derivacije višeg reda

[michelangelo]

jel može ko riješit zadatke iz skripte, 1.33-1.41? kolege zapelo je ponagajte više je za provjeru, nego da nijedan ne znam riješit.
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf

[michelangelo]

barem 1.37??????

[mornik]

Dobro, ajde da vidimo. Ispričavam se, nisam prije vidio tvoj post. Neću sad očito stići sve, a i budući da, ako dobro shvaćam, hoćeš samo rješenja da provjeriš (i, valjda, hintove za zadatke koji su dokazi), očito će ovome faliti detalja. Stoga, slobodno pitaj ako negdje zapneš (možeš i pitati WolframAlphu, dotično sredstvo ionako konzultirah prilikom rješavanja - neke stvari, naravno , nisam ručno rješavao, makar mi je jasno kako bi ih se riješilo), neće biti problem odgovoriti.

1.34.

Tu se zbilja nema što puno pokazivati. Ti pitaj ako ti nešto nije jasno, ali stvar je zapravo trivijalna, jedino treba izračunati drugu derivaciju od sinusa, kosinusa i njihovih trigonometrijskih imenjaka, ali to je sve dosta očito. Uglavnom, kažem, pitaj ako nešto nije jasno...

1.35.

Dokaz ide, dakle, indukcijom po , što bi reklo da nam je glavni dio (u trenutku kad želimo derivirati kad deriviramo one pribrojnike. Dakle, imamo nešto oblika . Tu koristimo derivaciju umnoška i dobivamo da je to jednako . Sad pozbrojimo sve te pribrojnike i primijetimo da će nam se uz pojavljivati koeficijent , a to znamo da je .

1.37.

Mislim da je rješenje . (Aha, kako sam izbjegao razlomke? ) Što se tiče rješavanja zadatka, hint je očito Leibnizova formula - nakon toga, sve je poprilično tipično i lagano. Naravno, vjerojatno prva (možda i druga?) derivacija izgledaju drugačije zbog nedostatka članova u Leibnizovoj formuli, ali njih lako izračunaš manualno.

1.41.

Stvar je isto dosta jasna - naprosto koristi činjenicu da je . Nakon toga samo uvrstimo, iskoristimo binomni teorem i to je to.

Uglavnom, ako ispod ovog posta vidite "edited 10 times" ili tako nešto, to je zato što nitko drugi nije htio pomoći u rješavanju. (Ja ću se u svakom slučaju probati navečer pozabaviti time do kraja.)

[michelangelo]

ok hvala, u međuvremenu sam riješila većinu tih zadataka, pa je samo 1.37 bio problem... hvala puno!!!!!!

[mornik]

Aha, OK onda... ništa, ako ne treba dalje, neću pisati bezveze. Drago mi je ako sam pomogao. E, da, i sad sam tek primijetio da u svim zadacima gore tvrdim da su trivijalni i očiti... naravno da sam račun nije nužno lagan, ima tu dosta posla i sve - mislio sam, dakako, na to da nema nikakvu "pametnu" ideju, nego da se samo koriste stvari koje su dosta obrađivane na satovima. Sorry ako sam vas bacio u depresiju.

[ankovacic]

Imam problema pri rjesavanju zadatka.
Trazi mi se stota i sto i prva derivacija u nuli od funkcije
f(x)=(x*sin2*x)^3.
Pa bih samo trebao ideju kako da se rijesim ovoga (sin2x)^3

[pmli]

[mornik]

Ima dva načina - jedan uključuje više varanja, a jedan manje. Zapravo, ovo "varanja" - ne treba ništa varanja, samo ideja nije možda baš najintuitivnija, makar ima smisla, pogotovo ako si riješio puno zadataka

Uglavnom, budući da je taj način poprilično bolji, reći ću ga prvog. Sjeti se (ili dokaži ) da vrijedi . Mislim da će ti to podosta pomoći - imat ćeš neko računanje s potencijama od i , ali to je u biti to.

Drugi način je vjerojatno intuitivniji: želimo dobiti neku rekurziju. Stoga idemo par puta derivirati tu funkciju i vidjeti što dobivamo. Uglavnom, dobivamo da je , a to mi se svakako onda čini kao dobar početak za rekurziju - no dobro, tu bi bilo vjerojatno petljanja s parnošću i, očito, s potencijama od i i množenjem i štajaznam, tako da prvi način smatram puno boljim.

[ankovacic]

Hvala lijepa... kasnije su mi tek pale na pamet adicione formule... , one su mi zadnje na pameti na zalost

[kaj]

Da ne otvaram novu temu, pitat ću ovdje, zadaci 1.60, 1.63 i 1.65 iz "Tangente i normale", skripta je na stranici kolegija

[pbakic]

Evo za pocetak 1.60:
Ovdje su bili dobri pa je parabola lijepo zadana, tj odmah se vidi da su nultocke x1, x2 (stavis y=0 pa je prilicno ocito).

Trazimo koeficijente smjera tangenti na graf tamo gdje on sjece x os (tj kad je y=0), iz njih cemo dobiti kuteve
Graf sjece x os u nultockama x1 i x2, dakle trazimo koef. smjera u tangenti u tockama x1, x2
To dobijemo derivacijom; koeficijenti koje trazimo su upravo y'(x1) i y'(x2)
Sad deriviramo funkciju, dobijemo y'(x)=2ax-a(x1+x2)
iz toga, uvrstavanjem, dobijemo:
y'(x1)=ax1-ax2
y'(x2)=ax2-ax1
to jest, y'(x1)=-y'(x2) (koef. smjera su jednaki po apsolutnoj vrijednosti, pa je ocito da te tangente sijeku x os pod istim kutem)

edit: ostali ne bas tolko brzo ipak kod 1.65 nisu bas najljepsi brojevi i ima hrpa za pisat, a 1.63 za sad ne vidim kak bi bez formula za jednadzbu 3. stupnja... ak se nekom da to pogledat, slobodno

[mornik]

Ma dobro, nije ovaj 1.65 tako strašan, količinu pisanja lako smanjimo tako da napišemo svaki drugi korak. Kao rezultat, vjerojatno neki dijelovi ovog neće baš biti jasni, pa javi ako nisu...

Znamo (tj. izvedemo, znajući što je zapravo tangenta i deriviranjem obje jednadžbe po ) da nam je jednadžba tangente na u zadatku napisanu parabolu u točki koja pripada toj paraboli , a na u zadatku napisanu kružnicu u točki (koja opet pripada toj kružnici) [/latex]\displaystyle y=-\frac{x_2}{y_2}(x-x_2)+y_2[/latex]. Prije toga se, naravno, lako pokaže da ne daje rješenje.

Dobro, sad želimo da su nam ova dva pravca jednaka, što znači da imamo i .

Uvrstimo sad prvu jednadžbu u drugu i dobivamo da mora vrijediti , tj. . Iz toga svođenjem na zajednički nazivnik izvedemo da je , tj. .

Ovo je sad kvadratna jednadžba po koju lako riješimo i iz koje onda lako izvedemo (primijeti da postoje dva za svaki ), pa onda i jednadžbe tih tangenti. Možda bi trebalo još na kraju provjeriti da svako od dobivenih rješenja da uistinu jest rješenje i to se zaista pokazuje da jest.

Što se tiče 1.63., kao da se sjećam da je i prošle godine bilo problema s tim zadatkom. Uglavnom, u ovom trenutku mi ništa ne pada na pamet - relativno se direktno dobije da tražimo i koji zadovoljavaju (što je elipsa, pa čak i nije toliko ružno) i (što ni po kojoj mjeri ljudskog razmišljanja ne može potpasti pod lijepo ). Kažem, to nije neki problem dobiti čisto izjednačavanjem koeficijenata tangenti, slično kao u 1.65.

Dalje, nažalost, ne vidim kako bih (a da bude imalo razumno) - iz prve se jednadžbe može, doduše, izraziti preko (to je kvadratna jednadžba po , pa bi se onda to moglo uvrstiti u drugu, ali mislim da bismo dobili neke poprilično ogavne korijene. WolframAlpha se slaže - postoje dva rješenja, ali ih dobiva kao korijene jednadžbe šestog stupnja, što ne možemo uopće riješiti u radikalima. Možda sam, doduše, pogriješio negdje u računu, pa postoji neki trik kako to riješiti koji nisam vidio, ali eto...

[kaj]

U 1.63 sam isto dobio takve dvije jednadžbe i uspio sam to svesti na:

(x_1)^2 + (x_2)^2 = 2/(x_1 + x_2) +3, točni x-evi su -1 i 2 što se uklapa u ove jednadžbe, ali ne znam kako do njih doći, valjda još neki uvjet treba postojati ili nešto

[weeh]

Pozdrav ljudi.
Imam jedno pitanje; bili koja dobra duša objasnila (ili možda riješila) sljedeći zadatak:

Traži se .
Zapravo to je 1.a) zadatak s prošlogodišnjeg kolokvija.
Pozdrav

[pbakic]

@mornik: moram zapamtit ovu fintu sa svakim drugim...

@weeh: evo hint za pocetak, moze i vise ak ce trebat:
jedino sta je bitno u zadatku je sjetit se da prebacimo (x+2), dalje ide samo od sebe:

(x+2)f(x)=arctg(x) / d/dx (deriviramo)

f(x) + (x+2)f'(x) = 1/(x^2+1) Sad gledamo 100-tu derivaciju od svega (pomocu Leibniza), promatramo samo lijevu stranu:


ove tockice zato sto cemo i tako gledat f(0), pa ce svi ostali clanovi propast
Sad samo uvrstimo x=0 i vidimo da smo dobili trazeno:

Dakle, da bismo dobili cemu je ovo jednako, samo treba derivirati 1/(x^2+1) sto puta

[Genaro]

Možd malo kasnim, ali molio bio da netko napiše rješenja zadataka 1.38 i 1.39 za provjeru i to, nisam bas previše siguran u svoje ovo

Evo, napisat ću ih da ljudi ne kopaju po skripti:

1.38

1.39

[weeh]

1.38. sam dobio ovako nekako
Za parne

a za neparne

posebno

[Ilja]

Što se tiče zadatka 1.63, možda je korisno primijetiti da ako je q(x)=kx+l eksplicitna jednadžba takve tangente, tada je uvjet zadatka ekvivalentan uvjetu da polinom f(x):=p(x)-q(x) (p(x) je polinom iz zadatka) ima dvije realne dvostruke nultocke, pa je oblika f(x)=(x-a)^2(x-b)^2 za neke a,b \in R koje treba odrediti.

[niveus]

Mala pomoć

Odredite sve točke u kojima se krivulje y=(1/3)x^3+x+1 i y=(3/2)x^2-x+11/6 dodiruju?

Hvala

[ante c]

1/3x^3+x+1=3/2x^2+x+11/6
2x^3-9x^2-5
nađeš riješenja tog polinoma njih ima 3 i onda deriviraš svaki polinom posebno i tražiš koja od ove 3 točke kada se uvrsti u derivaciju će dati isti smijer tangente dakle ta tangenta dira obadvije krivulje u istoj točki koja je i njihovo diralište

ja bi tak radio:D