Broj 153 (zadatak)

[StateOfConsciousness]

Evo nešto veoma zanimljivo: Uzmite neki broj djeljiv sa 3. Nakon toga kubirate svaku od znamenki tog broja i tako dobivene kubove zbrojite i time formirate novi broj. Sada ponovite proces,tj.novodobivenom broju kubirate znamenke i zbrojite kubove da bi dobili novi broj itd...itd... Na kraju ćete, koji god broj da ste u početku uzeli(naravno,treba biti djeljiv sa 3), doći do broja 153, Evo konkretan primjer: uzmete 432(djeljiv je sa 3). Kada kubirate znamenke i zbrojite ih dobijete broj 4^3 + 3^3 + 2^3=99. To ponovite sa 99. Dobijete broj 9^3 + 9^3=1458. Pa opet ponovite postupak sa 1458 i dobijete 1^3 + 4^3 + 5^3 + 8^3=702. Pa 7^3 + 0^3 + 2^3=351. Pa 3^3 + 5^3 + 1^3 = 153. Ono što je lijepo jest činjenica da ćete uvijek doći do 153 s kojimgod brojem djeljivim s 3 počnete, kako god da je velik. Sada bih volio da mi netko to i dokaže, tj. da će rezultat primijenjivanja date operacije na nekom broju djeljivom s 3 uvijek dovesti do broja 153. Ima li netko ideju?

_________________
Look at every path closely and deliberately. Try it as many times as you think necessary. Then ask yourself,
and yourself alone, one question . . . Does this path have a heart? If it does, the path is good; if it doesn’t it is of no use.
Carlos Castaneda, The Teachings of Don juan

[Melkor]

Evo nečeg sličnog:

Uzmite bilo koji broj i sumirajte kvadrate njegovih znamenki da dobijete novi broj. Ponavljanjem procesa dolazi se ili do broja 1, ili do broja 89. Ako se dođe do 89, daljnjim sumiranjem kvadrata znamenki se dobiva:

89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89

Ideje za istraživanje:

• Dokazati ovo što sam napisao.
  
• Otkriti karakterizaciju broja iz koje je jasno hoće li se završiti u 1 ili 89.
  
• Vidjeti što se događa sa sumiranjem kubova znamenki u slučaju da broj nije djeljiv s 3.
  
• Vidjeti što se događa sa sumiranjem drugih potencija znamenki. Postoji li potencija i početni broj tako da se na opisani način generira niz brojeva bez ciklusa?
  
• Vidjeti što se događa kad je broj zapisan u drugim bazama.
  

Uživajte.

_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.

[Melkor]

Btw, baš čitam... Brojevi koji procesom sumiranja kvadrata znamenki završe u 1 zovu se veseli brojevi (happy numbers).

_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.

[vsego]

Da se vratimo na originalnu tvrdnju teorema (onu s brojem 153)...

Neka je zadan broj zapisan u dekadskoj bazi pomocu znamenaka . Gledamo funkciju


Za je

Dakle, za , tj.


Ostaje provjeriti tvrdnju za sve brojeve od 1 do 9999 koji su djeljivi s 3, sto je najlakse napraviti pomocu racunala: