| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
 Postano: 14:55 ned, 29. 1. 2012 Naslov: |
    |
|
|
Stupanj minimalnog polinoma od A je dimenzija prostora razapetog svim potencijama tog operatora, tj. prostora svih polinoma u A (predavanja). Budući da su sve fje operatora, pa i sve stvari oblika [tex]\cos^k A[/tex], neki polinomi u A, svih 50 navedenih operatora je u tom prostoru - prostoru dimenzije 49, pa nikako ne mogu biti linearno nezavisni.
Stupanj minimalnog polinoma od A je dimenzija prostora razapetog svim potencijama tog operatora, tj. prostora svih polinoma u A (predavanja). Budući da su sve fje operatora, pa i sve stvari oblika [tex]\cos^k A[/tex], neki polinomi u A, svih 50 navedenih operatora je u tom prostoru - prostoru dimenzije 49, pa nikako ne mogu biti linearno nezavisni.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
mmvvooll
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 02. 2009. (19:16:06)
Postovi: (16)16
|
|
| [Vrh] |
|
ecan
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 06. 2010. (18:09:54)
Postovi: (23)16
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 16:04 ned, 29. 1. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]hm, ok , moram procitat predavanja da skuzim to malo..
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/vp_kol2A.pdf
a jel bi netko znao 7. ?[/quote]
Možeš npr. po Tmu o preslikavanju spektra zaključiti da je [tex]\sigma(U+I)=\{\lambda+1 : \lambda\in\sigma (U)\}[/tex], a, kako je [tex]U+I[/tex] hermitski operator, sve u njegovom spektru mora biti realno. Znači, za svaku svojstvenu vrijednost [tex]\lambda[/tex] operatora [tex]U[/tex] vrijedi da je [tex]\lambda + 1 \in \mathbb{R}[/tex], što je ekvivalentno sa [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex]. Osim toga, mora biti [tex]|\lambda|=1[/tex] (jer je [tex]U[/tex] unitaran), pa su jedini mogući kandidati za svojstvene vrijednosti 1 i -1, tj. u spektru takvog operatora mogu biti najviše dvije svojstvene vrijednosti. Primjer je recimo [tex]U\in L(\mathbb{C}^2), \quad U(x_1,x_2)=(x_1, -x_2)[/tex].
[quote="mmvvooll"] jel netko naisao na rijesenje ovakvog zadatka:
1.KOLOKVIJ Neka je S e L(C3) skup operatora za koje vrijedi
A^2012 - 6A^2011 = -9A^2010:
takav da nikoja dva operatora iz S nisu medusobno slicna. Koliko
najvise elemenata moze imati skup S? Sve tvrdnje detaljno obrazlozite.
mislim da to ima veze sa minimalnim polinomom al nisam sigurna.
kad ovo gore sredimo dobijemo A^2011(A-3I)^2=0...i sad neznam kaj dalje. [/quote]
Dobila si da polinom [tex]x^{2010}(x-3)^2[/tex] poništava svaki operator A u S, što je istina akko min. polinom od A dijeli taj polinom. Sad su jedini kandidati za min. polinom od A [tex]x, x^2, x^3, x-3, (x-3)^2, x(x-3), x^2(x-3), x(x-3)^2[/tex], i sad treba vidjeti koliko ima međusobno nesličnih operatora s tim minimalnim polinomima, tj. koliko se različitih Jordanovih formi s tim minimalnim polinomima može sklepati. Čini mi se da [tex]x(x-3)[/tex] daje dvije, a svi ostali po jednu, dakle ukupno 9, ako nešto ne previdjeh.
Možeš npr. po Tmu o preslikavanju spektra zaključiti da je [tex]\sigma(U+I)=\{\lambda+1 : \lambda\in\sigma (U)\}[/tex], a, kako je [tex]U+I[/tex] hermitski operator, sve u njegovom spektru mora biti realno. Znači, za svaku svojstvenu vrijednost [tex]\lambda[/tex] operatora [tex]U[/tex] vrijedi da je [tex]\lambda + 1 \in \mathbb{R}[/tex], što je ekvivalentno sa [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex]. Osim toga, mora biti [tex]|\lambda|=1[/tex] (jer je [tex]U[/tex] unitaran), pa su jedini mogući kandidati za svojstvene vrijednosti 1 i -1, tj. u spektru takvog operatora mogu biti najviše dvije svojstvene vrijednosti. Primjer je recimo [tex]U\in L(\mathbb{C}^2), \quad U(x_1,x_2)=(x_1, -x_2)[/tex].
| mmvvooll (napisa): | jel netko naisao na rijesenje ovakvog zadatka:
1.KOLOKVIJ Neka je S e L(C3) skup operatora za koje vrijedi
A^2012 - 6A^2011 = -9A^2010:
takav da nikoja dva operatora iz S nisu medusobno slicna. Koliko
najvise elemenata moze imati skup S? Sve tvrdnje detaljno obrazlozite.
mislim da to ima veze sa minimalnim polinomom al nisam sigurna.
kad ovo gore sredimo dobijemo A^2011(A-3I)^2=0...i sad neznam kaj dalje. |
Dobila si da polinom [tex]x^{2010}(x-3)^2[/tex] poništava svaki operator A u S, što je istina akko min. polinom od A dijeli taj polinom. Sad su jedini kandidati za min. polinom od A [tex]x, x^2, x^3, x-3, (x-3)^2, x(x-3), x^2(x-3), x(x-3)^2[/tex], i sad treba vidjeti koliko ima međusobno nesličnih operatora s tim minimalnim polinomima, tj. koliko se različitih Jordanovih formi s tim minimalnim polinomima može sklepati. Čini mi se da [tex]x(x-3)[/tex] daje dvije, a svi ostali po jednu, dakle ukupno 9, ako nešto ne previdjeh.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
ecan
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 06. 2010. (18:09:54)
Postovi: (23)16
|
|
| [Vrh] |
|
mmvvooll
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 02. 2009. (19:16:06)
Postovi: (16)16
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
jackass9
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 09. 2009. (10:23:58)
Postovi: (15D)16
Spol: 
Lokacija: pod stolom
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 20:09 ned, 29. 1. 2012 Naslov: |
|
|
|
Za 3. zadatak s ovogodišnjeg kolokvija OK baza su bilo koje 3 lin. nezavisne matrice iz [tex]M_2(\mathbb{C})[/tex] s tragom 0 (ako malo razmislite, uvjet je ekvivalentan tome), mogu imati i realne i imaginarne i ružne 100% kompleksne stvari u sebi, bitno da zadovoljavaju uvjet i da su linearno nezavisne.
[quote="Anonymous"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-popravak.pdf
Moze pomoc oko 6. !![/quote]
Imaš [tex](N^3)^{10}=0,(N^3)^9\neq 0,(N^{14})^2=0,(N^{14})^1\neq 0[/tex]. Iz toga izvučeš [tex]N^{27}\neq 0,N^{28}=0[/tex] pa je [tex]ind\,N=28[/tex].
Za 3. zadatak s ovogodišnjeg kolokvija OK baza su bilo koje 3 lin. nezavisne matrice iz [tex]M_2(\mathbb{C})[/tex] s tragom 0 (ako malo razmislite, uvjet je ekvivalentan tome), mogu imati i realne i imaginarne i ružne 100% kompleksne stvari u sebi, bitno da zadovoljavaju uvjet i da su linearno nezavisne.
| Anonymous (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-popravak.pdf
Moze pomoc oko 6. !! |
Imaš [tex](N^3)^{10}=0,(N^3)^9\neq 0,(N^{14})^2=0,(N^{14})^1\neq 0[/tex]. Iz toga izvučeš [tex]N^{27}\neq 0,N^{28}=0[/tex] pa je [tex]ind\,N=28[/tex].
|
|
| [Vrh] |
|
dine
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 06. 2010. (16:06:19)
Postovi: (18)16
Spol:
Lokacija: dark side of the moon
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 20:24 ned, 29. 1. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="sz"]Za 3. zadatak s ovogodišnjeg kolokvija OK baza su bilo koje 3 lin. nezavisne matrice iz [tex]M_2(\mathbb{C})[/tex] s tragom 0 (ako malo razmislite, uvjet je ekvivalentan tome), mogu imati i realne i imaginarne i ružne 100% kompleksne stvari u sebi, bitno da zadovoljavaju uvjet i da su linearno nezavisne.
[quote="Anonymous"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-popravak.pdf
Moze pomoc oko 6. !![/quote]
Imaš [tex](N^3)^{10}=0,(N^3)^9\neq 0,(N^{14})^2=0,(N^{14})^1\neq 0[/tex]. Iz toga izvučeš [tex]N^{27}\neq 0,N^{28}=0[/tex] pa je [tex]ind\,N=28[/tex].[/quote]
Joj mislila sam 6. iz druge grupe , za drugi kolokvij. :S
| sz (napisa): | Za 3. zadatak s ovogodišnjeg kolokvija OK baza su bilo koje 3 lin. nezavisne matrice iz [tex]M_2(\mathbb{C})[/tex] s tragom 0 (ako malo razmislite, uvjet je ekvivalentan tome), mogu imati i realne i imaginarne i ružne 100% kompleksne stvari u sebi, bitno da zadovoljavaju uvjet i da su linearno nezavisne.
| Anonymous (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-popravak.pdf
Moze pomoc oko 6. !! |
Imaš [tex](N^3)^{10}=0,(N^3)^9\neq 0,(N^{14})^2=0,(N^{14})^1\neq 0[/tex]. Iz toga izvučeš [tex]N^{27}\neq 0,N^{28}=0[/tex] pa je [tex]ind\,N=28[/tex]. |
Joj mislila sam 6. iz druge grupe , za drugi kolokvij. :S
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 20:55 ned, 29. 1. 2012 Naslov: |
|
|
|
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-popravak.pdf
6. (2. kolokvij) E, to je već zanimljivije... :) Tm o preslikavanju spektra daje da je [tex]\sigma((H+iH^2)^5)=\{(\lambda+i\lambda^2)^5:\lambda\in\sigma(H)\}[/tex]. Kako se radi o unitarnom operatoru, zaključujemo da za svaku sv. vrijednost [tex]\lambda[/tex] od H mora vrijediti [tex]|(\lambda+i\lambda^2)^5|=1[/tex], a onda i [tex]|\lambda+i\lambda^2|=1[/tex]. Kako je H pozitivan, [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex] pa je [tex]|\lambda+i\lambda^2|=\sqrt{\lambda^2+\lambda^4}[/tex] i imamo [tex]\lambda^2+\lambda^4=1[/tex]. Rješavanjem ove jednadžbe dobije se [tex]\lambda^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex] (negativno rješenje odbacimo), a onda je [tex]\det H[/tex] umnožak svih svojstvenih vrijednosti, tj. [tex]\det H = \lambda^6 = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3[/tex], valjda.
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-popravak.pdf
6. (2. kolokvij) E, to je već zanimljivije...  Tm o preslikavanju spektra daje da je [tex]\sigma((H+iH^2)^5)=\{(\lambda+i\lambda^2)^5:\lambda\in\sigma(H)\}[/tex]. Kako se radi o unitarnom operatoru, zaključujemo da za svaku sv. vrijednost [tex]\lambda[/tex] od H mora vrijediti [tex]|(\lambda+i\lambda^2)^5|=1[/tex], a onda i [tex]|\lambda+i\lambda^2|=1[/tex]. Kako je H pozitivan, [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex] pa je [tex]|\lambda+i\lambda^2|=\sqrt{\lambda^2+\lambda^4}[/tex] i imamo [tex]\lambda^2+\lambda^4=1[/tex]. Rješavanjem ove jednadžbe dobije se [tex]\lambda^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex] (negativno rješenje odbacimo), a onda je [tex]\det H[/tex] umnožak svih svojstvenih vrijednosti, tj. [tex]\det H = \lambda^6 = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3[/tex], valjda.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 21:03 ned, 29. 1. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="sz"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-popravak.pdf
6. (2. kolokvij) E, to je već zanimljivije... :) Tm o preslikavanju spektra daje da je [tex]\sigma((H+iH^2)^5)=\{(\lambda+i\lambda^2)^5:\lambda\in\sigma(H)\}[/tex]. Kako se radi o unitarnom operatoru, zaključujemo da za svaku sv. vrijednost [tex]\lambda[/tex] od H mora vrijediti [tex]|(\lambda+i\lambda^2)^5|=1[/tex], a onda i [tex]|\lambda+i\lambda^2|=1[/tex]. Kako je H pozitivan, [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex] pa je [tex]|\lambda+i\lambda^2|=\sqrt{\lambda^2+\lambda^4}[/tex] i imamo [tex]\lambda^2+\lambda^4=1[/tex]. Rješavanjem ove jednadžbe dobije se [tex]\lambda^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex] (negativno rješenje odbacimo), a onda je [tex]\det H[/tex] umnožak svih svojstvenih vrijednosti, tj. [tex]\det H = \lambda^6 = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3[/tex], valjda.[/quote]
hvala, mislim da je dobro :D:D
| sz (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-popravak.pdf
6. (2. kolokvij) E, to je već zanimljivije... Tm o preslikavanju spektra daje da je [tex]\sigma((H+iH^2)^5)=\{(\lambda+i\lambda^2)^5:\lambda\in\sigma(H)\}[/tex]. Kako se radi o unitarnom operatoru, zaključujemo da za svaku sv. vrijednost [tex]\lambda[/tex] od H mora vrijediti [tex]|(\lambda+i\lambda^2)^5|=1[/tex], a onda i [tex]|\lambda+i\lambda^2|=1[/tex]. Kako je H pozitivan, [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex] pa je [tex]|\lambda+i\lambda^2|=\sqrt{\lambda^2+\lambda^4}[/tex] i imamo [tex]\lambda^2+\lambda^4=1[/tex]. Rješavanjem ove jednadžbe dobije se [tex]\lambda^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex] (negativno rješenje odbacimo), a onda je [tex]\det H[/tex] umnožak svih svojstvenih vrijednosti, tj. [tex]\det H = \lambda^6 = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3[/tex], valjda. |
hvala, mislim da je dobro 
|
|
| [Vrh] |
|
lutalica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 10. 2010. (21:44:01)
Postovi: (24)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
