Evo rješenje zadatka s polinomima sa demonstratura. Nisam imala vremena stavit ga jučer na forum pa evo ga sad :) Nemam baš točan tekst zadatka ali mislim da je glasio ovako nekako: Slobodni član polinoma f(x) iznosi 3 a zbroj koeficijenata uz parne potencije od x iznosi 8. Odredite ostatak pri dijeljenju tog polinoma polinomom g(x)=x^3-x
Pa krenimo :)
ako polinom zapišemo u općem obliku i uzmemo u obzir da je a0=3 onda dobijemo polinom f(x)=anx^n+...+a1x+3
Buduci da je f(x) djeljiv s g(x) i pritom ima neki ostatak onda to mozemo zapisati ovako: f(x)=g(x)q(x)+r(x) pri čemu str<stg --> str=2 --> r(x)=ax^2+bx+c . Kada uvrstimo sve što znamo u nepoznanice dobijemo f(x)=(x^3-x)q(x)+ax^2+bx+c Sada uvršatavamo nultočke od g(x) a to su: x1=0,x2=1,x3=-1
za x1=0 imamo f(0)=c . Kada za x uvrstimo 0 u prvu opću jednadžbu za polinome dobit ćemo f(0)=3. kombinacijom toga sljedi c=3
za x2=1 imamo f(1)=a+b+c tj f(1)=a+b+3 Ako za x uvrstimo 1 u opću jednadžbu dobijemo f(1)=an+ a(n-1)+...+a1+3
za x3=-1 imamo f(-1)=a-b+c tj f(-1)=a-b+3 . Uvrstimo u opću jednadžbu i dobijemo f(-1)=an-a(n+1)+...-a1+3
Možemo to zapisati kao sustav f(1)=a+b+3=an+...+a1+3 i ispod toga f(-1)=a-b+3=an-a(n-1)+...-a1+3
Kada zbrojimo te dvije jednadžbe,neparni koeficijenti će nam se pokratiti i ostaju nam samo parni ali pomnoženi sa 2 jer ih zbrajamo pa imamo 2*8=2a+6 -->a=5
Još od prije imamo c=3 a sada imamo i a=5
b ne možemo dobiti jer on nije jedinstven, tj za b mozemo uzeti bilo sta i to ce nam zadovoljavati jednadžbu f(x)=g(x)q(x)+5x^2+bx+3 pri čemu f(x) ima uvjete koji su postavljeni u tekstu zadatka. i r(x) zadovoljava poletne uvjete jer je zbroj koeficijenata uz parne potencije =8 (5+3), slobodni član je 3 a za koeficijente uz neparne potencije zadatak ne kaze nista tako da b može biti bilo koji broj.
I za svaki slučaj, koeficijent a0 je također 'paran' koeficijent :)
Evo rješenje zadatka s polinomima sa demonstratura. Nisam imala vremena stavit ga jučer na forum pa evo ga sad Nemam baš točan tekst zadatka ali mislim da je glasio ovako nekako: Slobodni član polinoma f(x) iznosi 3 a zbroj koeficijenata uz parne potencije od x iznosi 8. Odredite ostatak pri dijeljenju tog polinoma polinomom g(x)=x^3-x
Pa krenimo
ako polinom zapišemo u općem obliku i uzmemo u obzir da je a0=3 onda dobijemo polinom f(x)=anx^n+...+a1x+3
Buduci da je f(x) djeljiv s g(x) i pritom ima neki ostatak onda to mozemo zapisati ovako: f(x)=g(x)q(x)+r(x) pri čemu str<stg --> str=2 --> r(x)=ax^2+bx+c . Kada uvrstimo sve što znamo u nepoznanice dobijemo f(x)=(x^3-x)q(x)+ax^2+bx+c Sada uvršatavamo nultočke od g(x) a to su: x1=0,x2=1,x3=-1
za x1=0 imamo f(0)=c . Kada za x uvrstimo 0 u prvu opću jednadžbu za polinome dobit ćemo f(0)=3. kombinacijom toga sljedi c=3
za x2=1 imamo f(1)=a+b+c tj f(1)=a+b+3 Ako za x uvrstimo 1 u opću jednadžbu dobijemo f(1)=an+ a(n-1)+...+a1+3
za x3=-1 imamo f(-1)=a-b+c tj f(-1)=a-b+3 . Uvrstimo u opću jednadžbu i dobijemo f(-1)=an-a(n+1)+...-a1+3
Možemo to zapisati kao sustav f(1)=a+b+3=an+...+a1+3 i ispod toga f(-1)=a-b+3=an-a(n-1)+...-a1+3
Kada zbrojimo te dvije jednadžbe,neparni koeficijenti će nam se pokratiti i ostaju nam samo parni ali pomnoženi sa 2 jer ih zbrajamo pa imamo 2*8=2a+6 -->a=5
Još od prije imamo c=3 a sada imamo i a=5
b ne možemo dobiti jer on nije jedinstven, tj za b mozemo uzeti bilo sta i to ce nam zadovoljavati jednadžbu f(x)=g(x)q(x)+5x^2+bx+3 pri čemu f(x) ima uvjete koji su postavljeni u tekstu zadatka. i r(x) zadovoljava poletne uvjete jer je zbroj koeficijenata uz parne potencije =8 (5+3), slobodni član je 3 a za koeficijente uz neparne potencije zadatak ne kaze nista tako da b može biti bilo koji broj.
I za svaki slučaj, koeficijent a0 je također 'paran' koeficijent
|