| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
monet
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 10. 2009. (11:57:21)
Postovi: (4)16
|
|
| [Vrh] |
|
lucika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2007. (17:52:27)
Postovi: (12F)16
Spol: 
|
 Postano: 14:24 sub, 28. 1. 2012 Naslov: |
    |
|
|
dal bi netko mogo argumentirat
zašto niz xn=(-1)^n, n iz N, ne konvergira i
zašto niz yn=n, n iz N, konvergira prema nuli u topološkom prostoru (R,T), gdje je T topologija na R kojoj je baza
B={R\K, K konačan podskup od R\{0}} U {{x}, x iz R\{0}}?
dal bi netko mogo argumentirat
zašto niz xn=(-1)^n, n iz N, ne konvergira i
zašto niz yn=n, n iz N, konvergira prema nuli u topološkom prostoru (R,T), gdje je T topologija na R kojoj je baza
B={R\K, K konačan podskup od R\{0}} U {{x}, x iz R\{0}}?
|
|
| [Vrh] |
|
Novi
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 07. 2007. (12:08:32)
Postovi: (11F)16
Spol: 
|
| Postano: 18:15 sub, 28. 1. 2012 Naslov: |
|
|
|
Za [tex]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/tex] je [tex]\{x\}[/tex] je otvoren skup i ocigledno nije moguce naci prirodan broj [tex]n[/tex] takav da su svi clanovi nakon [tex]n[/tex]-tog (a to su [tex]1[/tex] i [tex]-1[/tex]) unutar [tex]\{x\}[/tex].
Dakle [tex](x_n)_n[/tex] ne konvergira ni prema kojem realnom broju osim mozda nule.
Da ne konvergira ni nuli se vidi uzimajuci otvoreni skup [tex]\mathbb{R}\setminus\{1,-1\}[/tex] koji ne sadrzi niti jedan clan niza.
Za drugi dio prvo uoci da svaki otvoreni skup koji sadrzi nulu, nuzno sadrzi kao podskup skup oblika [tex]\mathbb{R}\setminus K[/tex], gdje je K konačan podskup od [tex]\mathbb{R}\setminus\{0\}[/tex].
Sada je ocigledno, buduci da je [tex]K[/tex] konacan da ce nakon nekog [tex]n[/tex] svi elementi u [tex]K[/tex] biti manji od [tex]n[/tex]. Tj. svi elementi niza [tex](y_n)_n[/tex] ce biti unutar [tex]\mathbb{R}\setminus K[/tex] pa i unutar tog otvorenog skupa od kojeg smo krenuli.
(Dodatak: Lako mozes kao i gore vidjeti da [tex](y_n)_n[/tex] ne konvergira ni prema kojem drugom realnom broju, no to se nije trazilo u zadatku.)
Za [tex]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/tex] je [tex]\{x\}[/tex] je otvoren skup i ocigledno nije moguce naci prirodan broj [tex]n[/tex] takav da su svi clanovi nakon [tex]n[/tex]-tog (a to su [tex]1[/tex] i [tex]-1[/tex]) unutar [tex]\{x\}[/tex].
Dakle [tex](x_n)_n[/tex] ne konvergira ni prema kojem realnom broju osim mozda nule.
Da ne konvergira ni nuli se vidi uzimajuci otvoreni skup [tex]\mathbb{R}\setminus\{1,-1\}[/tex] koji ne sadrzi niti jedan clan niza.
Za drugi dio prvo uoci da svaki otvoreni skup koji sadrzi nulu, nuzno sadrzi kao podskup skup oblika [tex]\mathbb{R}\setminus K[/tex], gdje je K konačan podskup od [tex]\mathbb{R}\setminus\{0\}[/tex].
Sada je ocigledno, buduci da je [tex]K[/tex] konacan da ce nakon nekog [tex]n[/tex] svi elementi u [tex]K[/tex] biti manji od [tex]n[/tex]. Tj. svi elementi niza [tex](y_n)_n[/tex] ce biti unutar [tex]\mathbb{R}\setminus K[/tex] pa i unutar tog otvorenog skupa od kojeg smo krenuli.
(Dodatak: Lako mozes kao i gore vidjeti da [tex](y_n)_n[/tex] ne konvergira ni prema kojem drugom realnom broju, no to se nije trazilo u zadatku.)
_________________
Jedan je smjer očit, a drugi je trivijalan.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
lucika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2007. (17:52:27)
Postovi: (12F)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
lucika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2007. (17:52:27)
Postovi: (12F)16
Spol:
|
| Postano: 11:50 ned, 29. 1. 2012 Naslov: |
|
|
|
hm...ovak po sjećanju, mislim da je bilo pitanje što je norma,kad su metrike top ekvivalentne,primjer metr prostora koji je omeđen ali nije potp omeđen,def.baze topologije(možda)...
[size=9][color=#999999]Added after 11 minutes:[/color][/size]
@Novi, hvala na odgovoru al moram priznat da mi nije baš najjasnije :?
ak sam dobro skužila, nama je u cilju naći neki otvoreni skup iz B td su svi članovi promatranog niza nakon nekog n-tog u tom skupu. tada će taj niz konvergirati prema nekom broju iz tog otv.skupa??
hm...ovak po sjećanju, mislim da je bilo pitanje što je norma,kad su metrike top ekvivalentne,primjer metr prostora koji je omeđen ali nije potp omeđen,def.baze topologije(možda)...
Added after 11 minutes:
@Novi, hvala na odgovoru al moram priznat da mi nije baš najjasnije 
ak sam dobro skužila, nama je u cilju naći neki otvoreni skup iz B td su svi članovi promatranog niza nakon nekog n-tog u tom skupu. tada će taj niz konvergirati prema nekom broju iz tog otv.skupa??
|
|
| [Vrh] |
|
Novi
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 07. 2007. (12:08:32)
Postovi: (11F)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
lucika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2007. (17:52:27)
Postovi: (12F)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: 
|
| Postano: 14:09 ned, 29. 1. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="lucika"]jel se natko sijeća teorijskih pitanja na 4. i 5. zad s 2.kolokvija?
i kak bi išlo rješenje zadatka:
Neka su X i Y topološki prostori te neka je
f:X->Y funkcija koja ima svojstvo da za svaki x iz X
postoji okolina U točke x td je restrikcija funkcije f na skup U
konstantna funkcija. Mora li tada funkcija f biti neprekidna?[/quote]
Mora. Vrijedi i općenitije, tj. ako se X može zapisati kao unija otvorenih skupova [latex]U_i[/latex] td. je restrikcija [latex]f|_{U_i}[/latex] neprekidna za svaki i, onda je [latex]f\colon X\to Y[/latex] neprekidna.
Dokaz: neka je V otvoren skup u Y. Jer je [latex]f|_{U_i}[/latex] neprekidna, tada je skup [latex]f^{-1}(V)\cap U_i=(f|_{U_i})^{-1}(V)[/latex] otvoren. Još je [latex]f^{-1}(V)=\bigcup_i(f^{-1}(V)\cap U_i) [/latex] pa je [latex]f^{-1}(V)[/latex] otvoren skup u X jer je unija otvorenih skupova u X.
Neka je [latex]U_x[/latex] okolina točke x iz X td. je [latex]f|_{U_x}[/latex] konstantna. Tada je ta restrikcija i neprekidna. Jer je [tex]X=\displaystyle\bigcup_{x\in X}U_x[/tex], a svi [latex]U_x[/latex] su otvoreni, tada je f neprekidna.
| lucika (napisa): | jel se natko sijeća teorijskih pitanja na 4. i 5. zad s 2.kolokvija?
i kak bi išlo rješenje zadatka:
Neka su X i Y topološki prostori te neka je
f:X→Y funkcija koja ima svojstvo da za svaki x iz X
postoji okolina U točke x td je restrikcija funkcije f na skup U
konstantna funkcija. Mora li tada funkcija f biti neprekidna? |
Mora. Vrijedi i općenitije, tj. ako se X može zapisati kao unija otvorenih skupova  td. je restrikcija  neprekidna za svaki i, onda je  neprekidna.
Dokaz: neka je V otvoren skup u Y. Jer je neprekidna, tada je skup  otvoren. Još je  pa je  otvoren skup u X jer je unija otvorenih skupova u X.
Neka je  okolina točke x iz X td. je  konstantna. Tada je ta restrikcija i neprekidna. Jer je [tex]X=\displaystyle\bigcup_{x\in X}U_x[/tex], a svi su otvoreni, tada je f neprekidna.
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
lucika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2007. (17:52:27)
Postovi: (12F)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
lucika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2007. (17:52:27)
Postovi: (12F)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
|
