| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
 Postano: 9:47 ned, 3. 4. 2011 Naslov: |
    |
|
|
Primijetimo da je [latex]\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=+\infty[/latex], neovisno o [latex]a[/latex]. E, sad, iskoristit ćemo to da pokažemo da uvijek postoje najviše dvije nultočke. Prvo ćemo pogledati [latex]f'(x)=e^x-1[/latex]. To je funkcija koja je negativna za [latex]x<0[/latex], za [latex]x=0[/latex] iznosi [latex]0[/latex], a dalje je pozitivna. Zaključujemo da je na [latex]\langle -\infty,0\rangle[/latex] funkcija strogo padajuća, a na [latex]\langle 0,+\infty\rangle[/latex] strogo rastuća: u nuli joj je minimum.
Sad, primijetimo da, ukoliko je [latex]f(0)>0[/latex], [latex]f[/latex] je uvijek veća od nule. Ukoliko je [latex]f(0)=0[/latex], to joj je jedina nultočka (jer će i "lijevo" i "desno" biti brojevi strogo veći od nule), a ako je [latex]f(0)<0[/latex], imat ćemo dvije nultočke. Zašto? Naravno, ne možemo imati više od dvije - koristeći strogu monotonost na ova dva intervala, nemoguće je da na nekom od tih intevala budu barem dvije nultočke. Također, na svakom intervalu imamo po jednu nultočku, po Bolzano-Weierstrassovom teoremu (tu nam je trebalo [latex]\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=+\infty[/latex]).
Eto, i to je to: [latex]f(0)>0[/latex] je ekvivalentno s [latex]a<1[/latex] i tada nema nultočaka. Analogno, za [latex]a=1[/latex] postoji točno jedna nultočka, a za [latex]a>1[/latex] dvije.
Primijetimo da je  , neovisno o  . E, sad, iskoristit ćemo to da pokažemo da uvijek postoje najviše dvije nultočke. Prvo ćemo pogledati  . To je funkcija koja je negativna za  , za  iznosi  , a dalje je pozitivna. Zaključujemo da je na  funkcija strogo padajuća, a na  strogo rastuća: u nuli joj je minimum.
Sad, primijetimo da, ukoliko je  ,  je uvijek veća od nule. Ukoliko je  , to joj je jedina nultočka (jer će i "lijevo" i "desno" biti brojevi strogo veći od nule), a ako je  , imat ćemo dvije nultočke. Zašto? Naravno, ne možemo imati više od dvije - koristeći strogu monotonost na ova dva intervala, nemoguće je da na nekom od tih intevala budu barem dvije nultočke. Također, na svakom intervalu imamo po jednu nultočku, po Bolzano-Weierstrassovom teoremu (tu nam je trebalo ).
Eto, i to je to: je ekvivalentno s  i tada nema nultočaka. Analogno, za  postoji točno jedna nultočka, a za  dvije.
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
|
| [Vrh] |
|
Gea_
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 12. 2010. (00:31:15)
Postovi: (12)16
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
| Postano: 10:54 ned, 3. 4. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="Gea_"]Može li netko riješiti 1.a) iz bilo koje grupe?
http://web.math.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol1.pdf
Hvala ![/quote]
Pomnozi cijelu jednadzbu sa (x+2), i dobijes
(x+2)y=arctgx
Posebno kad n-puta deriviras lijevu stranu posebno (tj. derivirat ces 1 put po Laibnizu, za k=0,1), i kad uvrstis x=0, i n=101, dobit ces jednakost koja ti se trazi.
Zatim samo jos desnu stranu izderiviras n puta, znaci y=arctg deriviras n puta. Nakon prve derivacije vidimo da funk izgleda ovako:
y'=1/ (1+x^2) --------> pomnozis sa 1+(x^2) i dobijes sljedecu jednakost
(1+x^2) y' = 1 ------> sad ovo opet po Laibnizu rijesis, DERIVIRAS n-1 put, jer smo jednom vec derivirali, ono sto dobijes (pomocu rekurzije) bit ce rjesenje. Ako se ne varam rezulatat je 100!.
Nadam se da je koliko toliko jasno.
Pomnozi cijelu jednadzbu sa (x+2), i dobijes
(x+2)y=arctgx
Posebno kad n-puta deriviras lijevu stranu posebno (tj. derivirat ces 1 put po Laibnizu, za k=0,1), i kad uvrstis x=0, i n=101, dobit ces jednakost koja ti se trazi.
Zatim samo jos desnu stranu izderiviras n puta, znaci y=arctg deriviras n puta. Nakon prve derivacije vidimo da funk izgleda ovako:
y'=1/ (1+x^2) --------> pomnozis sa 1+(x^2) i dobijes sljedecu jednakost
(1+x^2) y' = 1 ------> sad ovo opet po Laibnizu rijesis, DERIVIRAS n-1 put, jer smo jednom vec derivirali, ono sto dobijes (pomocu rekurzije) bit ce rjesenje. Ako se ne varam rezulatat je 100!.
Nadam se da je koliko toliko jasno.
|
|
| [Vrh] |
|
Tomy007
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 11. 2009. (19:45:28)
Postovi: (94)16
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
| Postano: 16:00 ned, 3. 4. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="mornik"][quote="moni_poni"]Zanimaju me zadaci 1.123.b,e,g, 1.126., 1.135., 1.136.[/quote]
Možda da kažeš što te zanima u vezi tih zadataka? :P Provjera rješenja, hintovi, adresa autora, da mu se "zahvališ"? :P Evo čisto nešto što ne bih ni nazvao hintovljem: u 1.136. rekao bih da je stvar prilično straightforward, zar ne: zapravo, čini mi se da postoji samo jedan takav (ovisno o tome što smatramo "upisanim" u kocku, ali i ako uzmemo nešto širu definiciju, i dalje su svi "centrirani" - jasno je ako nacrtaš).
U 1.135. vjerojatno ima smisla da gledaš duljinu tog isječka, pa preko nje napišeš volumen stošca - probao sam sad, mislim da ide, pa reci ako ima problema.
Pretpostavljam da je u 1.123. u svim dijelovima ideja da se pokaže da tvrdnja vrijedi u 0, a da je dalje derivacija razlike lijeve i desne strane pozitivna - u b) se stvar dobiva dosta očito, čini mi se (fizički deriviraš i stvar ti se pokrati), tako da reci koji je problem. U e) je isto tako, pokratiš ono što se može, kvadriraš, i to bi trebalo imati smisla (ja na kraju dobivam [latex]2x^2+2x+1>0[/latex]), a u g) nam zapravo možda bolje ide bez odmah derivacija na početku. Po [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_mean]općenitoj nejednakosti sredina[/url] dovoljno pokazati da je [latex]\sin x + 1/\sin x+\cos x+1/\cos x\geq 3\sqrt{2}[/latex]. To stoji i možeš dobiti relativno ne-teško deriviranjem, pa pitaj ako bude problema (kolega je dobio taj zadatak direktnije, tako da postoji više načina).
U priči s trapezom, stvar je slična kao za stožac - izrazi duljinu druge osnovice i visine kao funkcije u ovisnosti o alfa, a onda bi dalje trebalo ići. :) Evo, nadam se da pomaže, ubio sam se s ovim sada. :D
@Meda: Da, ako dobiješ da su neka rješenja kompleksna, na MA2 se u načelu to tretira isto kao "rješenja nema". :)[/quote]
Moze pomoc u vezi 1.123 pod f) i ako nije problem pod e) malo raspisati, negdje sam se pogubila..
| mornik (napisa): | | moni_poni (napisa): | | Zanimaju me zadaci 1.123.b,e,g, 1.126., 1.135., 1.136. |
Možda da kažeš što te zanima u vezi tih zadataka?  Provjera rješenja, hintovi, adresa autora, da mu se "zahvališ"? Evo čisto nešto što ne bih ni nazvao hintovljem: u 1.136. rekao bih da je stvar prilično straightforward, zar ne: zapravo, čini mi se da postoji samo jedan takav (ovisno o tome što smatramo "upisanim" u kocku, ali i ako uzmemo nešto širu definiciju, i dalje su svi "centrirani" - jasno je ako nacrtaš).
U 1.135. vjerojatno ima smisla da gledaš duljinu tog isječka, pa preko nje napišeš volumen stošca - probao sam sad, mislim da ide, pa reci ako ima problema.
Pretpostavljam da je u 1.123. u svim dijelovima ideja da se pokaže da tvrdnja vrijedi u 0, a da je dalje derivacija razlike lijeve i desne strane pozitivna - u b) se stvar dobiva dosta očito, čini mi se (fizički deriviraš i stvar ti se pokrati), tako da reci koji je problem. U e) je isto tako, pokratiš ono što se može, kvadriraš, i to bi trebalo imati smisla (ja na kraju dobivam  ), a u g) nam zapravo možda bolje ide bez odmah derivacija na početku. Po općenitoj nejednakosti sredina dovoljno pokazati da je  . To stoji i možeš dobiti relativno ne-teško deriviranjem, pa pitaj ako bude problema (kolega je dobio taj zadatak direktnije, tako da postoji više načina).
U priči s trapezom, stvar je slična kao za stožac - izrazi duljinu druge osnovice i visine kao funkcije u ovisnosti o alfa, a onda bi dalje trebalo ići.  Evo, nadam se da pomaže, ubio sam se s ovim sada. 
@Meda: Da, ako dobiješ da su neka rješenja kompleksna, na MA2 se u načelu to tretira isto kao "rješenja nema". |
Moze pomoc u vezi 1.123 pod f) i ako nije problem pod e) malo raspisati, negdje sam se pogubila..
|
|
| [Vrh] |
|
Tomislav
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 10. 2010. (20:18:25)
Postovi: (181)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
Tomy007
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 11. 2009. (19:45:28)
Postovi: (94)16
|
|
| [Vrh] |
|
zvonkec
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 11. 2010. (20:56:30)
Postovi: (37)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
| Postano: 16:30 ned, 3. 4. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="zvonkec"]Kako naći nultočke funkcije f(x) ako je
f(x)=x^2/2 + lnx ?[/quote]
Men se cini da ovjde nema rjesenja, odnosno da su rjesenja kompleksna, al ne znam da li je tocno, pretpostavljam.
Nakon prve derivacije, dobijemo [x^2 +1]/x, a nultocke toga su kompleksni brojevi.
Ovo nesigurno pricam, pricekaj da jos netko odg.
| zvonkec (napisa): | Kako naći nultočke funkcije f(x) ako je
f(x)=x^2/2 + lnx ? |
Men se cini da ovjde nema rjesenja, odnosno da su rjesenja kompleksna, al ne znam da li je tocno, pretpostavljam.
Nakon prve derivacije, dobijemo [x^2 +1]/x, a nultocke toga su kompleksni brojevi.
Ovo nesigurno pricam, pricekaj da jos netko odg.
|
|
| [Vrh] |
|
fejky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 06. 2010. (16:53:45)
Postovi: (3D)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
|
| [Vrh] |
|
A_je_to
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 02. 2009. (16:51:22)
Postovi: (6D)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
zvonkec
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 11. 2010. (20:56:30)
Postovi: (37)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
| Postano: 17:41 ned, 3. 4. 2011 Naslov: |
|
|
|
Da li je rijesio netko 1.124,
meni pod a) ispada min= e^(7/2), a max=e^4
b) min= -0,788 (u rubnoj tocki 1/2), max= 2/5 (u stac. tocki = 1)
(ako sam dobro uocila, nema tocki iz domene u kojima funkcija eventualno nebi bila derivabilna, nadam se da se ne varam)
Molila bih da netko provjeri rjesenja.
Hvala
Da li je rijesio netko 1.124,
meni pod a) ispada min= e^(7/2), a max=e^4
b) min= -0,788 (u rubnoj tocki 1/2), max= 2/5 (u stac. tocki = 1)
(ako sam dobro uocila, nema tocki iz domene u kojima funkcija eventualno nebi bila derivabilna, nadam se da se ne varam)
Molila bih da netko provjeri rjesenja.
Hvala
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
| Postano: 18:55 ned, 3. 4. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="zvonkec"]Hvala. Također, u zadatku 1.149. iz zadataka za vježbu uspio sam dokazati a) dio al ne mogu b). Molim pomoć.[/quote]
Evo sitna pomoć: samo djeluj na obje strane s [latex]\ln[/latex], a onda koristi Jensena na funkciju [latex]\ln(\tan(x))[/latex]. Stvar je dalje ista kao u a) dijelu, samo što je ovdje, naravno, funkcija konkavna na traženom intervalu. Mislim da bi to trebalo djelovati, ako ne ide, javi. :)
| zvonkec (napisa): | | Hvala. Također, u zadatku 1.149. iz zadataka za vježbu uspio sam dokazati a) dio al ne mogu b). Molim pomoć. |
Evo sitna pomoć: samo djeluj na obje strane s  , a onda koristi Jensena na funkciju  . Stvar je dalje ista kao u a) dijelu, samo što je ovdje, naravno, funkcija konkavna na traženom intervalu. Mislim da bi to trebalo djelovati, ako ne ide, javi.
|
|
| [Vrh] |
|
zvonkec
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 11. 2010. (20:56:30)
Postovi: (37)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
|
| [Vrh] |
|
meda
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 01. 2010. (09:29:23)
Postovi: (A0)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
