1.zadaća 10/11

[Lepi91]

ja se nadam da ima ekipe koja zna rijesiti zadacu...ima 33 zadatka pa samo dajte ko kaj zna od kompliciranijih rjesenja,nek podijeli sa narodom )

[mornik]

Uz rizik da zvučim grub, sigurno da ima ekipe koja zna riješiti zadaću. Kad razmisliš, ima i ekipe koja zna riješiti kolokvije, ima i ekipe koja ih štoviše sastavlja... ispostavlja se da zapravo za dosta stvari na svijetu ima ekipe koja to zna riješiti. Ali to nije poanta, nego da sam probaš. Stoga, ajd' probaj riješiti to što te zanima, pa pitaj gdje zapneš (ili za hint u vezi nekog zadatka, to nije problem dati... ili ako hoćeš provjeriti rješenje). Onda će, jamčim, biti ekipe koja će ti pomoći. (Znam da nisi loše mislio, a zadaci pri kraju zbilja mi se ne čine prelagani, ali kvragu, kako odgovoriti čovjeku koji eksplicitno traži da mu se daju gotova rješenja domaće zadaće. )

Inače, nisam 100% siguran kakva su pravila ove godine, ali zadnjih par godina nije trebalo riješiti sve zadatke u zadaći - trebalo je riješiti četiri ili možda pet zadataka. Sad, ne znam, možda se nešto promijenilo, ali, koliko vidim, zadaće i dalje nose 10 bodova, pa bi barem meni bilo razumno očekivati da i dalje vrijede otprilike ista pravila (tj. da se ne mora riješiti sve). Vjerojatno su vam asistenti natuknuli nešto o tome na vježbama (na kojima ste svi jamačno bili )... vidim da na webu nema ničega. Ali kažem, možda i griješim.

[Lepi91]

probo ja ,rijesio ja neke(dosta njih) al ima kompliciranijih koje tipa ,ja bi reko jos nismo ni obradili,pa me zanima ako ima tko ko je rijesio takve pa da kaze kako ih je rijesio...

Added after 2 minutes:

[weeh]

Upala su mi u oko 2 zadatka pa da kažem hint.
30.) Promotrite slučaj za parni n i za neparni n. (uočite ako je n neparan da je tada nužno da je jedan od ). Tada pogodno grupirate i sljedi tvrdnja.(Uočite da vrijedi (zašto?))
31.) Promotrite diskriminatnu funkcije pod uputom.

Nakon nekoliko minuta neznajući što ću sa sobom odlučih ponovo pogledat zadaću i 26.) hint(A-H) nejednakost i odmah sljedi

[Tomislav]

Sto se tice 30. zadatka, nije potrebno promatrati je li paran ili neparan .

[weeh]

Trebam naučit čitat i upravu si da

[Tomislav]

Moram priznati da su vise manje si zadaci od vrlo zgodni, vecina su vise-manje osnovni, ima nekih forica i to al sve je to okay... dok ovi neki zadaci u intervalu stvarno antipaticni .

(Naglasak na abs)

Added after 13 minutes:

Nego, kako uopce predajemo ovu zadaću? Napisano na papir pa asistentu na ruke ili e-mailom?

[pbakic]

Predaje se na papiru, fizicki

[A-tom]

Na koji bi nacin dokazivali zad 18 - 33? Indukcijom ili?

[Tomislav]

Ovisno o tome o kojem se zadatku radi. Neki idu indukcijom, u nekima moras koristiti A-G-H-K sredine, u nekima Cauchy-Schwarz nejednakost (osim zadnjeg u kojem se koristi nešto drugo ).

[goranm]

[Lepi91]

zadaca se predaje na ruke...i treba rijesiti formalno samo 5 zadataka

[A-tom]

[mornik]

Da, obično na kraju zadaće budu teži zadaci koji baš i nisu potpuno obrađeni gradivom na nastavi. Zato (according to Lepi) i možete izabrati pet zadataka i predati ih.

Koliko vidim, neki (većina?) zadataka tu se mogu riješiti s nejednakostima sredina (u 18., su u pitanju, čini mi se, A-H i A-G, a nisam vidio da se negdje spominju nejednakosti sredina u svom općenitom obliku). Neki dokazi vjerojatno mogu i indukcijom, makar mi se ne čini baš trivijalno. E, da, čisto ako ćete rješavati, ako se ne varam, vidio sam tipfelere u 18. zadatku (naravno, u nazivniku prve nejednakosti je ) i 24. zadatku (sve vrijedi, samo se zove harmonijska, a ne kvadratna sredina).

Uglavnom, neki zadaci će biti poznati ljudima koji su se pripremali za natjecanja u srednjoj školi (Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky, K-A-G-H itd.). Ako vas zanima, našao sam par linkova gdje možete vidjeti neke poznate nejednakosti (s tim da se tamo obrađuje puno veći broj poznatih i relativno teških nejednakosti, tu u zadaći vjerojatno ne treba velika većina toga). Kao što rekoh, ta je tema dosta popularna na raznim natjecanjima iz matematike (pogotovo na višim razinama pa sve do međunarodnih tipa IMO i sl.), tako da ima dosta razumljivih stvari po Internetu.

S tim da se nemojte uplašiti - dosta (da ne lažem, ne znam napamet rješenja svih, pa čak ni dosta velikog dijela zadataka ) ovih nejednakosti u zadaći mi se čini relativno jednoidejna, tj. primijeniš nešto i odmah si na kraju.

[ceps]

Dva pitanja!

1. Da li profesori očekuju da svi znaju te ''natjecateljske'' stvari?

2. Pomoć oko pomalo glupog zadatka koji mi se čini i prejednostavan, a iritira me haha... ovaj 11.

Dokažite da je iracionalan za sve prirodne n.

[mornik]

Ne bih rekao da očekuju, te stvari su u zadaćama već (minimalno) treću godinu i do sada nisu pokazivale neku sposobnost da se prošire i na sferu kolokvija (a u zadaći ih, dakako, možeš izbjeći). Mislim da je to više kao nekakav poticaj onima koje zanimaju malo teže stvari, a na kolokvijima i usmenima je najbitnije gradivo spomenuto na vježbama i predavanjima. (Mislim, ne jamčim ja to i ne tvrdim da nema nekih iznimaka, samo pretpostavljam. Ja sam na usmenom odgovarao, među ostalim, nešto što, koliko znam, nismo spomenuli ni na predavanjima ni na vježbama, ali je bilo rečeno u srednjoj školi, nije bilo teško i usto se lako dalo izvesti samo od sebe.) Ako sam dobro čuo, ove bi se godine nakon tri godine mogla vratiti neobavezna natjecanja za dodatne bodove, a pretpostavljam da će se onda teže stvari pojavljivati tamo.

A evo hint za 11. - pretpostavi suprotno, kvadriraj, pogledaj što dobivaš i na taj način jednostavno pokaži da i mora biti racionalan. E, sad, o tome ste vjerojatno već raspravljali na Analizi ili Elementarnoj. Može se dokazati da znači da je nužno kvadrat cijelog broja. (Nije teško, zbilja nije, općeniti princip je isti kao kad ste, a pretpostavljam da jeste, pokazivali da je iracionalan.) Dakle, imaš da je i pretpostavili smo da je racionalan. Sad, opet, koristeći istu tvrdnju kao gore, možemo zaključiti da je kvadrat prirodnog broja. I sad samo dokaži da je to nemoguće (hint: smještanje između dva uzastopna kvadrata cijelih brojeva - to je inače relativno česta strategija u problemima s kvadratima i sl.). Evo, reci ako trebaju neki detaljniji hintovi.

[A-tom]

Puno hvala na pomoci i savjetima

[ceps]

Hvala! Shvatio sam sad taj dokaz.

Još jedno pitanje:

sin^4(x) + cos^4(x) > a, za a element od [0, 1]...

Mogu ljepše napisati ovaj sin^4(x) + cos^4(x) kao
(sin^2(x) + cos^2(x)) - 2sin^2(x)cos^2(x)... ma uglavnom, da ne duljim, mogu dotjerati taj izraz do toga da mi ostane samo sinus (ili kosinus, votevr).

Zapravo me ovaj ''a'' muči, ne znam kako bih sad oko njega to... Može još malo hintova? xD

[mornik]

Ha mislim, nema tu baš nekog pametnog hinta, došao si praktički do kraja. Dobio si, dakle, da je taj izraz na lijevoj strani jednak . Dakle, želiš , što bi reklo da moraš imati (specijalno, za nema rješenja jer je nemoguće imati ).

A dobro, sad bih ja zapravo tu gledao nekakva dva slučaja (čisto što se tiče zapisa, dosta je jasno da želiš sad nekako primijeniti na ovaj izraz, samo malo moramo paziti na domenu te funkcije).

Ako je (što je ekvivalentno s ), vidimo da nam može biti bilo koji broj od do (uključivo). Naravno, to se uvijek postiže, pa je tu skup rješenja .

S druge strane, ako je , probaj sad nacrtati situaciju na kružnici ili kako već. Kao što rekoh, prirodna je ideja primijeniti arkus kosinus na taj izraz (samo moramo biti pažljivi oko toga gdje su nam rubovi) - dobivamo da vrijedi za , ako sam si ja to sad dobro zamislio u glavi. (Primijeti da je za to jedan vrlo poseban skup. )

Slučaj smo već riješili, a ostalih slučajeva nema. Dakle, skupovi rješenja bi po meni trebali biti za , za i za .

Evo, (djelomično namjerno) nisam bio preprecizan i detaljan, ali sam zato dao rezultate da provjeriš. Eto... pitaj ako nije bilo dovoljno.

[frutabella]

Mogu li kolege i kolegice koji su rjesavali zadatke iz zadace napisati rjesenja zadataka koje su dobili prilikom rjesavanja s namjerom da usporedimo rezultate? Bila bih vam jako zahvalna.