Evo nekoliko zadataka za koje više nije ostalo vremena na današnjim demonstraturama.
[b]Zadatak 1.[/b] Neka je [latex]V[/latex] vektorski prostor i [latex]x[/latex] neki njegov element različit od nulvektora. Dokaži da postoji maksimalan potprostor od [latex]V[/latex] koji ne sadrži vektor [latex]x[/latex].
[i]Rješenje.[/i] Označimo sa [latex]S[/latex] skup svih potprostora koji ne sadrže vektor [latex]x[/latex]. Dakle:
[latex]
S = \{W\leqslant V\ |\ x\notin W\}
[/latex]
Jasno, trivijalan potprostor koji sadrži samo nulvektor je element skupa [latex]S[/latex] pa je [latex]S\neq\emptyset[/latex].
Gledajmo sad na [latex]S[/latex] kao na parcijalno uređen skup pri čemu je relacija uređaja "biti potprostor". Dakle, PUS koji promatramo je [latex](S,\leqslant)[/latex].
Neka je [latex]L\subseteq S[/latex] proizvoljan neprazan lanac. Pokažimo da je [latex]\bigcup L[/latex] gornja međa tog lanca u [latex]S[/latex], tj. da je [latex]\bigcup L\in S[/latex].
Prvo je potrebno pokazati da je [latex]\bigcup L\leqslant V[/latex]. U tu svrhu, neka su [latex]y,z\in\bigcup L[/latex] i neka su [latex]\alpha,\beta[/latex] skalari.
Budući da je [latex]\bigcup L[/latex] unija, postoje [latex]Y,Z\in L[/latex] takvi da je [latex]y\in Y, z\in Z[/latex]. Budući da je [latex]L[/latex] lanac, to su [latex]Y,Z[/latex] usporedivi, tj. vrijedi [latex]Y\leqslant Z[/latex] ili [latex]Z\leqslant Y[/latex]. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je [latex]Y\leqslant Z[/latex].
No sad imamo [latex]y,z\in Z[/latex], a kako je [latex]Z[/latex] vektorski prostor (potprostor od [latex]V[/latex]), to je i [latex]\alpha y+\beta z\in Z[/latex]. Kako je [latex]Z\in L[/latex], slijedi da je [latex]\alpha y+\beta z\in \bigcup L[/latex] pa je [latex]\bigcup L\leqslant V[/latex].
Drugo, potrebno je pokazati da je [latex]x\notin\bigcup L[/latex]. No to očito vrijedi jer se [latex]L\subseteq S[/latex] sastoji od skupova (potprostora od [latex]V[/latex]) koji ne sadrže [latex]x[/latex]. Očito tad ni unija [latex]\bigcup L[/latex] ne sadrži [latex]x[/latex].
Time smo pokazali da je [latex]\bigcup L\in S[/latex] pa je to gornja međa lanca [latex]L[/latex]. Prema tome, svaki neprazan lanac u [latex]S[/latex] ima gornju među. Iz Zornove leme slijedi da u [latex]S[/latex] postoji maksimalan element, tj. postoji maksimalan potprostor od [latex]V[/latex] koji ne sadrži [latex]x[/latex].
[size=9][color=#999999]Added after 1 hours 20 minutes:[/color][/size]
[b]Zadatak 2.[/b] Ako za TUS [latex]A[/latex] postoji jedinstvena sličnost [latex]f\colon A\to A[/latex], onda je [latex]A[/latex] dobro uređen.
[i]Rješenje.[/i] Pretpostavljam da je u zadatku na početku trebalo pisati: dokaži ili opovrgni. Jer navedena tvrdnja [i]ne vrijedi[/i], kako je objašnjeno u zbirci u rješenju zadatka 171.
Naime, mogli bismo promatrati totalno uređen skup [latex](\mathbb{N},>)[/latex]. Postoji jedinstvena sličnost s [latex](\mathbb{N},>)[/latex] na [latex](\mathbb{N},>)[/latex] jer je svaka takva sličnost ujedno i sličnost s [latex](\mathbb{N},<)[/latex] na [latex](\mathbb{N},<)[/latex], a [latex](\mathbb{N},<)[/latex] jest dobro uređen.
Međutim, [latex](\mathbb{N},>)[/latex] nije dobro uređen jer [latex]\mathbb{N}[/latex] nema najmanji element. (Najmanji s obzirom na uređaj [latex]>[/latex], tj. najveći s obzirom na standardni uređaj.)
[size=9][color=#999999]Added after 31 minutes:[/color][/size]
[b]Zadatak 3.[/b] Neka je [latex](S,<)[/latex] proizvoljan PUS u kojem svaki lanac ima gornju među, te neka je [latex]x\in S[/latex] neki element koji nije maksimalan. Dokažite da u [latex]S[/latex] postoji maksimalan element [latex]y[/latex] takav da je [latex]x<y[/latex].
[i]Rješenje.[/i] Neka je [latex]T=\{a\in S\ |\ x<a\}[/latex]. Budući da [latex]x[/latex] nije maksimalan element, postoji neki element koji je veći od njega pa je [latex]T[/latex] neprazan.
Promotrimo parcijalno uređen skup [latex](T,<)[/latex] pri čemu koristimo istu oznaku [latex]<[/latex] za restrikciju uređaja sa [latex]S[/latex].
Neka je [latex]L\subseteq T[/latex] neki neprazan lanac u [latex]T[/latex]. Tad je [latex]L[/latex] ujedno i lanac u [latex]S[/latex] pa ima gornju među [latex]l\in S[/latex]. No u [latex]L[/latex] postoji [latex]a_0[/latex] za koji vrijedi [latex]a_0\leqslant l[/latex] i [latex]x<a_0[/latex]. Zbog tranzitivnosti uređaja vrijedi [latex]x<l[/latex] pa je [latex]l\in T[/latex]. Time smo pokazali da svaki neprazan lanac u [latex]T[/latex] ima gornju među u [latex]T[/latex].
Sad iz Zornove leme slijedi da u [latex]T[/latex] postoji maksimalan element [latex]y[/latex]. No, [latex]y[/latex] je maksimalan element i u [latex]S[/latex] jer kad bi postojao veći od njega, taj veći bi se nalazio i u [latex]T[/latex], što je nemoguće.
Naravno, vrijedi [latex]x<y[/latex].
Evo nekoliko zadataka za koje više nije ostalo vremena na današnjim demonstraturama.
Zadatak 1. Neka je vektorski prostor i neki njegov element različit od nulvektora. Dokaži da postoji maksimalan potprostor od koji ne sadrži vektor .
Rješenje. Označimo sa skup svih potprostora koji ne sadrže vektor . Dakle:
Jasno, trivijalan potprostor koji sadrži samo nulvektor je element skupa pa je .
Gledajmo sad na kao na parcijalno uređen skup pri čemu je relacija uređaja "biti potprostor". Dakle, PUS koji promatramo je .
Neka je proizvoljan neprazan lanac. Pokažimo da je gornja međa tog lanca u , tj. da je .
Prvo je potrebno pokazati da je . U tu svrhu, neka su i neka su skalari.
Budući da je unija, postoje takvi da je . Budući da je lanac, to su usporedivi, tj. vrijedi ili . Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je .
No sad imamo , a kako je vektorski prostor (potprostor od ), to je i . Kako je , slijedi da je pa je .
Drugo, potrebno je pokazati da je . No to očito vrijedi jer se sastoji od skupova (potprostora od ) koji ne sadrže . Očito tad ni unija ne sadrži .
Time smo pokazali da je pa je to gornja međa lanca . Prema tome, svaki neprazan lanac u ima gornju među. Iz Zornove leme slijedi da u postoji maksimalan element, tj. postoji maksimalan potprostor od koji ne sadrži .
Added after 1 hours 20 minutes:
Zadatak 2. Ako za TUS postoji jedinstvena sličnost , onda je dobro uređen.
Rješenje. Pretpostavljam da je u zadatku na početku trebalo pisati: dokaži ili opovrgni. Jer navedena tvrdnja ne vrijedi, kako je objašnjeno u zbirci u rješenju zadatka 171.
Naime, mogli bismo promatrati totalno uređen skup . Postoji jedinstvena sličnost s na jer je svaka takva sličnost ujedno i sličnost s na , a jest dobro uređen.
Međutim, nije dobro uređen jer nema najmanji element. (Najmanji s obzirom na uređaj , tj. najveći s obzirom na standardni uređaj.)
Added after 31 minutes:
Zadatak 3. Neka je proizvoljan PUS u kojem svaki lanac ima gornju među, te neka je neki element koji nije maksimalan. Dokažite da u postoji maksimalan element takav da je .
Rješenje. Neka je . Budući da nije maksimalan element, postoji neki element koji je veći od njega pa je neprazan.
Promotrimo parcijalno uređen skup pri čemu koristimo istu oznaku za restrikciju uređaja sa .
Neka je neki neprazan lanac u . Tad je ujedno i lanac u pa ima gornju među . No u postoji za koji vrijedi i . Zbog tranzitivnosti uređaja vrijedi pa je . Time smo pokazali da svaki neprazan lanac u ima gornju među u .
Sad iz Zornove leme slijedi da u postoji maksimalan element . No, je maksimalan element i u jer kad bi postojao veći od njega, taj veći bi se nalazio i u , što je nemoguće.
Naravno, vrijedi .
_________________ I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
|