| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
 Postano: 19:25 pet, 17. 6. 2011 Naslov: |
    |
|
|
Prouči kako se ista funkcija ponaša na području, npr., [latex]\left\[ 1,2 \right\][/latex]. Gdje bi moglo doći do prekida?
Znaš da je [latex]sin^2(\pi x)[/latex] neprekidna funkcija za svaki [latex]x[/latex], ali kako se zapravo ponaša [latex]\left\lfloor x^2 \right\rfloor[/latex] na tom području? Znaš li koliko to iznosi ako "uvrstiš" za vrijednosti s istog segmenta?
Ako i sada zapinješ, reci pa ću dovršiti zadatak. Ne znam kako dati hint, a da ne odam rješenje zadatka. :P
Prouči kako se ista funkcija ponaša na području, npr.,  . Gdje bi moglo doći do prekida?
Znaš da je  neprekidna funkcija za svaki  , ali kako se zapravo ponaša  na tom području? Znaš li koliko to iznosi ako "uvrstiš" za vrijednosti s istog segmenta?
Ako i sada zapinješ, reci pa ću dovršiti zadatak. Ne znam kako dati hint, a da ne odam rješenje zadatka. 
|
|
| [Vrh] |
|
rain
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 04. 2011. (13:58:42)
Postovi: (13)16
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 13:10 sub, 18. 6. 2011 Naslov: |
|
|
|
Da, to je taj bitan dio koji treba riješiti.
Dakle, naslućuješ da je prekid negdje oko vrijednosti [latex]1.4[/latex] - konkretno, [latex]\sqrt{2}[/latex] (jer je [latex](\sqrt{2})^2=2[/latex], pa za brojeve koji su manji od [latex]\sqrt{2}[/latex] mora vrijediti [latex]x^2<2[/latex], a za veće [latex]x^2 \geq 2[/latex]).
Krenimo na zadatak!
Zadatak ću riješiti tako da gledam funkciju za pozitivne realne brojeve [latex]x[/latex] s obzirom da je [latex]f[/latex] parna funkcija. Ne utječe previše na zadatak, ali nema veze, nije loše ovo inače provjeriti jer ponekad može olakšati posao. :)
[latex]\left\lfloor x^2 \right\rfloor[/latex] na određenim dijelovima možemo interpretirati kao običnu konstantu, što je donekle jasno zbog ponašanja funkcije najveće cijelo - npr. [latex]\left\lfloor x \right\rfloor[/latex] je jednako [latex]1[/latex] za brojeve iz [latex]\left\[ 1,2 \right\rangle[/latex], [latex]2[/latex] za brojeve iz [latex]\left\[ 2,3 \right\rangle[/latex], itd.. U zadatku promatramo [latex]\left\lfloor x^2 \right\rfloor[/latex], pa ćemo slično promatrati za sve pozitivne realne brojeve [latex]x[/latex] čiji je kvadrat u skupu prirodnih brojeva.
Neka je [latex]x=c[/latex] takav broj i neka je [latex]C=sin^2(\pi c)[/latex]. Promatrajmo sada limes slijeva i zdesna u takvim točkama.
[latex]\displaystyle\lim_{x\to c^{+}} \left\lfloor x^2 \right\rfloor sin^2(\pi x) = c^2 \cdot C[/latex]. Naime, gledamo limes zdesna u točki [latex]c[/latex]. Znamo da je [latex]sin^2(\pi x)[/latex] neprekidna funkcija pa će taj izraz težiti u [latex]C[/latex]. [latex]\left\lfloor x^2 \right\rfloor[/latex] je jednako [latex]c^2[/latex] za brojeve koji su neposredno blizu broja [latex]c[/latex] s desne strane, kako se broj sve više približava u [latex]c[/latex]. Pokušaj to zamisliti na svom primjeru - ako [latex]x[/latex] teži u [latex]\sqrt{2}[/latex], tada za brojeve kao, npr., [latex]1.5[/latex], [latex]1.48[/latex], [latex]1.45[/latex], [latex]1.42[/latex], ..., do [latex]\sqrt{2} \approx 1.414213562[/latex], vrijedi [latex]\left\lfloor x^2 \right\rfloor = \left\lfloor (nesto-za-nijansu-vece-od-2) \right\rfloor = 2[/latex].
Analogno, za limes slijeva zaključuješ da vrijedi: [latex]\displaystyle\lim_{x\to c^{-}} \left\lfloor x^2 \right\rfloor sin^2(\pi x) = (c^2-1) \cdot C[/latex]. U ovom slučaju promatramo brojeve koji su manji, ali blizu [latex]c[/latex], pa iz toga slijedi ovaj limes. Možeš provjeriti na sličnim primjerima kao prije - recimo, [latex]1.3[/latex], [latex]1.35[/latex], [latex]1.4[/latex], [latex]1.4142[/latex], ...
Konačno, da bi funkcija u ovim točkama bila neprekidna, mora vrijediti [latex]c^2 \cdot C = (c^2-1) \cdot C[/latex], odnosno [latex]C=sin^2(\pi c)=0[/latex], a to vrijedi za sve prirodne brojeve [latex]c[/latex].
Dakle, ako za pozitivan realan broj [latex]x[/latex] vrijedi [latex]x^2 \in \mathbb{N}[/latex], tada u toj točki imamo prekid ako i samo ako je [latex]x \notin \mathbb{N}[/latex].
Za točke za koje [latex]x^2[/latex] nije prirodan broj možemo zaključiti da je funkcija neprekidna u tim točkama jer je i [latex]\left\lfloor x^2 \right\rfloor[/latex] neprekidna u okolini te točke. Promatraš li, npr., broj [latex]1.5[/latex], znaš da je [latex]1.5^2=2.25 \notin \mathbb{N}[/latex], pa postoji okolina toga broja za koje vrijedi [latex]\left\lfloor x^2 \right\rfloor = 2[/latex], Recimo, interval [latex]\left\langle 1.45, 1.55 \right\rangle = \left\langle 1.5-0.05, 1.5+0.05 \right\rangle[/latex] je dobar primjer.
Primijenimo ove zaključke za cijeli skup [latex]\mathbb{R}[/latex] i uočimo da je funkcija neprekidna u [latex]0[/latex] (jer za nju vrijedi [latex]sin^2(\pi \cdot 0) = 0[/latex], pa zadovoljava slučaj koji je gore naveden) i slijedi da je funkcija neprekidna na skupu: [latex]\left\{ x \in \mathbb{R} | x \in \mathbb{Z} \vee x^2 \notin \mathbb{N}\cup\left\{ 0 \right\} \right\}[/latex].
Drugi dio zadatka ti je sada možda lakši jer sam donekle opisao postupak rješavanja gore na primjeru broja [latex]1.5[/latex]. Samo trebaš precizno odrediti granice tog intervala - kalkulator može pomoći, premda bi možda bilo poželjno znati to i bez kalkulatora.
Eto! Nadam se da je dobro objašnjeno. Jest dosta opširno, ali dodao sam dosta opisa.
Ako svejedno nešto nije jasno, samo pitaj. :)
Da, to je taj bitan dio koji treba riješiti.
Dakle, naslućuješ da je prekid negdje oko vrijednosti  - konkretno,  (jer je  , pa za brojeve koji su manji od mora vrijediti  , a za veće  ).
Krenimo na zadatak!
Zadatak ću riješiti tako da gledam funkciju za pozitivne realne brojeve s obzirom da je  parna funkcija. Ne utječe previše na zadatak, ali nema veze, nije loše ovo inače provjeriti jer ponekad može olakšati posao. 
na određenim dijelovima možemo interpretirati kao običnu konstantu, što je donekle jasno zbog ponašanja funkcije najveće cijelo - npr.  je jednako  za brojeve iz  ,  za brojeve iz  , itd.. U zadatku promatramo , pa ćemo slično promatrati za sve pozitivne realne brojeve čiji je kvadrat u skupu prirodnih brojeva.
Neka je  takav broj i neka je  . Promatrajmo sada limes slijeva i zdesna u takvim točkama.
 . Naime, gledamo limes zdesna u točki  . Znamo da je neprekidna funkcija pa će taj izraz težiti u  . je jednako  za brojeve koji su neposredno blizu broja s desne strane, kako se broj sve više približava u . Pokušaj to zamisliti na svom primjeru - ako teži u , tada za brojeve kao, npr.,  ,  ,  ,  , ..., do  , vrijedi  .
Analogno, za limes slijeva zaključuješ da vrijedi:  . U ovom slučaju promatramo brojeve koji su manji, ali blizu , pa iz toga slijedi ovaj limes. Možeš provjeriti na sličnim primjerima kao prije - recimo,  ,  , ,  , ...
Konačno, da bi funkcija u ovim točkama bila neprekidna, mora vrijediti  , odnosno  , a to vrijedi za sve prirodne brojeve .
Dakle, ako za pozitivan realan broj vrijedi  , tada u toj točki imamo prekid ako i samo ako je  .
Za točke za koje  nije prirodan broj možemo zaključiti da je funkcija neprekidna u tim točkama jer je i neprekidna u okolini te točke. Promatraš li, npr., broj , znaš da je  , pa postoji okolina toga broja za koje vrijedi  , Recimo, interval  je dobar primjer.
Primijenimo ove zaključke za cijeli skup  i uočimo da je funkcija neprekidna u  (jer za nju vrijedi  , pa zadovoljava slučaj koji je gore naveden) i slijedi da je funkcija neprekidna na skupu:  .
Drugi dio zadatka ti je sada možda lakši jer sam donekle opisao postupak rješavanja gore na primjeru broja . Samo trebaš precizno odrediti granice tog intervala - kalkulator može pomoći, premda bi možda bilo poželjno znati to i bez kalkulatora.
Eto! Nadam se da je dobro objašnjeno. Jest dosta opširno, ali dodao sam dosta opisa.
Ako svejedno nešto nije jasno, samo pitaj.
|
|
| [Vrh] |
|
rain
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 04. 2011. (13:58:42)
Postovi: (13)16
|
|
| [Vrh] |
|
maaajčiii
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 01. 2011. (12:11:11)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
piccola
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2009. (15:39:50)
Postovi: (D7)16
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 14:17 ned, 19. 6. 2011 Naslov: |
|
|
|
Raspišeš li prvih nekoliko elemenata niza kao što je i piccola napravila, uočit ćeš da se radi o harmonijskom redu koji izmjenjuje predznak nakon svakog trećeg elementa. Dakle, prva dva su pozitivna, pa tri negativna, pa tri pozitivna, pa tri negativna, itd.. Mogli bi stoga nekako grupirati elemente niza tako da dobijemo ljepši izraz - na primjer, jedna grupa će činiti prvi, četvrti, sedmi, ..., [latex](3n-2).[/latex] element; zatim drugi, peti, ..., [latex](3n-1).[/latex] element; i konačno, treći, šesti, ..., [latex](3n).[/latex] element.
To nam daje ideju da promatramo sljedeće tri sume:
[latex]\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{1}{3n-2}[/latex] - elementi s rednim brojem oblika [latex](3k-2).[/latex]
[latex]\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{1}{3n-1}[/latex] - elementi s rednim brojem oblika [latex](3k-1).[/latex]
[latex]\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{1}{3n}[/latex] - elementi s rednim brojem oblika [latex](3k).[/latex]
Izračunaj sumu svakog od ta tri reda i zbroji ih - dobit ćeš traženo rješenje. :)
Raspišeš li prvih nekoliko elemenata niza kao što je i piccola napravila, uočit ćeš da se radi o harmonijskom redu koji izmjenjuje predznak nakon svakog trećeg elementa. Dakle, prva dva su pozitivna, pa tri negativna, pa tri pozitivna, pa tri negativna, itd.. Mogli bi stoga nekako grupirati elemente niza tako da dobijemo ljepši izraz - na primjer, jedna grupa će činiti prvi, četvrti, sedmi, ...,  element; zatim drugi, peti, ...,  element; i konačno, treći, šesti, ...,  element.
To nam daje ideju da promatramo sljedeće tri sume:
 - elementi s rednim brojem oblika 
 - elementi s rednim brojem oblika 
 - elementi s rednim brojem oblika 
Izračunaj sumu svakog od ta tri reda i zbroji ih - dobit ćeš traženo rješenje.
|
|
| [Vrh] |
|
maaajčiii
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 01. 2011. (12:11:11)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 15:15 ned, 19. 6. 2011 Naslov: |
|
|
|
Nije loša ideja (inače, za rubne točke pomaže drugi Abelov teorem).
Ja bih to ovako gledao, primjerice, za prvi red: [latex]\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{1}{3n-2}[/latex]
Imam niz razlomaka s brojnikom 1 i nazivnikom u ovisnosti o [latex]n[/latex]. Ne bi bilo loše imati funkciju koja izgleda ovako:
[latex]f(x)=\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{1}{3n-2}x^{3n-2}[/latex]
Zašto baš [latex]x^{3n-2}[/latex], a ne "obični" [latex]x^n[/latex]? Pa, zato što, kada bih derivirao ovaj red, ne bih više imao razlomke jer bi svaki element sume ovako izgledao: [latex](3n-2) \cdot \frac{1}{3n-2} x^{3n-3} = x^{3n-3}[/latex]. Odnosno, imao bih:
[latex]f'(x)=\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}x^{3n-3}[/latex]
A to me poprilično podsjeća na red koji konvergira u [latex]\frac{1}{1-x}[/latex], zar ne? Samo treba još malo dorade:
[latex]f'(x)=\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}x^{3n-3}=\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^{3n}}{x^3}=\frac{1}{x^3}\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}x^{3n}=\frac{1}{x^3}\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)(-1)^{n}(x^{3})^{n}=\frac{1}{x^3}\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)(-x^{3})^{n}[/latex]
To već izgleda kao geometrijski red! Dakle:
[latex]f'(x)=\frac{1}{x^3}\displaystyle\sum^{+\infty}_{n=1}(-1)(-x^{3})^{n}=\frac{1}{x^3} \cdot (-1)\frac{1}{1-(-x^3)}=\frac{-1}{x^3(1+x^3)}[/latex]
Nadam se da nisam nešto zeznuo, ali bitno da je dobro popraćena ideja rješavanja zadatka. :)
Sada bi još ovo trebalo integrirati, samo, ako sam ovo dobro napravio, i tu ima posla... Ali glavno da smo riješili glavni problem, a to je sređivanje i svođenje reda na funkciju u koju konvergira.
Ako još zapneš, viči. ;)
Nije loša ideja (inače, za rubne točke pomaže drugi Abelov teorem).
Ja bih to ovako gledao, primjerice, za prvi red:
Imam niz razlomaka s brojnikom 1 i nazivnikom u ovisnosti o  . Ne bi bilo loše imati funkciju koja izgleda ovako:
Zašto baš  , a ne "obični"  ? Pa, zato što, kada bih derivirao ovaj red, ne bih više imao razlomke jer bi svaki element sume ovako izgledao:  . Odnosno, imao bih:
A to me poprilično podsjeća na red koji konvergira u  , zar ne? Samo treba još malo dorade:
To već izgleda kao geometrijski red! Dakle:
Nadam se da nisam nešto zeznuo, ali bitno da je dobro popraćena ideja rješavanja zadatka.
Sada bi još ovo trebalo integrirati, samo, ako sam ovo dobro napravio, i tu ima posla... Ali glavno da smo riješili glavni problem, a to je sređivanje i svođenje reda na funkciju u koju konvergira.
Ako još zapneš, viči. 
|
|
| [Vrh] |
|
maaajčiii
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 01. 2011. (12:11:11)
Postovi: (2D)16
|
| Postano: 15:33 ned, 19. 6. 2011 Naslov: |
|
|
|
e hvala ti, kužim sve. nisam dobro razumjela ovaj drugi abelov, pomoću njega mogu znači gledati npr f(1) ili f(-1) ako mi je interval konvergencije <-1,1> pomoću limesa, tj gledam lim f(x) kad x teži u 1, odnosno -1?
e hvala ti, kužim sve. nisam dobro razumjela ovaj drugi abelov, pomoću njega mogu znači gledati npr f(1) ili f(-1) ako mi je interval konvergencije <-1,1> pomoću limesa, tj gledam lim f(x) kad x teži u 1, odnosno -1?
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
|
| [Vrh] |
|
maaajčiii
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 01. 2011. (12:11:11)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
piccola
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2009. (15:39:50)
Postovi: (D7)16
|
| Postano: 18:20 ned, 19. 6. 2011 Naslov: |
|
|
|
ja sam raspisala sve onako kako sam gore opisala...
i na kraju dobila 3/2 - suma od 1/(n+2) + suma od 1/(n+5)
onda za ove 2 sume što imam, kad n ide u beskonačno, pokrate se svi pribrojnici osim prva tri kod prve sume
znači, ostaje mi 3/2 - ( 1/3 + 1/4 +1/5 ) = 43/60
ovo je puno lakši način, al ne znam prihvaća li se to ili moramo rješavat kako je opisivano u skriptama...
bilo bi dobro da ne moramo toliko opširno pisat i komplicirat zadatke koji se mogu na ovako jednostavne načine riješit. istina, takvih je malo, ali i vremena je malo...
ja sam raspisala sve onako kako sam gore opisala...
i na kraju dobila 3/2 - suma od 1/(n+2) + suma od 1/(n+5)
onda za ove 2 sume što imam, kad n ide u beskonačno, pokrate se svi pribrojnici osim prva tri kod prve sume
znači, ostaje mi 3/2 - ( 1/3 + 1/4 +1/5 ) = 43/60
ovo je puno lakši način, al ne znam prihvaća li se to ili moramo rješavat kako je opisivano u skriptama...
bilo bi dobro da ne moramo toliko opširno pisat i komplicirat zadatke koji se mogu na ovako jednostavne načine riješit. istina, takvih je malo, ali i vremena je malo...
|
|
| [Vrh] |
|
Tomislav
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 10. 2010. (20:18:25)
Postovi: (181)16
Spol: 
|
| Postano: 19:10 ned, 19. 6. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="piccola"]ja sam raspisala sve onako kako sam gore opisala...
i na kraju dobila 3/2 - suma od 1/(n+2) + suma od 1/(n+5)
onda za ove 2 sume što imam, kad n ide u beskonačno, pokrate se svi pribrojnici osim prva tri kod prve sume
znači, ostaje mi 3/2 - ( 1/3 + 1/4 +1/5 ) = 43/60
ovo je puno lakši način, al ne znam prihvaća li se to ili moramo rješavat kako je opisivano u skriptama...
bilo bi dobro da ne moramo toliko opširno pisat i komplicirat zadatke koji se mogu na ovako jednostavne načine riješit. istina, takvih je malo, ali i vremena je malo...[/quote]
Ali suma nije 43/60 :?
| piccola (napisa): | ja sam raspisala sve onako kako sam gore opisala...
i na kraju dobila 3/2 - suma od 1/(n+2) + suma od 1/(n+5)
onda za ove 2 sume što imam, kad n ide u beskonačno, pokrate se svi pribrojnici osim prva tri kod prve sume
znači, ostaje mi 3/2 - ( 1/3 + 1/4 +1/5 ) = 43/60
ovo je puno lakši način, al ne znam prihvaća li se to ili moramo rješavat kako je opisivano u skriptama...
bilo bi dobro da ne moramo toliko opširno pisat i komplicirat zadatke koji se mogu na ovako jednostavne načine riješit. istina, takvih je malo, ali i vremena je malo... |
Ali suma nije 43/60 
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 19:39 ned, 19. 6. 2011 Naslov: |
|
|
|
piccola, koliko sam uspio razumjeti iz tvog posta, ti si sumu zapisala kao [latex]\displaystyle \sum \frac{3}{(n+2)(n+5)}[/latex], zar ne? To baš i nije točno zbog toga što ti krećeš od određenog broja [latex]n[/latex] i sumiraš to dalje [i]za svaki [latex]n[/latex][/i]. A ako bolje primijetiš, tvoje grupacije se svode za [latex]n=1,2,3,7,8,9,13,14,15,...[/latex], dakle neke brojeve preskačeš. Stoga to više nije ista suma.
I da napomenem: kad rješavam zadatke na forumu, trudim se objasniti ideju i način rješavanja zadatka ili dati što bolju smjernicu, a ne napisati ono što bih napisao i na kolokviju. Jedini "problem" je što sam onda preopširan, ali i inače sam takav, ne mogu si pomoći. :)
piccola, koliko sam uspio razumjeti iz tvog posta, ti si sumu zapisala kao  , zar ne? To baš i nije točno zbog toga što ti krećeš od određenog broja i sumiraš to dalje za svaki . A ako bolje primijetiš, tvoje grupacije se svode za  , dakle neke brojeve preskačeš. Stoga to više nije ista suma.
I da napomenem: kad rješavam zadatke na forumu, trudim se objasniti ideju i način rješavanja zadatka ili dati što bolju smjernicu, a ne napisati ono što bih napisao i na kolokviju. Jedini "problem" je što sam onda preopširan, ali i inače sam takav, ne mogu si pomoći.
|
|
| [Vrh] |
|
piccola
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2009. (15:39:50)
Postovi: (D7)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
