Napravit ćemo pregled glavnih rezultata nove teorije kompleksnih dimenzija proizvoljnih podskupova Euklidskog prostora bilo koje dimenzije. Ova teorija je u razvijena u u seriji članaka te nedavno izašloj znanstvenoj monografiji "Fractal Zeta Functions and Fractal Drums: Higher-Dimensional Theory of Complex Dimensions" u koautorstvu M. L. Lapidusa, G. Radunovića i D. Žubrinića te u bitnome generalizira već postojeću jednodimenzionalnu teoriju kompleksnih dimenzija razvijenu 90tih godina od strane M. L. Lapidusa i M. van Frankenhuijsena te njihovih brojnih suradnika.
Kompleksne dimenzije danog skupa definirane su kao polovi ili općenitiji singulariteti fraktalne zeta funkcije pridružene danom skupu te generaliziraju klasičnu dimenziju Minkowskog. Uvodimo dvije nove klase fraktalnih zeta funkcija, naime, razdaljinsku i cijevnu, te navodimo njihova glavna svojstva. Pokazujemo da, iako su kompleksne dimenzije definirane analitički, one ipak imaju duboku poveznicu s fraktalnom strukturom danog skupa. Naime, to se vidi iz činjenice da igraju ključnu ulogu u izvodu takozvanih fraktalnih cijevnih formula, tj. asimptotskog razvoja Lebesgueove mjere delta okoline danog skupa kada je delta blizu nule.
