Rješenja kolokvija iz Matematičke analize 1

[Zenon]

Pozdrav!

Evo rješenja kolokvija prethodne dvije godine iz Matematičke analize 1. Smatram da za MA2 i nije toliko potrebno, jer se studenti već uhodaju pa je sve lakše.
U pdf-ovima nema grafova pa preporučam Wolfram Alpha u kojeg se lako unose funkcije, s tim da pažljivo treba zagradama grupirati.

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[delilah01.]

Zenone, ne bi li u rješenju trećeg zadatka prvog kolokvija iz 2011./2012. [tex]g_4^-1(<3,27])[/tex] trebalo biti [tex]<0,3] [/tex] ?

Nadalje, u četvrtom zadatku u istom kolokviju.. Nije li funkcija [tex] h(x) = πx^2 -2xπ [/tex] strogo padajuća na intervalu [tex] [0,1] [/tex] , a zatim, funkcija [tex] g(x)=cosx [/tex] strogo rastuća na intervalu [tex] [-π,0]=h([0,1])[/tex] ?

[grizly]

Ovo prvo je dobro, jer je 3^3=27, a imaš u eksponentu x+1.
Što se tiče drugog, mislim da si u pravu (mislim, h pada, to stoji, a ovako napamet mi se čini da to jesu ti skupovi).

_________________
Nit' sam normalna nit' se s takvima družim

[Zenon]

Za ovo prvo si u krivu, jer za [tex]x=3[/tex] imamo [tex]3^{3+1}=3^4=81\not\in \left<3,27\right][/tex].

Što se druge stvari tiče, u pravu si. Vjerojatno sam naopako nacrtao parabolu, sada ću ispraviti. Vidi se da sam bio smušen kada ni tekst zadatka nisam prepisao...

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[delilah01.]

Jao, sad ja vidim, u raspisu kompozicije mi se izgubilo [tex] +1 [/tex] u eksponentu.. Isprike!

[Zenon]

Evo, greška je ispravljena.

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[zaruljica]

je li netko možda zna riješiti 4(a) iz http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma1-0809-kol1.pdf ???

[Zenon]

Ti znaš da je [tex]2^x[/tex] strogo rastuća bijekcija i da za [tex]x=0[/tex] vrijedi [tex]2^0=1[/tex] i zbog toga imaš da je [tex]2^x-1\leq 0[/tex] pa se na taj način riješiš apsolutne vrijednosti i ostane ti samo [tex]4^x-2^{x+1}-2^x=(2^x)^2-2\cdot 2^x-2^x=(2^x)^2-3\cdot 2^x[/tex]. Sada je ta funkcija očito kompozicija funkcija [tex]2^x[/tex] i [tex]x^2-3x[/tex] i dalje pretpostavljam da znaš sam/a.

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[zaruljica]

U međuvremenu sam pronašla žrtvu koja mi je to objasnila, al hvala svejedno!

Sad imam novo pitanje. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ma1-zadaca2.pdf 31. zadatak .... našla sam hint na forumu. Poanta je da uvrstimo [tex]x= 0[/tex] i [tex]x=\frac{-1}{2}[/tex] (koje smo dobili iz [tex]4x^2= -2x[/tex]). U hintu je navedeno i da onda promatramo funkcije [tex]f(0) \ i \ f(\frac{-1}{2})[/tex] , ali očito sam danas malo glupa pa ne kužim hint. Ako može neko bolje objasnit ili čak riješit. Unaprijed hvala

[Zenon]

Ne da mi se prokuživati kako iskoristiti taj hint, no ja bih to riješio drugačije. [dtex]f(x^3)-f(x^6)^6\geq 3x^2\Longleftrightarrow f(x^3)\geq 3x^2+f(x^6)^6\geq 0\Longrightarrow f(x^3)\geq 0.[/dtex]
Kako znamo da je [tex]g(x)=x^3[/tex] strogo rastuća bijekcija i da je [tex]g(\mathbb R)=\mathbb R[/tex] i kako gornja nejednakost vrijedi za sve realne brojeve [tex]x[/tex], vrijedi [tex]f(\mathbb R)\subseteq \left[0,+\infty \right>[/tex] čime smo pokazali da funkcija [tex]f\colon\mathbb R\to\mathbb R[/tex] za koju vrijedi nejednakost ne može biti surjekcija.

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[zaruljica]

Pitala sam za 31. zadatak, kasnije sam napravila EDIT

[Zenon]

[quark]

[zaruljica]

[Zenon]

Raspisat ću za jednu, analogno za drugu: [dtex]f(1)+f(1)^2\leq -\frac 14 \Longleftrightarrow 4f(1)^2+4f(1)\leq -1\Longleftrightarrow 4f(1)^2+4f(1)+1\leq 0\Longleftrightarrow (2f(1)+1)^2\leq 0[/dtex] No, mi znamo da vrijedi [tex](2f(1)+1)^2\geq 0[/tex] pa iz obje nejednakosti imamo [tex](2f(1)+1)^2=0[/tex], odnosno [tex]f(1)=-\frac 12[/tex]. Analogno napraviš i za ostalo i dobiješ [tex]f(0)=f(1)[/tex].

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[quark]

[zaruljica]

Opet ja Znači, zadatak glasi:
Odredite sliku funkcije:
[tex]f(x) = sh ( \frac{3-x}{2+x}) - 1 [/tex]

Zanima me samo rješenje da vidim jel mi točno, nekako mi je čudno ispalo pa eto. (inače, zadatak je s kolokvija 08/09)

[quark]

[matkec]

[quark]