po ovoj formuli.

Izračunajte na ovaj način određene integrale nekoliko funkcija:

  • \ f(x)=x^3+2x+7
  • f(x)=\frac{x^3-1}{2x+7}
  • Datoteka:integral.png
  • \ f(x)=e^{\sin x}
  • \ f(x)=a \sin (b x)

Za sve ove funkcije odredite vrijednost neodređenog i određenog integrala koristeći sustav Wolfram Alpha. Usporedite vrijednosti dobivene numeričkom metodom i stvarne vrijednosti

Simpsonova formula za računanje integrala

Neka je interval [a,b] podijeljen na n podintervala, pri čemu je n paran broj. Tada je složeno Simpsonovo pravilo dano sa

\int_a^b f(x) \, dx\approx\tfrac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg],

pri čemu je \ x_i=a+ih za \ i=0, 1, ..., n-1, n, uz h = (b − a) / n; Posebno, x0 = a and xn = b. Gornja formula se može pisati i kao

\begin{align} \int_a^b f(x) \, dx & \approx \tfrac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg] = \\ & = \tfrac{h}{3}\sum_{i=1}^{n/2}\bigg[f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i})\bigg].\\ \end{align}


Funkcije zadane pomoću integrala

Neke se funkcije zadaju pomoću integrale drugih funkcija. Odnosno, ako je na segmentu \big[a,b\big] zadana integrabilna funkcija f(x), onda možemo definirati funkciju F(x)=\int_a^x f(t)\, dt

Izračunajte na ovaj način (približno pomoću Excela i toćno uvrštavanjem vrijednosti integrala funkcije f) vrijednosti funkcije \int_0^x \frac{t^3-1}{2t+7} \, dt u 101 točki iz intervala \big[a,b\big].

Nacrtajte graf obje funkcije.

Excel datoteka uz predavanja

Datoteka:Predavanja4 201503261145.zip

Euklidov algoritam

Za domaću zadaću napraviti radni list na kojem se računa najveća zajednička mjera dvaju brojeva Euklidovim algoritmom

Dobavljeno iz "http://degiorgi.math.hr/kiwi/index.php/RP2_-_Predavanje_4"
Osobni alati