Zadaće

[Gost]

Molim profesora da da upute za rješavanje 4. i 5. zadatka iz 6 zadaće,jer iako mi se čine banalni,nisam sigurna za postupak i rješenje tih zadataka....

[Liddy]

Mora biti bas profesor?
I 6.zadaca nema 5 zadatak.

_________________
A man of words and not of deeds
Is like a garden full of weeds....

[Gost]

sorry...iz sedme zadaće
i naravno da ne mora biti profesor:-)
uglavnom,uopćene kužim gradivo oko dualnih baza i funkcionala

[Juraj Siftar]

Evo, da te zadatke pokušam objasniti što jednostavnije (uz pretpostavku da
ste pročitali definicije). Bilo bi lakše na konzultacijama, ali može i ovako.

Ako imamo funkcional f(x1, x2, x3) = x1 - x2 + 2x3, onda je

f = e1* - e2* + 2e3*, pri čemu su e1, e2, e3 vektori kanonske baze,
a ovi sa zvjezdicom funkcionali baze dualne kanonskoj.

U biti, pojedini funkcional iz baze dualne nekoj bazi pridružuje vektoru
njegovu koordinatu uz dotični vektor u toj bazi (budući da funkcional
samo tom vektoru baze pridružuje 1, a ostalima 0).

Znači, f(e1) = f(1,0,0) = 1 - 0 + 2 x 0 = 1
f(e2) = f(0,1,0) = 0 - 1 + 2 x 0 = -1
f(e3) = f(0,0,1) = 0 - 0 + 2x 1 = 2
ali nama treba
f(a1) = f(1,-1,0) = 1 - (-1) + 2x0 = 2
f(a2) = f(1,-1,0) = 2 - 0 + 2x0 = 2
f(a3) = f(0, 1, 1) = 0 - 1 + 2x1 = 1

Sad, ako je f = k1 a1* + k2 a2* + k3 a3*

traženi prikaz f pomoću baze dualne bazi (a1, a2, a3).

(k1, k2, k3 su nepoznati skalari),

onda je f(a1) = k1 = 2
f(a2) = k2 = 2
f(a3) = k3 = 1

pa je f = 2 a1* + 2 a2* + a3* .

Uskoro slijedi drugi zadatak, tj. 4. zadatak iz zadaće br. 7.

[Juraj Siftar]

Dakle, 4. zadatak.
Za prostor polinoma stupnja najviše 2 imamo kanonsku bazu (1, t, t^2) i
bazu (p1, p2, p3) pri čemu p1(t) = 1-t, p2(t) = 2t, p3(t) = 1-t^2.

Treba izračunati kako p1*, p2*, p3* djeluju na opći polinom, a + bt + ct^2.

To će biti lako ako taj polinom prikažemo u bazi (p1, p2, p3).

Lako dobijemo (sustav 3 x 3 ili očite veze):

1 = (2p1 + p2)/2 = p1 + p2/2

t = p2/2

t^2 = p1 + p2/2 -p3


Zato

p1*(1) = 1
p1*(t) = 0
p1*(t^2) = 1,

dakle p1*(a + bt + ct^2) = a + c.

Slično,

p2*(1) = 0
p2*(t) = 0
p2*(t^2) = -1,

dakle p2*(a + bt + ct^2) = -c.


p3*(1) = 1/2
p3*(t) = 1/2
p3*(t^2) = 1/2,

dakle p2*(a + bt + ct^2) = (a + b + c)/2.

Ili, mogli smo napisati

a + bt + ct^2 = a (p1 + p2/2) + b p2/2 + c (p1 + p2/2 -p3) =

= (a+c) p1 + (a+b+c)/2 p2 - c p3

iz čega se vidi isto (a na desnoj strani nisam pisao t, da bude jednostavnije).

U oba zadatka moglo bi se, naravno, raditi s matricama, ali kako su
računi jednostavni, možda se bolje vidi ovako, a za vježbu može se sve pomoću formula za matrice u različitim parovima baza.

[Gost]

zahvaljujem,puno mi je jasnije,na vježbama nisam shvatila taj dio gradiva.

[Antonija]

moze mala pomoc oko 4.zadatka 8.zadace i 3.zadatka 10.zadace pod c)?? ako nista, jel moze netko napisat rjesenja tih zadataka??

_________________

[Liddy]

[pinkgirl]

9.zadaca, 2.b)

mogu li se ovi operatori dijagonalizirati?
P:R4->R4
P je ortogonalana projekcija na potprostor razapet vektorima a1=(1,0,0,-3), a2=(1,-1,0,0), a3=(0,0,1,0).

znam kad je P ortogonalna projekcija na ravninu, ali sto da radim kada je ortogonalna projekcija na prostor?

help

[Liddy]

Hehehe
To nam je asistentica "rijesila" na vjezbama.
Imas vise nacina rijesavanja:

Prvi ti je da gledas projekcije na svaki taj vektor i koliko one "iznose"
Znaci Pa1=a1, Pa2=a2, Pa3=a3 (jer imas ta tri vektora zadana) (*)
dok je projekcija na ovaj nas cetvrti vektor kojeg trazimo: Pa4=0 a osim toga taj nas cetvrti vektor a4 je iz L ortogonalno, pa je zapravo zbog toga on 0. (**)

I sada ti iz (*) slijedi da ti je 1 iz spektra od (P-te projekcije) pa ti slijedi da je geometrijska i algebarska kratnost nase svojstvene vrijednosti (te jedinice) jednake.
Iz (**) slijedi da je 0 element iz spektra od P (opet te nase projekcije) i da su algebarska i svojstbvena vrijednost takodjer jednake., a posto su sada sva ta 4 vektora (a1,a2,a3,a4) baze za R4, posto su alg=geom za oba svojstvene vrijednosti znaci da se mogze dijagonalizirati.

Drugi nacin ti je preko G-S ortonomirati ali tu imas onda puuuno posla za racunati...

Treci nacin (po novom gradivu) ti je sljedeci:
Imas P u kanonskoj bazi, i nadjes P u bazi svojstvenih vektora, i moras naci matricu prijelaza iz te stare baze (kanonske) u novu bazu (svoj.vektora), znas da ti a4 mora biti okomit na ostala tri vektora (na a1,a2a,a3) dok ti a4 ima sljedeci oblik a4=(x1,x2,x3,x4),znaci imas jednadzbe koje kada rijesis dobijes taj a4 vektor (rijesenje je 3,3,0,1) i sada imas sva 4 vektora, njih stavis u matricu, od te matrice izracunas i inverznu matricu i ides na mnozenje matrica...tj. na mnozenje tri matrice 4*4
Itd...

Ako me je netko skuzio onda svaka cast Valjda sam dobro napisala...neka me netko ispravi ako ima gresaka.
Uglavnom ti je najjednostavnije za skuziti ovaj prvi sa 1 i 0 iz spektra
Trudila sam se

_________________
A man of words and not of deeds
Is like a garden full of weeds....

[lena]

[Antonija]

hvala svima na pomoci!

_________________

[juraj siftar]

Iz objektivnih razloga malo se (pre)kasno uključujem, ako je riječ o kolokviju koji se piše za nekoliko sati, no budući da je i na konzultacijama bilo dosta pitanja baš o ovim zadacima, navest ću nekoliko primjedbi ili odgovora (bez obzira na to što su sami zadaci u prethodnim postovima bili riješeni na ovaj ili onaj način). Možda nekome ipak bude korisno.

Što se tiče zbunjenosti oko pojmova projekcije na ravninu ili na potprostor, zapravo uvijek imamo projekciju na potprostor, samo što 2-dimenzionalni potprostor u V3(O) iz očitih razloga volimo jednostavno nazivati ravninom.
(Uz identifikaciju radijvektora s točkama).
Samo ravnina kroz ishodište (ako gledamo uobičajeni euklidski 3-dim. prostor i u njemu vektorski prostor V3(O)) jest 2-dim, potprostor i samo pravac kroz ishodište je 1-dim. potprostor. Pravci i ravnine koji ne prolaze ishodištem su linearne mnogostrukosti dimenzije 1 odnosno 2, dakle skupovi vektora oblika v + L, pri čemu je L potprostor, a v vektor ("od ishodišta do neke točke tog pravca ili ravnine").

U nekim zadacima odmah je iz poznatih geometrijskih razloga jasno može li se operator dijagonalizirati ili koje su mu svojstvene vrijednosti i vektori. Ili, je li taj operator unitaran. Sve se to može i izračunati, ali je važno najprije shvatiti geometrijski smisao.
Npr. ako imamo operator zrcaljenja, bez obzira na kojoj ravnini, on se može dijagonalizirati i to s 1,1,-1 na dijagonali. Operator ortogonalne projekcije na ravninu dijagonalizira se s 1,1,0 na dijagonali. U kojoj bazi - to se vidi ili izračuna, ako nije očito. U 8. zadaći, zad.4, upravo baza koju čine m1, m2 i njihov vektorski produkt predstavlja jednu "prirodnu" bazu u kojoj se taj operator zrcaljenja dijagonalizira. Bolje je to "vidjeti", nego naporno računati (što se pokazali i na testu - većina je lakše našla matricu zrcaljenja u "kompliciranijoj" bazi nego u ovoj "prirodnoj", gdje je matrica dijagonalna i odmah je jasno kako izgleda, jer bilo je dosta pogrešaka dok se dođe do rezultata, u postupku koji obuhvaća invertiranje i množenje matrica).
Zrcaljenje je unitarni operator (može se izračunati, ali trebalo bi biti očito - moduli i kutovi među vektorima su sačuvani). Ortogonalna projekcija na potprostor nije unitarni operator, npr. zato što ima netrivijalnu jezgru; ima vektora različitih od nulvektora koji se preslikaju u nulvektor, a to se ne događa kod unitarnog operatora (čuva normu, regularan).
Rotacija za kut pi/4 u ravnini ne može se dijagonalizirati i uopće nema svojstvenih vrijednosti, jer niti jedan vektor ne preslika se u kolinearni vektor (osim 0, ali nulvektor ne dolazi u obzir). Svi se zakrenu za pi/4.
No, taj operator jest unitaran i opet, može se izračunati provjerom čuvanja skalarnog produkta, ali je geometrijski jasno budući da se rotacijom ne mijenja ni modul vektora ni kut među vektorima.

Općenito, kako je često naglašavano u nastavi, razumijevanje linearne algebre na primjerima V2(O) i V3(O) bitno doprinosi razumijevanju svega toga u konačnodim. vektorskim prostorima općenito. Pogotovo na "profesorskom smjeru".