Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma (zadatak)

[đikso]

Prijatelj mi je poslao zadatak za koji još nemam adekvatnog znanja da ga riješim pa bih molio ako ima koja dobra duša da pomogne...unaprijed hvala.
ZAD.Neka su zadani međusobno različiti realni brojevi x0,x1,...,xn. Definiramo polinome Lᵥ(x)=∏(x-xᵢ)/(xᵥ-xᵢ) , v=0,1,...,n.(ispod produkta bi trebalo još pisati i=1,a ispod toga i!=v)
Dokažite da polinomi Lᵥ,v=0,1,..,n čine bazu za Pn+1(skup polinoma stupnja najviše n+1).To je tzv.Lagrangeova baza.

[kikzmyster]

(treba pricekat malo da se ovaj Tex load-a , bar je meni tako )
Lagrangeovu bazu cine polinomi [tex]l_k, \ k \in \{0,1,\ldots,n\}[/tex], pri cemu je [tex]\displaystyle l_k = \prod_{i=0,i \neq k}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i} [/tex]. Uocimo da je [tex]l_k(x_i) = \delta_{ki} [/tex], to jest 1 ako je k=i, 0 inace (ovo se provjeri uvrstavanjem).

Sada, da bi pokazali da [tex]l_k , \ k \in \{0,1,\ldots,n\}[/tex] cine bazu za [tex]\mathcal{P}_n[/tex], dovoljno je dokazati linearnu nezavisnost ovih vektora. Zato uzmimo [tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\alpha_k l_k = 0[/tex]. Uvrstimo u ovu jednakost polinoma [tex]x_i , \ i \in \{0,1,\ldots, n\}[/tex] i dobijemo [tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\alpha_k l_k(x_i) = 0 \Rightarrow \sum_{k=0}^{n}\alpha_k \delta_{ik} = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0[/tex]. Dakle svi [tex]\alpha_i[/tex] su 0, pa su ovi vektori linearno nezavisni, dakle cine bazu za [tex]\mathcal{P}_n[/tex].

[đikso]

hvala