1.kolokvij (zadatak)

[anchi]

dal bi netko mogao ko zna i ima vremena rjesiti(i lijepo raspisati) i staviti na net,rjesenja prvog kolokvija od prosle god,ja a i najvjerojatnije mnogi drugi bi bili jako zahvalni(bitni su ovi racunski,a teorijska dva zadnja ak zeli)
hvala unaprijed,i ak je moguce do subote;))

[sunny]

evo ja imam rijesene neke zadatke...
nisam 100% sigurna da sve valja, pa ak netko uoci gresku neka me ispravi

1. zadatak :
a) Neka je f1:R^2->R sa f1(x,y)=x^2+y^2-4 (<0)
(p1(x,y)=x, p2=(x,y) su projekcije i one su neprekidne, i umnozak, odnosno zbroj i razlika neprekidnih fukcija su takoder neprekidne funkcije pa je f1 neprekidna funkcija)
praslika od f1 : f1^(-1)=(<-beskonacno,0>) je otvoren (jer je praslika otvorenog skupa pri neprekidnoj fukciji otvoren)

Neka je f2:R^2->R zadana s f2(x,y)=x (>0) je neprekidna i praslika f2^(-1) (<0, + beskonacno>) je otvorena
--> presjek konacne unije otvorenih skupova je otvoren skup
--> A otvoren

b) imas rijesen pod temom 1. kolokvij- zadatak

2. zadatak :
a) skupu S mozemo opisati kuglu (tj. S je podskup od K(0,5))
--> ogranicen je
b)zatvoren skup S je unija cijelog skupa S i njegovih gomislista (S')
->S'={(x,y)element R^2: -1 <=x<=4, y=0} je gomiliste skupa S jer se u svakoj otvorenoj okolini skupa S nalazi barem jedan element skupa S
zatvoren skup S je = S unija S'
c) da bi S bio kompaktan on mora biti omeden i zatvoren. da bi S bio zatvoren mora sadrzavati sva svoja gomilista. iz b) znamo da S ne sadrzi svoja gomilista -- > S nije zatvoren --> S nije kompaktan

4. zadatak : (to mi nije bas najjasnije kak se rijesava... ja sam ovak pokusala al mi je nekak to sumnjivo, pa nek me netko ispravi)
Neka nam je A={(x,y) element R^2: y=1, x<1}, A'={(x,y) element R^2: y=1, x<=1}.
pitanje je da li je f neprekidna na <-beskonacno, 1]?
--> f je neprekidna na <-beskonacno, 1>, jos trebamo provjeriti za tocku (1,1)
lim(x->1)f(x)=1 =!=0=f(1) pa f nije neprekidna

5. zadatak :
a) A pravi podskup od K je zatvoren, jer je f kompakta, onda je i omeden, pa je i A omeden --> A kompaktan
--> jer je f neprekidna funkcija --> f(A) kompaktan
b) jer je A omeden i zatvoren, a f neprekidna -- > da
c) da, jer je u oba slucaja A omeden i f je neprekidna funkcija



eto... to su moja rijesenja. ako netko vidi gresku neka ispravi...
i ako moj 4. zad. ipak nije tocan da ga raspise i 5.b) takoder...

[s@nj@]

ej zas ti je u 1.,f1(x,y)=x^2+y^2-4 (<0)?(pitanje se odnosi na ovomanje od nule)
i dal moze neko raspisati cijeli 3 zadatak ak mu nije tesko,hvala

[maloka]

Može pomoć oko 5. zad sa kolokvija iz 2007.?

5. a) Neka je K kompaktan u R^n. Da li svaki Cauchyev niz u K konvergira (u K). Što ako K nije kompaktan nego samo zatvoren?

b) Neka je f: [2,3]x[1,2]→ R neprekidna fija. Dostiže li ona nužno minimum na svojoj domeni? Promatrajmo funkciju g=|[2,3]x{3/2} (restrikcija funkcije), postiže li g minimum na svojoj domeni, i gledamo još i fiju h=f|(2,3)x(1,2) (isto restrikcija) postiže li h minimum?


Jel u b) dijelu moram gledat da li je domena kompaktan skup (omeđen i zatvoren) i fija neprekidna onda ona nužno postiže min i max?

[Milojko]

pod a): svaki C-niz konvergira u kompaktnom skupu, to mu je i definicija. ak je skup sam zatvoren, onda ako taj niz konvergira, onda mu je limes unutra (u skupu), a C-niz je konvergentan niz pa je onda i u zatvorenom skuu konvergentan (mislim da je tak)

a ovo pod b), dostiže minimum jer je skup kompaktan, a g i h mislim da ne.

_________________
Sedam je prost broj

Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat

[maloka]

zašto g i h ne? f je domena zatvoreni pravokutnik, g je domena dužina (zatvoreni segment na pravcu y=3/2) i h je domena jedna točka. Jednočlan skup je zatvoren, a ako imamo jednu točku oko nje možemo uvijek opisati kuglu t.d. ju umeđimo jel ne bi po tome onda i domena od h bila kompaktan skup? isto sam razmišljala i za g, gdje je greška? jel gledam da su to kompaktni skupovi u R ili R^2 ili ???

[Gino]

[Tindariel]

[Gino]

kvadrat, otvoreni

_________________
Mario Berljafa

[Tindariel]

S okruglim zagradama? Otkad se tak mogu označavat otvoreni intervali? Nikad čula

[babybodom]

moze li netko rijesiti 3 zadatak od proslogodisnjeg kolokvija (s prirodnom domenom itd...)
puno hvala

_________________
may the noobishness be with you

[markotron]

@ babybodom



Problem je u točkama oblika . Sve ostalo je prirodna domena.

Skup gomilišta je

Provjerimo gdje ima limes:

Na području prirodne domene ima limes jer je neprekidna. Za problematične točke uzmimo niz . Kad uvrstiš uočiš da je limes ukoliko je , a ako je uzmeš niz i dobijes također divergenciju.

_________________
reductio ad absurdum

[Milojko]

u drugom zadatku iz dve i sedme, jel se dobije da je skup omeđen? mislim, men je ispalo da je to nekakva traka duž x-osi pa nisam baš siguran dal je sve oke

_________________
Sedam je prost broj

Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat

[mycky1111]

omeden je, ali ti to nije traka na x-osi,
vec unutrasnjos presjeka |x-1| i arctgx, dakle strpas ga u kuglu npr. K((0,0), 1+pi/2)

[babybodom]

puno hvala markotron... ja gledam i samo ln vidim uopce nisam gledao na x i y da trebaju biti nula... heh
a nemojmo zaboraviti ni na sunny hvala svima na rjesenjima i pojasnjenjima
nadam se da ce nam svima to pomoci sutra

p.s. kod odredjivanja domene... sve se svodi vise manje na to da gledamo "za koje elemente je funkcija ispunjiva uopce"?
taj dio gradiva mi je lagano magla

_________________
may the noobishness be with you

[Tindariel]

[babybodom]

ima... jer tako i ja mislim
joj tko zna sto ce nam sutra doci hehe
pa bude nesto zaguljeno... ne bi se cudio

_________________
may the noobishness be with you