Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
ceps Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07) Postovi: (13A)16
|
Postano: 13:47 sri, 11. 5. 2011 Naslov: |
|
|
A je li ti jasan ovaj dio koji sam do sad napisao? U biti, ovo možeš dokazat pomoću matrica i pomoću operatora (ili miješajući to sve).
Ponavljam, fora je u dokazu, pošto je AB = BA, za svaki B... smisliti neke dobre B (bilo matrice ili operatore - ovisi kako gledate) da pokažete da da je A u biti skalar puta jedinična matrica\identiteta.
Znači, u prošlom postu sam pokazao da je A dijagonalna matrica što povlači da operator A uistinu ima bar jednu svojstvenu vrijednost (pošto se njegova matrica može dijagonalizirati).
E sad, prema onoj uputi u zadaći još treba pokazati da je bilo koji svojstveni potprostor operatora A invarijantan za svaki operator iz L(V)
No, to je poprilično ''straightforward'': sad znamo da operator A ima neku svojstvenu vrijednost, znači:
[latex]Ax = \lambda x[/latex] za neki x - koji je svojstveni vektor od A.
Onda [latex]A(Bx) = B(Ax) = B(\lambda x) = \lambda (Bx)[/latex]
Što vidimo iz ovoga? Bx je element svojstvenog potprostora od A za sv. vrijednost [latex]\lambda[/latex] za svaki operator B.
Znači, [latex]Av = \lambda v, \forall v \in V[/latex] -> ovo je jednakost operatora, problem je dokazan.
[b]2. način[/b]
Ovaj zadatak je inače izvađen iz zbirke Bakić-Milas (485.) i tamo je riješen posve s matricama.
Rj:
Neka je V dimenzije n. Neka je [latex]A = [\alpha_{ij}][/latex] matrica operatora u nekoj bazi. Slijedi da matrica A komutira sa svim matricama iz [latex]M_n(F)[/latex].
Specijalno, [latex]AE_{ij} = E_{ij}A [/latex] gdje je [latex]E_{ij}[/latex] elementarna matrica koja ima na mjestu (i, j) jedinicu, a nule na svim ostalim mjestima.
Uzimamo li za elementarne matrice [latex]E_{ij}[/latex] redom [latex]E_{12}, E_{23}, ..., E_{n-1, n}[/latex] dobijamo [latex]\alpha_{11} = ... = \alpha_{nn}[/latex] i [latex]\alpha_{ij} = 0[/latex] za [latex]i \neq j[/latex].
A je li ti jasan ovaj dio koji sam do sad napisao? U biti, ovo možeš dokazat pomoću matrica i pomoću operatora (ili miješajući to sve).
Ponavljam, fora je u dokazu, pošto je AB = BA, za svaki B... smisliti neke dobre B (bilo matrice ili operatore - ovisi kako gledate) da pokažete da da je A u biti skalar puta jedinična matrica\identiteta.
Znači, u prošlom postu sam pokazao da je A dijagonalna matrica što povlači da operator A uistinu ima bar jednu svojstvenu vrijednost (pošto se njegova matrica može dijagonalizirati).
E sad, prema onoj uputi u zadaći još treba pokazati da je bilo koji svojstveni potprostor operatora A invarijantan za svaki operator iz L(V)
No, to je poprilično ''straightforward'': sad znamo da operator A ima neku svojstvenu vrijednost, znači:
za neki x - koji je svojstveni vektor od A.
Onda
Što vidimo iz ovoga? Bx je element svojstvenog potprostora od A za sv. vrijednost za svaki operator B.
Znači, → ovo je jednakost operatora, problem je dokazan.
2. način
Ovaj zadatak je inače izvađen iz zbirke Bakić-Milas (485.) i tamo je riješen posve s matricama.
Rj:
Neka je V dimenzije n. Neka je matrica operatora u nekoj bazi. Slijedi da matrica A komutira sa svim matricama iz .
Specijalno, gdje je elementarna matrica koja ima na mjestu (i, j) jedinicu, a nule na svim ostalim mjestima.
Uzimamo li za elementarne matrice redom dobijamo i za .
|
|
[Vrh] |
|
maaajčiii Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 01. 2011. (12:11:11) Postovi: (2D)16
|
|
[Vrh] |
|
ceps Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07) Postovi: (13A)16
|
|
[Vrh] |
|
maaajčiii Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 01. 2011. (12:11:11) Postovi: (2D)16
|
|
[Vrh] |
|
Borgcube Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2010. (21:14:10) Postovi: (56)16
Lokacija: Tu i tamo.
|
Postano: 22:25 pet, 27. 5. 2011 Naslov: |
|
|
Ma u trećem ne treba ni raspisivanje po bazi, postoji jedan vrlo zgodan teorem koji nam nešto govori o tome kad želimo x prikazati kao sumu vektora iz potprostora čija je suma direktna i cijeli V.
Za 5. ne, ne možemo korjenovati matrice jer je rezultat nejedinstven... nekad. I ne, nije suprotno od dijagonalizacije.
Ali, možemo pogoditi način da idemo unazad s množenjem, posebno kod dijagonalnih matrica. Primjeti da se dijagonalne matrice jaaako lijepo množe, pa kad bi htjela dobiti dijagonalnu kao umnožak dviju matrica, kakve bi matrice uzela?
Primjeti da se radi nad C.
Ma u trećem ne treba ni raspisivanje po bazi, postoji jedan vrlo zgodan teorem koji nam nešto govori o tome kad želimo x prikazati kao sumu vektora iz potprostora čija je suma direktna i cijeli V.
Za 5. ne, ne možemo korjenovati matrice jer je rezultat nejedinstven... nekad. I ne, nije suprotno od dijagonalizacije.
Ali, možemo pogoditi način da idemo unazad s množenjem, posebno kod dijagonalnih matrica. Primjeti da se dijagonalne matrice jaaako lijepo množe, pa kad bi htjela dobiti dijagonalnu kao umnožak dviju matrica, kakve bi matrice uzela?
Primjeti da se radi nad C.
_________________ Ceterum censeo Carthaginem esse delendam.
|
|
[Vrh] |
|
maaajčiii Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 01. 2011. (12:11:11) Postovi: (2D)16
|
|
[Vrh] |
|
Borgcube Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2010. (21:14:10) Postovi: (56)16
Lokacija: Tu i tamo.
|
|
[Vrh] |
|
maaajčiii Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 01. 2011. (12:11:11) Postovi: (2D)16
|
|
[Vrh] |
|
lalala5 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 10. 2010. (17:54:28) Postovi: (3C)16
|
|
[Vrh] |
|
ceps Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07) Postovi: (13A)16
|
|
[Vrh] |
|
zvonkec Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 11. 2010. (20:56:30) Postovi: (37)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|