Ovdje sam mislio upozoriti na neke (principijelne) greske (koje su me se osobito dojmile :shock: ) na pismenima iz Vektorskih prostora.
Inspiriran sam nedavnim rokovima. Nisu te greske kriticno ceste, ali se redovito pojavljuju pa, evo, da ih malo prokomentiram i tako barem malo olaksam svoje frustracije kod ispravljanja. :)
1. U vezi nilpotentnih operatora:
Ako operator A zadovoljava A^k=0, onda je on nilpotentan, ali ne nuzno indeksa k. Mozemo zakljuciti samo da je indA<=k. (Npr. 0^k=0 za svaki k.) Tek ako znamo jos da je A^(k-1)<>0, onda mozemo reci indA=k.
2. Operatori (na bilo kakvom prostoru) opcenito ne komutiraju! Neke jednakosti u kojima se implicitno koristi komutativnost (!!!), tj. ne vrijede opcenito, nego za komutirajuce operatore su sljedece:
(AB)^k = A^k B^k
(A+B)(A-B)=A^2 - B^2
(A+B)^2 = A^2 +2AB +B^2
binomni teorem: (A+B)^k =...
(To zapravo nema veze sa linearnom algebrom, nego opcenito prstenima/algebrama.)
3. Ako je p(A)=0 za neki operator A, ne znaci odmah da je p minimalni polinom za A, nego samo da minimalni polinom od A dijeli p, tj. ima iste ireducibilne faktore s <= eksponentima.
4. (prvenstveno za VP2) Karakteristicni i minimalni polinom imaju iste ireducibilne faktore. Za polinome iz R[x] to su polinomi prvog stupnja i polinomi drugog stupnja bez realnih nultocki. Tako npr. ako je
(A^2+I)(A^2+4I)=0, onda znamo da je minimalni polinom
m(x)=x^2+1 ili
m(x)=x^2+4 ili
m(x)=(x^2+1)(x^2+4)
pa je karakteristicni polinom oblika
k(x)=(x^2+1)^s (x^2+4)^t
za neke s,t>=0. (Primijetimo da je vodeci koeficijent =1.)
Tipicne greske bi bila zakljuciti
m(x)=(x^2+1)(x^2+4),
k(x)=((x^2+1)(x^2+4))^s za neki s>=0
Ima jos ponesto, cega se sad ne mogu sjetiti pa cu drugi put. :wink:
Ovdje sam mislio upozoriti na neke (principijelne) greske (koje su me se osobito dojmile ) na pismenima iz Vektorskih prostora.
Inspiriran sam nedavnim rokovima. Nisu te greske kriticno ceste, ali se redovito pojavljuju pa, evo, da ih malo prokomentiram i tako barem malo olaksam svoje frustracije kod ispravljanja.
1. U vezi nilpotentnih operatora:
Ako operator A zadovoljava A^k=0, onda je on nilpotentan, ali ne nuzno indeksa k. Mozemo zakljuciti samo da je indA⇐k. (Npr. 0^k=0 za svaki k.) Tek ako znamo jos da je A^(k-1)<>0, onda mozemo reci indA=k.
2. Operatori (na bilo kakvom prostoru) opcenito ne komutiraju! Neke jednakosti u kojima se implicitno koristi komutativnost (!!!), tj. ne vrijede opcenito, nego za komutirajuce operatore su sljedece:
(AB)^k = A^k B^k
(A+B)(A-B)=A^2 - B^2
(A+B)^2 = A^2 +2AB +B^2
binomni teorem: (A+B)^k =...
(To zapravo nema veze sa linearnom algebrom, nego opcenito prstenima/algebrama.)
3. Ako je p(A)=0 za neki operator A, ne znaci odmah da je p minimalni polinom za A, nego samo da minimalni polinom od A dijeli p, tj. ima iste ireducibilne faktore s ⇐ eksponentima.
4. (prvenstveno za VP2) Karakteristicni i minimalni polinom imaju iste ireducibilne faktore. Za polinome iz R[x] to su polinomi prvog stupnja i polinomi drugog stupnja bez realnih nultocki. Tako npr. ako je
(A^2+I)(A^2+4I)=0, onda znamo da je minimalni polinom
m(x)=x^2+1 ili
m(x)=x^2+4 ili
m(x)=(x^2+1)(x^2+4)
pa je karakteristicni polinom oblika
k(x)=(x^2+1)^s (x^2+4)^t
za neke s,t>=0. (Primijetimo da je vodeci koeficijent =1.)
Tipicne greske bi bila zakljuciti
m(x)=(x^2+1)(x^2+4),
k(x)=((x^2+1)(x^2+4))^s za neki s>=0
Ima jos ponesto, cega se sad ne mogu sjetiti pa cu drugi put.
|