| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
 Postano: 9:28 pet, 5. 3. 2004 Naslov: Re: Rastav na parcijalne razlomke |
    |
|
|
[quote="Anonymous"]Može kratko pojašnjenje te metode na primjeru funkcije y=(x^3+x)/(x^2-x-2).
Dakle,prvo je nužno podijeliti polinom u brojniku s polinomom u nazivniku jer je rastav moguć samo za ''prave'' racionalne funkcije,btw,''prave'' rac.f.-e su one kojima je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika?[/quote]
Right. Podijelivši x^3+x sa x^2-x-2 dobijemo kvocijent x+1 i ostatak 4x+2 . Sad treba (4x+2)/(x^2-x-2) rastaviti na parcijalne razlomke. Faktorizacija nazivnika daje x^2-x-2=x^2-2x+x-2=(x+1)(x-2) . Imamo dva linearna faktora kratnosti 1 . Dakle, rastav je (4x+2)/(x+1)(x-2)=A/(x+1)+B/(x-2) . Riješivši se nazivnikâ, dobijemo 4x+2=A(x-2)+B(x+1) . Sad se ovo može riješiti izjednačavanjem koeficijenata, ili uvrštavanjem zgodnih x-eva (bilo kojih, jer je jednadžba polinomska). Uvrstivši x=-1 , dobijemo -2=-3A , iz čega A=2/3 ; a uvrstivši x=2 , dobijemo 10=3B , iz čega B=10/3 .
Dakle, ukupni rastav je
(x^3+x)/(x^2-x-2)=x+1+(2/3)/(x+1)+(10/3)/(x-2) .
HTH,
| Anonymous (napisa): | Može kratko pojašnjenje te metode na primjeru funkcije y=(x^3+x)/(x^2-x-2).
Dakle,prvo je nužno podijeliti polinom u brojniku s polinomom u nazivniku jer je rastav moguć samo za ''prave'' racionalne funkcije,btw,''prave'' rac.f.-e su one kojima je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika? |
Right. Podijelivši x^3+x sa x^2-x-2 dobijemo kvocijent x+1 i ostatak 4x+2 . Sad treba (4x+2)/(x^2-x-2) rastaviti na parcijalne razlomke. Faktorizacija nazivnika daje x^2-x-2=x^2-2x+x-2=(x+1)(x-2) . Imamo dva linearna faktora kratnosti 1 . Dakle, rastav je (4x+2)/(x+1)(x-2)=A/(x+1)+B/(x-2) . Riješivši se nazivnikâ, dobijemo 4x+2=A(x-2)+B(x+1) . Sad se ovo može riješiti izjednačavanjem koeficijenata, ili uvrštavanjem zgodnih x-eva (bilo kojih, jer je jednadžba polinomska). Uvrstivši x=-1 , dobijemo -2=-3A , iz čega A=2/3 ; a uvrstivši x=2 , dobijemo 10=3B , iz čega B=10/3 .
Dakle, ukupni rastav je
(x^3+x)/(x^2-x-2)=x+1+(2/3)/(x+1)+(10/3)/(x-2) .
HTH,
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 12:35 pet, 5. 3. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Hvala!
Što smatraš pod izrazom 'jedandžba je polinomska'?
Mislim slutim odgovor ali ipak nikad neznaš hoće li nešto novoga iskrsnuti :wink:[/quote]
((-: I ne znaš koliko si u pravu. ;-)
Imali smo jednadžbu (4x+2)/(x^2-x-2)=A/(x+1)+B/(x-2) . Jednadžba je naravno po A i B , mora vrijediti za "svaki" x . "svaki" je pod navodnicima, jer očito (realno gledano) ne vrijedi za x=-1 i za x=2 . Tako, na prvi pogled, kasnije ne bismo smjeli uvrštavati upravo njih. No ekvivalentna jednadžba (zaista ekvivalentna, jer ima ista rješenja po A i B ) 4x+2=A(x-2)+B(x+1) također vrijedi za svaki x@|R\{-1,2} , ali i više: budući da se radi o jednakosti dva polinoma, znamo da ako se podudaraju u beskonačno mnogo točaka, podudaraju se svuda. A s obzirom na to da u |R\{-1,2} očito ima beskonačno mnogo točaka:-), možemo zaključiti da su ta dva _polinoma_ jednaka (kao polinomi), pa se podudaraju u svim točkama - pa tako i u -1 i 2 , što je baš zgodno za uvrstiti da se dobije A i B .
ok? :-)
| Anonymous (napisa): | Hvala!
Što smatraš pod izrazom 'jedandžba je polinomska'?
Mislim slutim odgovor ali ipak nikad neznaš hoće li nešto novoga iskrsnuti  |
((-: I ne znaš koliko si u pravu.
Imali smo jednadžbu (4x+2)/(x^2-x-2)=A/(x+1)+B/(x-2) . Jednadžba je naravno po A i B , mora vrijediti za "svaki" x . "svaki" je pod navodnicima, jer očito (realno gledano) ne vrijedi za x=-1 i za x=2 . Tako, na prvi pogled, kasnije ne bismo smjeli uvrštavati upravo njih. No ekvivalentna jednadžba (zaista ekvivalentna, jer ima ista rješenja po A i B ) 4x+2=A(x-2)+B(x+1) također vrijedi za svaki x@|R\{-1,2} , ali i više: budući da se radi o jednakosti dva polinoma, znamo da ako se podudaraju u beskonačno mnogo točaka, podudaraju se svuda. A s obzirom na to da u |R\{-1,2} očito ima beskonačno mnogo točaka:-), možemo zaključiti da su ta dva _polinoma_ jednaka (kao polinomi), pa se podudaraju u svim točkama - pa tako i u -1 i 2 , što je baš zgodno za uvrstiti da se dobije A i B .
ok? 
|
|
| [Vrh] |
|
|
