Evo nekoliko zadataka za koje više nije ostalo vremena na današnjim demonstraturama.
[b]Zadatak 1.[/b] Neka je [latex]V[/latex] vektorski prostor i [latex]x[/latex] neki njegov element različit od nulvektora. Dokaži da postoji maksimalan potprostor od [latex]V[/latex] koji ne sadrži vektor [latex]x[/latex].
[i]Rješenje.[/i] Označimo sa [latex]S[/latex] skup svih potprostora koji ne sadrže vektor [latex]x[/latex]. Dakle:
[latex]
S = \
{W\
leqslant V\
|\
x\
notin W\
}
[/latex]
Jasno, trivijalan potprostor koji sadrži samo nulvektor je element skupa [latex]S[/latex] pa je [latex]S\
neq\
emptyset[/latex].
Gledajmo sad na [latex]S[/latex] kao na parcijalno uređen skup pri čemu je relacija uređaja "biti potprostor". Dakle, PUS koji promatramo je [latex](S,\
leqslant)[/latex].
Neka je [latex]L\
subseteq S[/latex] proizvoljan neprazan lanac. Pokažimo da je [latex]\
bigcup L[/latex] gornja međa tog lanca u [latex]S[/latex], tj. da je [latex]\
bigcup L\
in S[/latex].
Prvo je potrebno pokazati da je [latex]\
bigcup L\
leqslant V[/latex]. U tu svrhu, neka su [latex]y,z\
in\
bigcup L[/latex] i neka su [latex]\
alpha,\
beta[/latex] skalari.
Budući da je [latex]\
bigcup L[/latex] unija, postoje [latex]Y,Z\
in L[/latex] takvi da je [latex]y\
in Y, z\
in Z[/latex]. Budući da je [latex]L[/latex] lanac, to su [latex]Y,Z[/latex] usporedivi, tj. vrijedi [latex]Y\
leqslant Z[/latex] ili [latex]Z\
leqslant Y[/latex]. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je [latex]Y\
leqslant Z[/latex].
No sad imamo [latex]y,z\
in Z[/latex], a kako je [latex]Z[/latex] vektorski prostor (potprostor od [latex]V[/latex]), to je i [latex]\
alpha y+\
beta z\
in Z[/latex]. Kako je [latex]Z\
in L[/latex], slijedi da je [latex]\
alpha y+\
beta z\
in \
bigcup L[/latex] pa je [latex]\
bigcup L\
leqslant V[/latex].
Drugo, potrebno je pokazati da je [latex]x\
notin\
bigcup L[/latex]. No to očito vrijedi jer se [latex]L\
subseteq S[/latex] sastoji od skupova (potprostora od [latex]V[/latex]) koji ne sadrže [latex]x[/latex]. Očito tad ni unija [latex]\
bigcup L[/latex] ne sadrži [latex]x[/latex].
Time smo pokazali da je [latex]\
bigcup L\
in S[/latex] pa je to gornja međa lanca [latex]L[/latex]. Prema tome, svaki neprazan lanac u [latex]S[/latex] ima gornju među. Iz Zornove leme slijedi da u [latex]S[/latex] postoji maksimalan element, tj. postoji maksimalan potprostor od [latex]V[/latex] koji ne sadrži [latex]x[/latex].
[size=9][color=#999999]Added after 1 hours 20 minutes:[/color][/size]
[b]Zadatak 2.[/b] Ako za TUS [latex]A[/latex] postoji jedinstvena sličnost [latex]f\
colon A\
to A[/latex], onda je [latex]A[/latex] dobro uređen.
[i]Rješenje.[/i] Pretpostavljam da je u zadatku na početku trebalo pisati: dokaži ili opovrgni. Jer navedena tvrdnja [i]ne vrijedi[/i], kako je objašnjeno u zbirci u rješenju zadatka 171.
Naime, mogli bismo promatrati totalno uređen skup [latex](\
mathbb{N},>)[/latex]. Postoji jedinstvena sličnost s [latex](\
mathbb{N},>)[/latex] na [latex](\
mathbb{N},>)[/latex] jer je svaka takva sličnost ujedno i sličnost s [latex](\
mathbb{N},<)[/latex] na [latex](\
mathbb{N},<)[/latex], a [latex](\
mathbb{N},<)[/latex] jest dobro uređen.
Međutim, [latex](\
mathbb{N},>)[/latex] nije dobro uređen jer [latex]\
mathbb{N}[/latex] nema najmanji element. (Najmanji s obzirom na uređaj [latex]>[/latex], tj. najveći s obzirom na standardni uređaj.)
[size=9][color=#999999]Added after 31 minutes:[/color][/size]
[b]Zadatak 3.[/b] Neka je [latex](S,<)[/latex] proizvoljan PUS u kojem svaki lanac ima gornju među, te neka je [latex]x\
in S[/latex] neki element koji nije maksimalan. Dokažite da u [latex]S[/latex] postoji maksimalan element [latex]y[/latex] takav da je [latex]x<y[/latex].
[i]Rješenje.[/i] Neka je [latex]T=\
{a\
in S\
|\
x<a\
}[/latex]. Budući da [latex]x[/latex] nije maksimalan element, postoji neki element koji je veći od njega pa je [latex]T[/latex] neprazan.
Promotrimo parcijalno uređen skup [latex](T,<)[/latex] pri čemu koristimo istu oznaku [latex]<[/latex] za restrikciju uređaja sa [latex]S[/latex].
Neka je [latex]L\
subseteq T[/latex] neki neprazan lanac u [latex]T[/latex]. Tad je [latex]L[/latex] ujedno i lanac u [latex]S[/latex] pa ima gornju među [latex]l\
in S[/latex]. No u [latex]L[/latex] postoji [latex]a_0[/latex] za koji vrijedi [latex]a_0\
leqslant l[/latex] i [latex]x<a_0[/latex]. Zbog tranzitivnosti uređaja vrijedi [latex]x<l[/latex] pa je [latex]l\
in T[/latex]. Time smo pokazali da svaki neprazan lanac u [latex]T[/latex] ima gornju među u [latex]T[/latex].
Sad iz Zornove leme slijedi da u [latex]T[/latex] postoji maksimalan element [latex]y[/latex]. No, [latex]y[/latex] je maksimalan element i u [latex]S[/latex] jer kad bi postojao veći od njega, taj veći bi se nalazio i u [latex]T[/latex], što je nemoguće.
Naravno, vrijedi [latex]x<y[/latex].
Zadatak 1. Neka je 
vektorski prostor i 
neki njegov element različit od nulvektora. Dokaži da postoji maksimalan potprostor od koji ne sadrži vektor .
Rješenje. Označimo sa 
skup svih potprostora koji ne sadrže vektor . Dakle:
Jasno, trivijalan potprostor koji sadrži samo nulvektor je element skupa pa je 
.
Gledajmo sad na kao na parcijalno uređen skup pri čemu je relacija uređaja "biti potprostor". Dakle, PUS koji promatramo je 
.
Neka je 
proizvoljan neprazan lanac. Pokažimo da je 
gornja međa tog lanca u , tj. da je 
.
Prvo je potrebno pokazati da je 
. U tu svrhu, neka su 
i neka su 
skalari.
Budući da je unija, postoje 
takvi da je 
. Budući da je 
lanac, to su 
usporedivi, tj. vrijedi 
ili 
. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je .
No sad imamo 
, a kako je 
vektorski prostor (potprostor od ), to je i 
. Kako je 
, slijedi da je 
pa je .
Drugo, potrebno je pokazati da je 
. No to očito vrijedi jer se sastoji od skupova (potprostora od ) koji ne sadrže . Očito tad ni unija ne sadrži .
Time smo pokazali da je pa je to gornja međa lanca . Prema tome, svaki neprazan lanac u ima gornju među. Iz Zornove leme slijedi da u postoji maksimalan element, tj. postoji maksimalan potprostor od koji ne sadrži .
Added after 1 hours 20 minutes:
Zadatak 2. Ako za TUS 
postoji jedinstvena sličnost 
, onda je dobro uređen.
Rješenje. Pretpostavljam da je u zadatku na početku trebalo pisati: dokaži ili opovrgni. Jer navedena tvrdnja ne vrijedi, kako je objašnjeno u zbirci u rješenju zadatka 171.
Naime, mogli bismo promatrati totalno uređen skup 
. Postoji jedinstvena sličnost s na jer je svaka takva sličnost ujedno i sličnost s 
na , a jest dobro uređen.
Međutim, nije dobro uređen jer 
nema najmanji element. (Najmanji s obzirom na uređaj 
, tj. najveći s obzirom na standardni uređaj.)
Added after 31 minutes:
Zadatak 3. Neka je 
proizvoljan PUS u kojem svaki lanac ima gornju među, te neka je 
neki element koji nije maksimalan. Dokažite da u postoji maksimalan element 
takav da je 
.
Rješenje. Neka je 
. Budući da nije maksimalan element, postoji neki element koji je veći od njega pa je 
neprazan.
Promotrimo parcijalno uređen skup 
pri čemu koristimo istu oznaku 
za restrikciju uređaja sa .
Neka je 
neki neprazan lanac u . Tad je ujedno i lanac u pa ima gornju među 
. No u postoji 
za koji vrijedi 
i 
. Zbog tranzitivnosti uređaja vrijedi 
pa je 
. Time smo pokazali da svaki neprazan lanac u ima gornju među u .
Sad iz Zornove leme slijedi da u postoji maksimalan element . No, je maksimalan element i u jer kad bi postojao veći od njega, taj veći bi se nalazio i u , što je nemoguće.
Naravno, vrijedi .
_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
