RP2 - Predavanje 4

Izvor: KiWi

Sadržaj

1 Derivacija
- 1.1 Zadatak
2 Integral
3 Simpsonova formula za računanje integrala
- 3.1 Funkcije zadane pomoću integrala
4 Excel datoteka uz predavanja
5 Euklidov algoritam

Derivacija

Derivacija funkcije u točki $x 0$ definira se kao $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Približna vrijednost derivacije može se odrediti tako da se za dani $h > 0$ računa kvocijent diferencija $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Napravite u Excelu tablicu koja će za dani $h > 0$ računati $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (za sve vrijednosti argumenta iz nekog zadanog skupa). Zadaje se granice intervala na kojem se računa, broj točaka u kojima se računa i vrijednost $h$ . Napraviti usporedni prikaz za nekoliko vrijednosti $h 1$ , $h 2$ , $h 3$ i $h 4$

Provjerite koliko se ovako izračunata približna vrijednost derivacije razlikuje od stvarne vrijednosti derivacije. Ispitajte za funkcije $s i n (x)$ i $x 5$

Zadatak

Odredite približnu vrijednost derivacije funkcije $f(x)=\frac{x^3-1}{2x+7}$ za razne vrijednosti $\big. h$ i usporedite sa stvarnom vrijednošću derivacije ove funkcije koju ste odredili pomoću sustava Wolfram Alpha

Integral

Definiramo funkciju $F(x)=\frac{f(x+h)+f(x)}{2}\cdot h$ . Geometrijski, ovaj izraz predstavlja površinu trapeza s duljinama baza $f (x)$ i $f (x + h)$ . Ova površina za "mali" $h$ dobro aproksimira površinu ispod grafa funkcije $f$ , na segmentu $[x, x + h]$ . Zbrajanjem ovih površina dolazimo do formule $\hat{F}(x+n\cdot h):=\sum_{i=1}^n \frac{f(x+i\cdot h)+f(x+(i-1)\cdot h)}{2}\cdot h$ , odnosno $\hat{F}(x+n\cdot h):=\frac{h}{2} \cdot\sum_{i=1}^n f(x+i\cdot h)+f(x+(i-1)\cdot h)$

Napraviti u Excelu radni list koji računa približnu vrijednost integrala po ovoj formuli.

Izračunajte na ovaj način određene integrale nekoliko funkcija:

$\ f(x)=x^3+2x+7$

$f(x)=\frac{x^3-1}{2x+7}$

$\ f(x)=e^{\sin x}$

$\ f(x)=a \sin (b x)$

Za sve ove funkcije odredite vrijednost neodređenog i određenog integrala koristeći sustav Wolfram Alpha. Usporedite vrijednosti dobivene numeričkom metodom i stvarne vrijednosti

Simpsonova formula za računanje integrala

Neka je interval $[a, b]$ podijeljen na $n$ podintervala, pri čemu je $n$ paran broj. Tada je složeno Simpsonovo pravilo dano sa

$\int_a^b f(x) \, dx\approx\tfrac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg],$

pri čemu je $\ x_i=a+ih$ za $\ i=0, 1, ..., n-1, n$ , uz $h = (b - a) / n$ ; Posebno, $x 0 = a$ and $x n = b$ . Gornja formula se može pisati i kao

$\begin{align} \int_a^b f(x) \, dx & \approx \tfrac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg] = \\ & = \tfrac{h}{3}\sum_{i=1}^{n/2}\bigg[f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i})\bigg].\\ \end{align}$

Funkcije zadane pomoću integrala

Neke se funkcije zadaju pomoću integrale drugih funkcija. Odnosno, ako je na segmentu $\big[a,b\big]$ zadana integrabilna funkcija $f (x)$ , onda možemo definirati funkciju $F(x)=\int_a^x f(t)\, dt$

Izračunajte na ovaj način (približno pomoću Excela i toćno uvrštavanjem vrijednosti integrala funkcije f) vrijednosti funkcije $\int_0^x \frac{t^3-1}{2t+7} \, dt$ u 101 točki iz intervala $\big[a,b\big]$ .