Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Zenon Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5312&c=689)
![](images/avatars/118594314450fe730c757a6.png)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
gflegar Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5432&c=269)
![](images/avatars/8544231644eaeb7addb4b6.gif)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41) Postovi: (10D)16
Spol: ![muško muško](images/gender/male.gif)
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5312&c=689)
![](images/avatars/118594314450fe730c757a6.png)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
malalodacha Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5429&c=121)
Pridružen/a: 11. 10. 2011. (17:06:13) Postovi: (79)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5312&c=689)
![](images/avatars/118594314450fe730c757a6.png)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
ebartos Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5401&c=10)
Pridružen/a: 02. 10. 2011. (10:37:27) Postovi: (A)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5312&c=689)
![](images/avatars/118594314450fe730c757a6.png)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
ebartos Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5401&c=10)
Pridružen/a: 02. 10. 2011. (10:37:27) Postovi: (A)16
|
|
[Vrh] |
|
dalmatinčica Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5396&c=172)
![](images/avatars/19529286315334791f50a4f.jpg)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (18:46:54) Postovi: (AC)16
|
|
[Vrh] |
|
ebartos Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5401&c=10)
Pridružen/a: 02. 10. 2011. (10:37:27) Postovi: (A)16
|
|
[Vrh] |
|
vjekovac Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=77&c=731)
![](images/avatars/133495534344917880a6f58.gif)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55) Postovi: (2DB)16
Spol: ![kućni ljubimac kućni ljubimac](images/gender/pet.gif)
|
Postano: 22:26 uto, 29. 5. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="ebartos"]Jel može pomoć oko 3.b zadatka iz bilo koje grupe (moze i obje)? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf[/quote]
Za zadatak:
[i]Ispitajte konvergenciju i apsolutnu konvergenciju reda [/i][tex]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\Big(e-\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Big)[/tex]
se najprije sjetimo da je na predavanjima bilo dokazano da niz [tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n[/tex] raste i konvergira prema e. To je dovoljno da bi se primijenio Leibnizov kriterij pa slijedi da zadani red obično konvergira.
Ispitivanje apsolutne konvergencije je opet dosta teže. (Zapravo 3.(b) u obje grupe su vrlo teški zadaci!)
Za početak se sjetimo raspisati [tex]a_n[/tex] po binomnom teoremu:
[tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k} = 1 + 1 + \frac{n-1}{2n} + \ldots[/tex]
Primijetimo da svaki član za [tex]k\geq 3[/tex] možemo ocjeniti kao [tex]\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k}\leq \frac{1}{k!}[/tex], a članove za k=0,1,2 ostavimo kakvi jesu. Dobiva se
[tex]a_n \leq 2 + \frac{n-1}{2n} + \sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}[/tex]
S druge strane je [tex]\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\leq \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e^1 = e[/tex], tj. [tex]\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}\leq e - 1 - 1 -\frac{1}{2} = e - \frac{5}{2}[/tex]
Obje te nejednakosti daju [tex]a_n \leq e - \frac{1}{2n} [/tex] pa je [tex]e - a_n \geq \frac{1}{2n} [/tex]. Dakle, usporedba s harmonijskim redom [tex]\sum\frac{1}{2n}[/tex] daje da red [tex]\sum (e - a_n)[/tex] divergira.
Dakle, zadani red UVJETNO KONVERGIRA.
Za zadatak:
Ispitajte konvergenciju i apsolutnu konvergenciju reda [tex]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\Big(e-\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Big)[/tex]
se najprije sjetimo da je na predavanjima bilo dokazano da niz [tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n[/tex] raste i konvergira prema e. To je dovoljno da bi se primijenio Leibnizov kriterij pa slijedi da zadani red obično konvergira.
Ispitivanje apsolutne konvergencije je opet dosta teže. (Zapravo 3.(b) u obje grupe su vrlo teški zadaci!)
Za početak se sjetimo raspisati [tex]a_n[/tex] po binomnom teoremu:
[tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k} = 1 + 1 + \frac{n-1}{2n} + \ldots[/tex]
Primijetimo da svaki član za [tex]k\geq 3[/tex] možemo ocjeniti kao [tex]\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k}\leq \frac{1}{k!}[/tex], a članove za k=0,1,2 ostavimo kakvi jesu. Dobiva se
[tex]a_n \leq 2 + \frac{n-1}{2n} + \sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}[/tex]
S druge strane je [tex]\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\leq \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e^1 = e[/tex], tj. [tex]\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}\leq e - 1 - 1 -\frac{1}{2} = e - \frac{5}{2}[/tex]
Obje te nejednakosti daju [tex]a_n \leq e - \frac{1}{2n} [/tex] pa je [tex]e - a_n \geq \frac{1}{2n} [/tex]. Dakle, usporedba s harmonijskim redom [tex]\sum\frac{1}{2n}[/tex] daje da red [tex]\sum (e - a_n)[/tex] divergira.
Dakle, zadani red UVJETNO KONVERGIRA.
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5312&c=689)
![](images/avatars/118594314450fe730c757a6.png)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 23:34 uto, 29. 5. 2012 Naslov: |
|
|
LOL.
Onaj prvi sam riješio za 5 minuta, a ovaj vjerovatno ne bih nikad :D
Nisu baš podjednako teški, ma da sam i ja raspisao po binomnoj formuli, samo nisam znao što dalje.
:thankyou: :thankyou: :thankyou:
[size=9][color=#999999]Added after 40 minutes:[/color][/size]
Usput, evo i zadatak:
[tex]\displaystyle \sum \frac{(n!)^5}{(5n)!}(x-2)^n[/tex] -> dobio sam da je radijus konvergencije [tex]5^5[/tex] i kako sada provjeriti rubne točke intevrala konvergencije? Meni se čini da tamo ne konvergira jer ovo prebrzo raste, ali ne znam to pokazati (ako je točno).
Unaprijed puno hvala! :thankyou:
LOL.
Onaj prvi sam riješio za 5 minuta, a ovaj vjerovatno ne bih nikad
Nisu baš podjednako teški, ma da sam i ja raspisao po binomnoj formuli, samo nisam znao što dalje.
Added after 40 minutes:
Usput, evo i zadatak:
[tex]\displaystyle \sum \frac{(n!)^5}{(5n)!}(x-2)^n[/tex] → dobio sam da je radijus konvergencije [tex]5^5[/tex] i kako sada provjeriti rubne točke intevrala konvergencije? Meni se čini da tamo ne konvergira jer ovo prebrzo raste, ali ne znam to pokazati (ako je točno).
Unaprijed puno hvala!
|
|
[Vrh] |
|
R2-D2 Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5431&c=47)
![](images/avatars/113787905550d5aef994124.png)
Pridružen/a: 11. 10. 2011. (20:32:10) Postovi: (2F)16
|
|
[Vrh] |
|
rom Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=4679&c=45)
Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35) Postovi: (2D)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5312&c=689)
![](images/avatars/118594314450fe730c757a6.png)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 11:08 sri, 30. 5. 2012 Naslov: |
|
|
Tvrdimo da konvergira apsolutno. Prvo naštimamo na poznati limes [tex]\ln (1+(\cos\frac 1n -1))[/tex] i onda usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\ln (1+(\cos\frac 1n -1))\vert}{\vert\cos\frac 1n -1\vert}=1[/tex]
Znači, sve ovisi o konvergenciji reda [tex]\sum \vert\cos\frac 1n -1\vert[/tex], no i to znamo.
Njega sad usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\cos\frac 1n -1\vert}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\vert 1-\cos\frac 1n \vert}{ \frac{1}{n^2}}=\frac 12[/tex].
Znam da to nisu redovi s pozitivnim članovima, ali zato i jesam stavljao apsolutno, a apsolutna vrijednost je neprekidna pa limes može "ući" unutra.
Tvrdimo da konvergira apsolutno. Prvo naštimamo na poznati limes [tex]\ln (1+(\cos\frac 1n -1))[/tex] i onda usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\ln (1+(\cos\frac 1n -1))\vert}{\vert\cos\frac 1n -1\vert}=1[/tex]
Znači, sve ovisi o konvergenciji reda [tex]\sum \vert\cos\frac 1n -1\vert[/tex], no i to znamo.
Njega sad usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\cos\frac 1n -1\vert}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\vert 1-\cos\frac 1n \vert}{ \frac{1}{n^2}}=\frac 12[/tex].
Znam da to nisu redovi s pozitivnim članovima, ali zato i jesam stavljao apsolutno, a apsolutna vrijednost je neprekidna pa limes može "ući" unutra.
Zadnja promjena: Zenon; 13:31 ned, 3. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
[Vrh] |
|
kiara Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5603&c=85)
Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57) Postovi: (55)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5312&c=689)
![](images/avatars/118594314450fe730c757a6.png)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
kiara Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5603&c=85)
Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57) Postovi: (55)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5312&c=689)
![](images/avatars/118594314450fe730c757a6.png)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
R2-D2 Forumaš(ica)
![Forumaš(ica) Forumaš(ica)](dyck.php?id=5431&c=47)
![](images/avatars/113787905550d5aef994124.png)
Pridružen/a: 11. 10. 2011. (20:32:10) Postovi: (2F)16
|
|
[Vrh] |
|
|