Nije vazno o kojem broju se konkretno radi.
Kada imamo realan broj x poput x=1.735..... (beskonacno znamenaka, ali bez repa devetki), tada
smjestavamo u [1, 2], [1.7, 1.8], [1.73, 1.74], [1.735, 1.736] itd.
donji kraj drugog, treceg, itd. segmenta daje aproksimaciju od x s tocnoscu
0.1, 0.01, 0.001 itd.
Dobivamo beskonacni niz segmenata takav da je svaki osim prvog sadrzan u svom prethodniku, a njihov presjek je upravo broj x. Tu se koristi tvrdnja koja se naziva ''Cantorov aksiom'' a kod nas je posljedica Aksioma potpunosti.
Alternativno, moze se se reci da svaki element skupa A={1, 1.7, 1.73, 1.735, ...} (DONJI KRAJ) lezi lijevo od svakog elementa skupa B={2, 1.8, 1.74, 1.736} (GORNJI KRAJ) na brojevnom pravcu te da se izmedju ta dva skupa nalazi tocno jedan broj i to upravo nas x. Naime, Aksiom potpunosti garantira barem jedan broj izmedju A i B, ali gornje sve bolje i bolje aproksimacije 0.1, 0.01, 0.001, .... (do u beskonacnost) kazu da ima samo jedan!
Ovu kostrukciju koristili smo ne samo da smjestimo broj na brojevni pravac, vec i da pokazemo da za zadani niz znamenki koji ne zavrsava repom devetki postoji broj s tim decimalnim zapisom. Ovo moze zvucati cudno, ali podsjecam da ako pogledate decimalni zapis korijena iz 2 onda nema racionalnog broja ciji je to decimalni zapis, a tek Aksiom potpunosti garantira da takav broj (korijen iz 2) postoji u skupu realnih brojeva.
Nije vazno o kojem broju se konkretno radi.
Kada imamo realan broj x poput x=1.735..... (beskonacno znamenaka, ali bez repa devetki), tada
smjestavamo u [1, 2], [1.7, 1.8], [1.73, 1.74], [1.735, 1.736] itd.
donji kraj drugog, treceg, itd. segmenta daje aproksimaciju od x s tocnoscu
0.1, 0.01, 0.001 itd.
Dobivamo beskonacni niz segmenata takav da je svaki osim prvog sadrzan u svom prethodniku, a njihov presjek je upravo broj x. Tu se koristi tvrdnja koja se naziva ''Cantorov aksiom'' a kod nas je posljedica Aksioma potpunosti.
Alternativno, moze se se reci da svaki element skupa A={1, 1.7, 1.73, 1.735, ...} (DONJI KRAJ) lezi lijevo od svakog elementa skupa B={2, 1.8, 1.74, 1.736} (GORNJI KRAJ) na brojevnom pravcu te da se izmedju ta dva skupa nalazi tocno jedan broj i to upravo nas x. Naime, Aksiom potpunosti garantira barem jedan broj izmedju A i B, ali gornje sve bolje i bolje aproksimacije 0.1, 0.01, 0.001, .... (do u beskonacnost) kazu da ima samo jedan!
Ovu kostrukciju koristili smo ne samo da smjestimo broj na brojevni pravac, vec i da pokazemo da za zadani niz znamenki koji ne zavrsava repom devetki postoji broj s tim decimalnim zapisom. Ovo moze zvucati cudno, ali podsjecam da ako pogledate decimalni zapis korijena iz 2 onda nema racionalnog broja ciji je to decimalni zapis, a tek Aksiom potpunosti garantira da takav broj (korijen iz 2) postoji u skupu realnih brojeva.
|