blic (zadatak)

[homoviator]

Imam pitanje kod ovoga zadatka koji kaže: skup S je zatvoren ako i samo ako [dtex]\partial S \subset S[/dtex].....
Zanima me za drugi dio dokaza, tj.:
Smijem li pretpostaviti da vrijedi S je otvoren ili ne? U smislu neka vrijedi [dtex]\partial S \subset S[/dtex] i pretpostavimo da je S otvoren. I onda S je otvoren ako i samo ako je jednaka svom interioru. Onda znam da je, mislim što smo dokazali/je dokazano da je [dtex]Int S \bigcap \partial S=\Phi[/dtex] i dolazim do kontradikcije jer je nešto istovremeno podskup od drugoga a u presjeku daju prazan skup.
Nadam se da je razumljivo što pitam ...

[Phoenix]

Između kose crte i ključne riječi nema razmaka, a poslije ključne riječi obavezno razmak!
Ovako bi trebao tvoj post izgledati:

[homoviator]

Da, puno je tu pretpostavki koje sam uzela 'zdravo za gotovo', ali rekoh da probam ... Kako idu najave za demonstrature uživo? Mislim dovoljno je nedelju navečer se najaviti ili mora ranije još?

[Phoenix]

Ma super je, pa i pohvalno da si sama probala, jako mi je drago to vidjeti. Tako i treba!
Kolega nije na forumu napisao rok za najavu, ali nagađam da je nedjelja i više nego dovoljna. Vjerujem da često i redovito provjerava mail.

[Bole13]

Mene zanima prvi smjer odnosno kad pretpostavimo da je S zatvoren. Čini mi se da ovo što je frutabella napisala nije dosta. Odnosno pokazano je da je rub od S podskup od S, ali nije dokazano da je pravi podskup odnosno da rub od S i S nisu jednaki ako se ne varam? Jer ja sam isto tako dokazivao, ali onda sam dalje pretpostavio da je rub od S jednak S i dobio kontradikciju i tada dobio željenu implikaciju.

Može li mi netko reći jesu li mi dobra rješenja za ovaj blic: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/Blic11011.pdf

1. a) skup gomilišta je {(-3, 0)}
b) A = Q

2. Ovo mi je čudno, ali dobio sam da je S = {(0, 0)}.

[Phoenix]

U pravu si za 1. zadatak.
Druga rješenja su ti isto dobra, osim ovog:

[Bole13]

Aha da, onda je S = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)}? Jer ne mogu i x i y biti različiti od 0.

[Phoenix]

Zašto ne mogu? Vjerujem da je [tex](\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \in S[/tex] pa su obje koordinate različite od [tex]0[/tex].

[Bole13]

Hm ok sad mi je malo jasnije, max norma od (x, y) je očito max{|x|, |y|}, a ovo drugo kad se raspiše je x^2+y^2.
Jedan slučaj koji gledam je kad je x=y pa dobijem 2x^2=|x| što daje rješenja (0, 0), (1/2, 1/2), (-1/2, 1/2), (1/2, -1/2) i (-1/2, -1/2).

Drugi slučaj kad je npr. x>y i onda imam x^2+y^2=|x|. Ali to onda vrijedi samo za x=0, 1 i -1, a y=0. I onda isto tako za slučaj y>x. Ako je opet krivo molim te riješi zadatak kako treba .

[Phoenix]

Prvi paragraf ti je dobar.
Zapravo ti i nije trebao slučaj [tex]x=y[/tex], mogao si to poistovjetiti s drugim slučajem tako da imaš ova dva: [tex]x \geq y[/tex] i [tex]x<y[/tex].

Drugi slučaj si skoro riješio - iz [tex]x^2+y^2=|x|[/tex] samo raspiši za slučaj [tex]x \geq 0[/tex] i [tex]x<0[/tex]. Recimo, za [tex]x \geq 0[/tex] dobivaš [tex]x^2+y^2=x[/tex], što je ekvivalentno [tex](x-\frac{1}{2})^2+y^2=(\frac{1}{2})^2[/tex], dakle rješenje ovog slučaja je određeni luk kružnice [tex]S((\frac{1}{2},0),\frac{1}{2})[/tex] - može se dogoditi da nije cijela kružnica upravo zbog raspisivanih uvjeta.
Preostali slučajevi se razlikuju u nijansama pa ih je nakon ovoga jednostavno raspisati do kraja.
Konačno rješenje će, naravno, biti unija svih ovih slučajeva, odnosno, u skici, svi ti lukovi zajedno.

[la mer]

Evo par pitanja iz blica 2010./2011.
Prvi zad a(prva grupa):je li skup gomilišta samo {(0,0)}?
Za b; je li dobar primjer skup Q?
Drugi zadatak (isto prva grupa):meni ispadnu samo tri točke-(0,0), (1,0), (0,1). Je li to dobro?

Added after 23 minutes:

Evo par pitanja iz blica 2010./2011.-prva grupa
1. a) Je li skup gomilišta samo {(0,0)}? Ako nije, kako da pronađem ostala? Nikad mi nisu išla ta pgađanja gomilišta .
1. b) Je li dobar primjer skup Q?
2. Meni ispadnu samo tri točke; (0,0), (1,0) i (0,1). Valja li to?

[Buki]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2011-12/Blic11112.pdf

u prvom zadatku, prva grupa, drugi dio - koji bi bio primjer takvog niza?

[Phoenix]

@la mer
Bole13 je već komentirao rješenja blica i to baš u postovima neposredno prije tvog. Ali još jednom:
1. a) Jedno je gomilište, ali [tex](-3,0)[/tex]. Lapsuz, možda?
b) Da, [tex]\mathbb{Q}[/tex] je dobar primjer.
2. Skup ipak sadrži malo više točaka od te tri. Samo raspiši obje norme po definiciji i doći ćeš na rješavanje sustava kako smo gore komentirali. Ako ti nije jasno...

@Buki
[tex]a_n := (1, \frac{1}{n})[/tex] je jedan takav niz.

[pedro]

može primjer da unija proizvoljne familije zatvorenih skupova nije nužno zatvoren skup?

[Zenon]

Neka je [tex]A_n=\left←\infty ,-\frac 1n\right]\cup\left[\frac 1n, +\infty\right>[/tex]. Skupovi tog oblika su očito zatvoreni, jer sadrže sva svoja gomilišta, a i komplement [tex]\left←\frac 1n,\frac 1n\right>[/tex] im je otvoren.
Unija po svim n-ovima izgleda [tex]\underset{n\in\mathbb N}{\bigcup}A_n=\left←\infty , 0\right>\cup\left<0, +\infty\right>=\mathbb R\setminus\{0\}[/tex] što je otvoren skup kao unija dvaju otvorenih, a i komplement [tex]\{0\}[/tex] je zatvoren skup.

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[goranm]

Mozda malo jednostavniji primjer:
[dtex]\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[-1+\frac1n,1-\frac1n\right]=\left\langle-1,1\right\rangle.[/dtex]

_________________
The Dude Abides

[Zenon]

Evo još jednostavniji [dtex]\bigcup_{n\in\mathbb N}\left[0,1-\frac 1n\right]=\left[0,1\right>[/dtex]


Inače, uzeo sam baš onaj primjer zato što smo na vježbama uzeli baš komplement toga kao kontraprimjer da presjek proizvoljne familije otvorenih skupova nije otvoren skup, nadajući se da će kolega/ica uočiti

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[goranm]

[pedro]

[Zenon]

Današnji blic bio je:
Zadatak 1
Bez dokaza odredite je li skup otvoren, zatvoren, oboje ili ništa od toga:
A) [tex]\mathbb Z\times\mathbb Z\times\mathbb R[/tex]
B) [tex]\{\sin x : x\in\mathbb R\}[/tex]
C) [tex]\displaystyle\text{Int}\left(\bigcap_{n\in\mathbb N}K\left(0,\frac 1n\right)\right)[/tex]

i bila su još dva, ne sjećam se koja, ali očito je odmah kakvi su (čime ne impliciram da za ove ne vrijedi isto ).

Zadatak 2
Pokažite da skup [tex]\bigg((\mathbb R\setminus\mathbb Q)\cap [0,2]\bigg)\times [0,2^{-2012}][/tex] nije potpun.

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]