|
[quote="black cat"]ima li koja dobra dusa da pomogne..[/quote]
ima :D
Najprije, broj je djeljiv s [latex]3[/latex] ako mu je suma znamenki djeljiva s [latex]3[/latex].
Drugi uvjet je da ne smijemo koristiti znamenku [latex]9[/latex], što će reći da na rapolaganju imamo [latex]9[/latex] znamenki.
Označimo s [latex]N_i[/latex], [latex]J_i[/latex], [latex]D_i[/latex], gdje je [latex]i \in \left\{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5\right\}[/latex], brojeve koji imaju [latex]i[/latex] znamenki, ne sadrže znamenku [latex]9[/latex] i čija suma znamenki pri djeljenju s [latex]3[/latex] redom daje ostatke [latex]0,\, 1,\, 2[/latex].
Nas tada zanima koliko je [latex]N_5[/latex].
Očito je [latex]N_1=2[/latex], [latex]J_1=3[/latex], [latex]D_1=3[/latex].
Broj s jednom znamenkom više generiramo tako da mu znamenku dodajemo na kraj (kada bi ju dodavali na početak morali bi paziti da je ona različita od [latex]0[/latex]).
Ako znamo [latex]N_{i-1},\, J_{i-1},\, D_{i-1}[/latex], gde je [latex]i \in \left\{2,\, 3,\, 4,\, 5\right\}[/latex], lako vidimo da vrijedi: (znamo koji je ostatak pri djelenju sume znamenki prethodnog broja s [latex]3[/latex], te gledamo koje mu znamenke smijemo dodati na kraj da suma znamenki pri djeljenju s tri daje željeni ostatak)
[latex]N_i = 3 \cdot N_{i-1} + 3 \cdot J_{i-1} + 3 \cdot D_{i-1} = 3 \cdot \left(N_{i-1} + J_{i-1} + D_{i-1}\right)[/latex],
[latex]J_i = 3 \cdot N_{i-1} + 3 \cdot J_{i-1} + 3 \cdot D_{i-1} = 3 \cdot \left(N_{i-1} + J_{i-1} + D_{i-1}\right)[/latex],
[latex]D_i = 3 \cdot N_{i-1} + 3 \cdot J_{i-1} + 3 \cdot D_{i-1} = 3 \cdot \left(N_{i-1} + J_{i-1} + D_{i-1}\right)[/latex].
Očito je da vrijedi da je [latex]N_i + J_i + D_i[/latex] jednako broju [latex]i[/latex]-znamenkastih brojeva koji ne sadrže znamenku [latex]9[/latex]. (Suma znamenaka svakog od njih pri djelenju s [latex]3[/latex] može dati ostatak [latex]0,\, 1[/latex] ili [latex]2[/latex] i to samo jedan od njih.)
Konačno, četveroznamenkastih brojeva koji ne sadrže znamenku [latex]9[/latex] ima [latex]8 \cdot 9^3[/latex], stoga je [latex]N_5 = 24 \cdot 9^3[/latex].
Nadam se da je dobro i razmuljivo objašnjeno... :)
Primjetimo da je zadatak moguće poopćiti, neka je [latex]N_n[/latex], gdje je [latex]n \in \mathbb{N}[/latex] broj [latex]n[/latex]-znamenkastih brojeva djeljivih s tri koji ne sadrže znamenku [latex]9[/latex], tada je [latex]N_1=2[/latex], te [latex]N_n=24 \cdot 9^{n-2}\ \forall n \in \mathbb{N} \setminus \left\{1\right\}[/latex].
| black cat (napisa): | | ima li koja dobra dusa da pomogne.. |
ima 
Najprije, broj je djeljiv s  ako mu je suma znamenki djeljiva s .
Drugi uvjet je da ne smijemo koristiti znamenku  , što će reći da na rapolaganju imamo znamenki.
Označimo s  ,  ,  , gdje je  , brojeve koji imaju  znamenki, ne sadrže znamenku i čija suma znamenki pri djeljenju s redom daje ostatke  .
Nas tada zanima koliko je  .
Očito je  ,  ,  .
Broj s jednom znamenkom više generiramo tako da mu znamenku dodajemo na kraj (kada bi ju dodavali na početak morali bi paziti da je ona različita od  ).
Ako znamo  , gde je  , lako vidimo da vrijedi: (znamo koji je ostatak pri djelenju sume znamenki prethodnog broja s , te gledamo koje mu znamenke smijemo dodati na kraj da suma znamenki pri djeljenju s tri daje željeni ostatak)
 ,
 ,
 .
Očito je da vrijedi da je  jednako broju -znamenkastih brojeva koji ne sadrže znamenku . (Suma znamenaka svakog od njih pri djelenju s može dati ostatak  ili  i to samo jedan od njih.)
Konačno, četveroznamenkastih brojeva koji ne sadrže znamenku ima  , stoga je  .
Nadam se da je dobro i razmuljivo objašnjeno... 
Primjetimo da je zadatak moguće poopćiti, neka je  , gdje je  broj  -znamenkastih brojeva djeljivih s tri koji ne sadrže znamenku , tada je , te  .
|
