Zadatak s vježbi (zadatak)

[student_92]

Pozdrav, na vježbama smo dobili zadatak:

Neka su A, B: V → V linearni operatori. Dokažite:

a) A je surjekcija ⇔ (B°A = 0 ⇒ B = 0);
b) B je injekcija ⇔ (B°A = 0 ⇒ A = 0).

Može li mi netko pokazati smjer "⇐" u podzadatku a) ?

(valjda sam dobro prepisao s ploče tekst zadatka)

[Phoenix]

Pretpostavi suprotno. Tada postoji [tex]v \in V[/tex] različit od nulvektora koji nije u slici operatora [tex]A[/tex]. No to znači da iz [tex]BA=0[/tex] ne slijedi [tex]B=0[/tex]. Naime, postavimo da je [tex]B(v)=v[/tex] za vektore koji nisu u slici operatora [tex]A[/tex] i [tex]B(v)=0[/tex] za one koji su u slici operatora [tex]A[/tex]. Tada je očito [tex]B(A(v))=0[/tex] za svaki [tex]v \in V[/tex], međutim [tex]B[/tex] nije nuloperator.

Možda je malo neprecizno i pojavljuju se iste oznake, no ideja je da imaš zadanu implikaciju i pretpostavku da [tex]A[/tex] nije surjekcija i tada pokušavaš konstruirati operator [tex]B[/tex] tako da upadneš u kontradikciju. Pa pitaj ako nije jasno!

[vsego]

Vidim da je Phoenix odgovorio, no svejedno postam, zbog sitne tehnikalije.

Pretpostavi da A nije surjekcija, tj. postoji [tex]y_1[/tex] takav da je [tex]Ax \ne y_1[/tex] za svaki x. Tada mozes [tex]y_1[/tex] nadopuniti do baze prostora: [tex]\{y_1, \dots, y_n\}[/tex]. Sada definiraj [tex]By_1 = z \ne 0[/tex] i [tex]By_i = 0, i > 1[/tex] (linearni operator je dosta definirati djelovanjem na bazi). Primijeti da je slika od A podskup prostora razapetog skupom [tex]\{y_{\bf 2}, \dots, y_n\}[/tex], sto znaci da je [tex]B(A(x)) = 0[/tex] jednako nuli za svaki x, a B nije nul-operator.

Dakle, slicno Pheonixu, uz sitan detalj: formalno je B ovdje bolje definiran (na bazi), dok kod Phoenixa nije a priori ocito da je definiran linearni operator. Do na taj detalj, rjesenja su nam ekvivalentna.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[student_92]

@Phoenix, @vsego
Hvala.

[dalmatinčica]

da ne otvaram novu temu
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-0506-kol1a.pdf
3. zad
ako može netko, kako da dobijem dualnu bazu
tj. muči me to što nikako ne mogu prikazat proizvoljnu matricu u zadanoj bazi
tj. ako je matrica A:
a b
c d
a baza e1, e2, e3, e4
A=alfa*e1+beta*e2+gama*e3+delta*e4
i sad nikako ne uspjevam izrazit alfa, beta, gama i delta pomoću a, b, c i d,
ostaje mi u prikazu beta?!?!
pliz pomoć
hvala

[kikzmyster]

Primijeti da se u zadatku ne trazi od tebe da eksplicitno napises dualnu bazu, nego samo da prikazes preko nje. Kako je , dobije se da je u biti
. Sad, oznacimo ovu danu bazu sa , i njoj dualnu bazu sa . Sad . Uvrstimo u ovu jednadzbu redom i dobijemo


pa je
Ako te bas zanima eksplicitno odrediti elemente ove dualne baze, onda npr. za napises pa uvrstis (pri cemu je ) i nades iz dobivenog 4x4 sustava. Onda sve to za . Ali, kako sam rekao, to se ne trazi u zadatku

[dalmatinčica]

hvala puno

[dalmatinčica]

3. ako može?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-1011-kol1.pdf

[gflegar]

Evo a) podzadatak, a b) ide slicno...
Neka je [tex](p) = \{p_1, p_2\}[/tex] baza za [tex]P_1[/tex] takva da je
[dtex][A]_p^p = \begin{bmatrix} \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{bmatrix}[/dtex]
Iz definicije operatora [tex]A[/tex] imamo:
[dtex]A(p_1)(t) = tp_1'(t) + p_1(t)[/dtex]
[dtex]A(p_2)(t) = tp_2'(t) + p_2(t)[/dtex]
A iz matricnog zapisa:
[dtex]A(p_1)(t) = \frac{4}{3}p_1(t) + \frac{1}{3}p_2(t)[/dtex]
[dtex]A(p_2)(t) = \frac{2}{3}p_1(t) + \frac{5}{3}p_2(t)[/dtex]
Iz ovoga dobivamo sustav jednadzbi:
[dtex]tp_1'(t) + p_1(t) = \frac{4}{3}p_1(t) + \frac{1}{3}p_2(t) \Rightarrow tp_1'(t)= \frac{1}{3}p_1(t) + \frac{1}{3}p_2(t)[/dtex]
[dtex]tp_2'(t) + p_2(t) = \frac{2}{3}p_1(t) + \frac{5}{3}p_2(t) \Rightarrow tp_2'(t)= \frac{2}{3}p_1(t) + \frac{2}{3}p_2(t)[/dtex]
[tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] su polinomi prvog stupnja pa se mogu zapisati u obliku: [tex]p_1(t) = a_1t + b_1[/tex] i [tex]p_2(t) = a_2t + b_2[/tex].
Uvrstavanjem u gornji sustav dobivamo:
[dtex]ta_1= \frac{1}{3}(a_1t + b_1) + \frac{1}{3}(a_2t + b_2)[/dtex]
[dtex]ta_2= \frac{2}{3}(a_1t + b_1) + \frac{2}{3}(a_2t + b_2)[/dtex]
Kada se to rijesi dobije se:
[dtex] a_2 = 2a_1[/dtex]
[dtex] b_2 = -b_1[/dtex]
Trazi se samo jedna baza pa mozemo uzeti npr. [tex]a_1 = 1, \ b_1 = 1[/tex] (samo treba paziti da su [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] linearno nezavisni),
pa je jedno rjesenje: [tex](p) = \{t + 1, 2t - 1\}[/tex]

_________________
http://web.studenti.math.pmf.unizg.hr/~gflegar

[Zenon]

Molio bih pomoć oko dva zadatka. Unaprijed hvala.

Prvi:
Zadana je matrica
[dtex]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & -1 & 2\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}[/dtex]
operatora [tex]A\colon\mathbb R^3\to M_2(\mathbb R)[/tex] u paru baza [tex]\bigg\{(1,0,1),(1,0,-1),(0,1,1)\bigg\}[/tex] i [tex]\left\{\begin{bmatrix}1&0\\ 1&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}\right\}[/tex].
Odredite [tex]A(x_1,x_2,x_3)[/tex] za proizvoljan [tex](x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3[/tex].

Drugi:
Nađite matricu operatora [tex]A\colon\mathbb R^3\to \mathcal P_2[/tex], [tex]A(x,y,z)=x+y+z+xt[/tex] u paru baza [tex]\bigg\{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)\bigg\}[/tex] i [tex]\bigg\{1+t,1-2t\bigg\}[/tex].

Unaprijed puno hvala!!!

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[quark]

@1. zadatak: kako bi prikazao proizvoljni [tex](x_1, x_2, x_3)[/tex] pomoću zadane baze?

edit: zapravo, opet koristi matrice prijelaza tako da imaš matrični prikaz operatora u kanonskim bazama.

@2.zadatak: možeš "ručno" izračunati [tex]A(e_i)[/tex] u danim bazama (dakle, izračunati djelovanje operatora na elemente baze domene i onda ih prikazati pomoću baze kodomene) i složiti ih u matricu ili koristiti matrice prijelaza pa operirati s kanonskim bazama (tu ne moraš rješavati sustave, ali moraš množiti matrice i sl. pa biraj )

[quark]

Dakle, ipak ću ovo malo raspisati

1. zadatak: svaki je linearni operator jedinstveno zadan svojim djelovanjem na bazu (jer se svaki vektor nekog v.p. može na jedinstveni način prikazati pomoću baznih vektora) pa nam je matrični prikaz dovoljan da izvedemo nekakvu općenitu formulu djelovanja operatora.
Uvijek je zgodnije operirati s kanonskim bazama, a jedan od razloga zašto vidjet ćemo kasnije u zadatku.
Dakle, sad matricu iz jednog para baza želimo prebaciti u drugi par baza (teorem 1.4.15).

Neka su (e) i (f) kanonske, a (e') i (f') zadane baze.
Onda je naša tražena matrica:

[tex]A_{f,e}=T_{f}*A_{f',e'}*S_{e}^{-1}[/tex]

Gdje su [tex]T_{f}[/tex] i [tex]S_{e}[/tex] matrice prijelaza.

[tex]\begin{bmatrix}
&0.5 &2.5 &0.5 \\
& 1 & 1 &0\\
& 1 &1 &0\\
& 2& 1 &0
\end{bmatrix}[/tex]

Oke, što sada? Pa kako možemo prikazati proizvoljni [tex](x_1,x_2,x_3)[/tex] pomoću (kanonske) baze?
[tex](x_1,x_2,x_3)=a*e_1 + b*e_2 + c*e_3[/tex]

Mi tražimo djelovanje op. [tex]A[/tex] pa ćemo napasti taj izraz njime:

[tex]A(x_1,x_2,x_3)=A(a*e_1 + b*e_2 + c*e_3)=a*Ae_1 + b*Ae_2 + c*Ae_3[/tex]

gdje smo iskoristili aditivnost i homogenost operatora. Mi [tex]A(e_i)[/tex] znamo, pa to nam točno piše u stupcima matričnog prikaza operatora.

[tex]A(x_1,x_2,x_3)=a*(0.5,1,1,2)+b*(2.5,1,1,1)+c*(0.5,0,0,0)[/tex]

[tex]A(x_1,x_2,x_3)=(-0.5a+2.5b+0.5c,a+b,a+b,2a+b)[/tex]

Sad postaje jasno zašto smo koristili kanonsku bazu; jer su koeficijenti uz i-ti bazni vektor u prikazu proizvoljnog vektora baš i-ta komponenta tog proizvoljnog vektora; i možemo pisati

[tex]A(x_1,x_2,x_3)=(0.5x_1+2.5x_2+0.5x_3,x_1+x_2,x_1+x_2,2x_1+x_2)[/tex]

I koristeći izomorfnost [tex]M_2[/tex] i [tex]\mathbb{R^{4}}[/tex] uređenu četvorku napišemo kao matricu i zadatak je gotov.

[frutabella]

Kod prof. Berica (09.03.)dobili smo za zadacu (poglavlje anhilatori) jedan zadatak s polinomima.

ZAD: U prostoru P4 polinom stp ⇐3 zadan je potprostor M generiran polinomima p1=1+x, p2= x+x^2. Odredite bazu za anhilator od M.
Pitanje (1): Buduci su elementi u skupu M linerarno zavisni
( x(1+x)= x+x^2), da li je onda dimenzija tog prostora 1, ili ipak gledamo samo broj elemenata u tom skupu, pa je to 2 (ma da mi to nije logicno, jer baza mora biti linearno nezavisn)

Pitanje (2): Po definiciji prostor P4 ima dimenziju 5, u ovom
slucaju ima 4 (zbog stp ⇐3) ?

Pitanje (3): Ako racunam da je dimM=2, nadopunim "bazu" linearne ljuske do dimenzije citavog prostora, sto zanci jos dva elementa kanonske baze treba dodati. Prema izracunima to su p3=1, i p6=x^3 (jer p4 i p5 daju linearnu kombinaciju). Da li je ovo uredu?

Ako jeste, onda bi funkcionali trebali ispasti ovako:

f3= a-b+c
f4=d

Unaprijed zahvaljujem na odgovorima.

[quark]

1.) Otkad je x skalar iz polja pa možeš njime množiti? Ta dva vektora u M linearno su nezavisna (pa vidiš odmah po stupnjevima)

2.) Nekad ta 4 označuje dimenziju, katkad maksimalnu potenciju. U ovom slučaju dimP=4.

3.) Trebaju ti samo još dva vektora (dimM°=dim(n) - dim(M)), nađeš dualnu bazu i onda su ti [tex]e_3^*[/tex] i [tex]e_4^*[/tex] baza za anihilator.

Rješenje: dodaš [tex]p_3=x^3[/tex] i[tex] p_4=1[/tex]; ta su četiri vektora linearno nezavisna pa tražimo im dualnu bazu.
[tex]p(x)=\alpha(1+x)+\beta(x+x^2)+\gamma(x^3)+\delta[/tex]

Izjednačimo polinome, traži nam se samo [tex]e_3^*[/tex] i [tex]e_4^*[/tex], a to su upravo [tex]\gamma=a[/tex] i [tex]\delta=d-c+b[/tex]

[frutabella]

[gflegar]

[Anja]

Možete usporediti i tragove zadane matrice i matričnog prikaza B u kanonskoj bazi, slične matrice imaju isti trag.

[dalmatinčica]

kako invertirati matricu pomoću svojstvenog polinoma?
npr zadana je matrica
0 1 1
2 -4 0
0 1 -1

[kenny]

Karakteristični polinom neke regularne matrice [tex]A[/tex] reda [tex]n[/tex] je polinom oblika [tex]k_A(x) = \alpha_0 + \alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \ldots + \alpha_n x^n[/tex]. Zbog Hamilton-Cayleyjevog tm. vrijedi [tex]0 = \alpha_0 I + \alpha_1 A + \alpha_2 A^2 + \ldots + \alpha_n A^n[/tex], odnosno [tex]\alpha_0 I = - \alpha_1 A - \alpha_2 A^2 - \ldots - \alpha_n A^n[/tex]. Znaš da je [tex]\alpha_0 \neq 0[/tex] (Zašto?!), pa možemo podijeliti s tim: [tex]I = \frac{1}{\alpha_0}(-\alpha_1 A - \alpha_2 A^2 - \ldots - \alpha_n A^n)[/tex]. Konačno, kad na tu relaciju djelujemo s [tex]A^{-1}[/tex] dobije se [tex]A^{-1} = \frac{1}{\alpha_0}(-\alpha_1 I - \alpha_2 A - \ldots - \alpha_n A^{n-1})[/tex].

Tvoja je matrica reda 3, pa će biti [tex]A^{-1} = \frac{1}{\alpha_0}(-\alpha_1 I - \alpha_2 A - \alpha_3 A^2)[/tex].

Sad izračunaj inverznu i pukni tu rješenje da provjerimo.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[dalmatinčica]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/DZ/la2-0910-dz3.pdf
3. zad
uvjerila sam se u to
izračunala svojstvene vrijednosti, potprostore, dijagonalnu matricu, maatrice prijelaza, al kako da dobijem B?