kompozicija funkcija

[kikzmyster]

zanima me kako se zakljuci da vrijedi Korolar 15.9 u skripti iz predavanja : "Kompozicija funkcija klase C^k je funkcija klase C^k".
Pise da to lako slijedi iz "f je klase C^k akko postoje sve parcijalne derivacije k-tog reda i neprekidne su", ali nije mi bas jasno kako bi jedno odmah impliciralo drugo.
Evo to poglavlje: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o15.pdf

[goranm]

To slijedi iz toga što je korolar 15.8. ekvivalentan s tim da su sve parcijalne derivacije funkcije klase C^k, funkcije klase C^(k-1). Sada indukcijom se pokaže da je kompozicija funkcija klase C^k, funkcija klase C^k.

_________________
The Dude Abides

[sz]

Mislim da je "lako" malo relativan pojam. Precizan bi dokaz išao indukcijom po k, koristeći ekvivalenciju:

Funkcija [tex]f:A\to\mathbb{R}^m[/tex] je klase [tex]C^k[/tex] akko postoje sve parcijalne derivacije k-tog reda i neprekidne su na A akko postoje sve parcijalne derivacije 1. reda i klase su [tex]C^{k-1}[/tex].

Sad bi indukcija izgledala ovako:

Baza: k = 1 ... imamo teorem koji govori da je kompozicija diferencijabilnih preslikavanja diferencijabilna, a on daje i formulu za diferencijal iz koje možemo pročitati kako izgledaju parcijalne derivacije (dobiju se nekakvim množenjem i zbrajanjem parcijalnih derivacija fja f i g, tu i tamo komponiranih s nekim neprekidnim stvarima, dakle sve skupa formule s hrpom neprekidnih preslikavanja) - parcijalne derivacije kompozicije su neprekidne i sve OK.

Korak: Pretpostavimo da za bilo koje [tex]f,g\in C^{k-1}(A,\mathbb{R}^m)[/tex] vrijedi da je [tex]f\circ g[/tex] klase [tex]C^{k-1}[/tex]. Neka su [tex]f,g\in C^{k}[/tex]. To je, prema onom gore, ekvivalentno s tim da postoje sve parcijalne derivacije 1. reda i klase su [tex]C^{k-1}[/tex]. Ali sad opet pogledamo formulu za diferencijal fje [tex]f\circ g[/tex]:
[dtex]D(f\circ g)(c)=Df(g(c))Dg(c)[/dtex]
i vidimo da unutra zapravo piše da se parcijalne derivacije prvog reda fje [tex]f\circ g[/tex] mogu dobiti kao skalarni produkt dvaju vektora:
- vektora punog parcijalnih derivacija funkcije f (koje su klase [tex]C^{k-1}[/tex]) komponiranih s fjom g (koja je također klase [tex]C^{k-1}[/tex]), dakle po pretpostavci indukcije sve su komponente tog vektora klase [tex]C^{k-1}[/tex];
- vektora punog nekih parcijalnih derivacija fje g, koje su također klase [tex]C^{k-1}[/tex].
Sad tu još iskoristimo tvrdnju da je umnožak realnih fja klase [tex]C^{k-1}[/tex] klase [tex]C^{k-1}[/tex] (što se također dokazuje indukcijom), ista stvar za zbroj, i zaključujemo da je svaka parcijalna derivacija 1. reda fje [tex]f \circ g[/tex] klase [tex]C^{k-1}[/tex], što je po onom gore ekvivalentno s tim da je fja [tex]f\circ g[/tex] klase [tex]C^k[/tex].

Po principu matematičke indukcije blablabla. Q.E.D.