Srednja skola drugi razred (zadatak) (zadatak)

[neznam]

Moze li mi netko pomoc sa ovim zadatkom.

Odredi komplekse brojeve z1,z2,z3 za koje vrijedi:


/z1/ = /z2/ = /z3/ = 1
z1+z2+z3 =1
z1 x z2 x z3 =1

Slabo se snalazim sa pisanjem zadataka , nadam se da je jasno da je /z/ modul kompleksnog broja.

[neznam]

Molim vas procitajte attachment.

[Gergonne]

Pretpostavimo da su z1, z2 i z3 sva tri rješenja jednadžbe p(x) = 0, gdje je p polinom stupnja 3 s realnim koeficijentima. (Koliko znam, u srednjoj školi ne uče se polinomi s kompleksnim koeficijentima.) Tada p(x) dopušta rastav oblika

p(x) = (x - z1)*(x - z2)*(x - z3)

Pomnožimo li sve članove na desnoj strani ove jednakosti i dobiveni izraz grupiramo prema padajućim potencijama od x, dobijemo:

p(x) = x^3 - (z1 + z2 + z3)*x^2 + (z1*z2 + z2*z3 + z3*z1)*x - z1*z2*z3.

U promatranom zadatku dobije se:

z1 + z2 + z3 = 1
z1*z2 + z2*z3 + z3*z1 = 1
z1*z2*z3 = 1,

pa su z1, z2 i z3 rješenja jednadžbe

x^3 - x^2 + x -1 = 0.

Ova jednadžba lako se riješi rastavom lijeve strane na faktore:

x^2*(x - 1) + (x - 1) = 0
(x - 1) * (x^2 + 1) = 0,

pa iz jednadžbi

x - 1 = 0
x^2 + 1 = 0

slijedi

x1 = 1, x2 = -i, x3 = i,

i to su traženi (kompleksni) brojevi.

HTH