zadatak s kolokvija (zadatak)

[gianluigiana]

vidjela sam rješenja koja je Zenon stavio, ali ne znam kako doći do rješenja za 1.b zadatak s prošlogodišnjeg kolokvija pa samo ako bi netko to objasnio
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1112-kol1.pdf

[Zenon]

Nema ti tu prevelike filozofije. Jednostavno moraš pogoditi takvu funkciju, igrati se s tim dok ne naletiš na rješenje. Kreneš od nečega, tipa nule u nazivniku, naštimavaš, vidiš što bi trebalo vrijediti i na to naštimaš. Nema tu neke šablone ili postupka rješavanja.
Htio bih još samo napomenuti da bi stvarno bilo dobro pročitati pravila postanja na forumu kako bi se izbjeglo otvaranje nepotrebnih i ponavljajućih tema.
Evo motivacije radi još jedan primjer za neparne prirodne brojeve [dtex]z(x)=\frac{1}{1-\left\vert\sin\left[\left(\left\vert\frac x2\right\vert +\frac x2\right)\frac{\pi}{2}\right]\right\vert}.[/dtex]

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[matkec]

Zenon je već puno rekao, al da dodam još pokoju stvar.

Kao prvo, nitko se tih funkcija nije sjetio iz prve, sve su nastale plod igranja i naštimavanja.

Kao drugo, neki načini kako se možemo igrati su:
- Kada funkcija nije definirana?
-> Kada je u nazivniku nula ili kada tangens prima brojeve oblika (2k+1)pi / 2. Dakle, u tim slučajevima ćemo i mi pokušati definirati da funkcija nije definirana.
- Kako razlikovati prirodne brojeve od ostalih (tj, kako natjerati funkciju da se drukčije ponaša za prirodne brojeve)?
-> Mi znamo kako razlikovati cijele brojeve od realnih (primjerice, funkcijama kotangens ili najveće/najmanje cijelo), te znamo razlikovati prirodne od negativnih cijelih (funkcijom apsolutno).
Sada se samo treba poigrati spomenutim funkcijama.

[iva93]

ovako, imam zadanu funkciju f(x)=sqrt(3^(sinx)) i treba odrediti prasliku u intervalu [0,2> .. može li netko riješiti taj zadatak, unaprijed hvala..

[Zenon]

Znači, imaš funkciju oblika [tex]f(x)=\sqrt{3^{\sin x}}[/tex]. Vrijedi [tex]f=g_3\circ g_2\circ g_1[/tex], gdje su [dtex]g_1(x)=\sin x,\ g_2(x)=3^x, \ g_3(x)=\sqrt x.[/dtex] Iz toga vidiš da je praslika [dtex]f^{-1}\left(\left[0,2\right>\right)=g_1^{-1}\bigg(g_2^{-1}\Big(g_3^{-1}\left(\left[0,2\right>\right)\Big)\bigg).[/dtex] Dalje znaš sama?

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[iva93]

to znam i to napravila.. muči me konačno rješenje jer kad određujem prasliku u zadnjem koraku, dolazi mi čudan interval.. po kojem bi praslika cijele funkcije bio cijeli R..pa ne znam da li je to točno

[Zenon]

Aha. Cijeli skup realnih brojeva može općenito biti rješenje, zašto ne. To možeš na jednostavan način provjeriti. Znaš da je [tex]\sin\left(\mathbb R\right)=[-1,1][/tex] i svjesna si da je [tex]3^x[/tex] strogo rastuća neprekidna funkcija pa je slika te funkcije restringirane na [tex][-1,1][/tex] segment [tex][3^{-1},3][/tex] pa je slika cijele funkcije [tex][\sqrt{3^{-1}},\sqrt 3]\subset \left[0,2\right>[/tex]. Dakle, [tex]f^{-1}\left(\left[0,2\right>\right)=\mathbb R[/tex] zaista jest rješenje.
Dobro, ovo je malo nategnuto, jer još ne znaš što je neprekidna funkcija.
Želim samo napomenuti da se ovaj zadatak mogao riješiti i drugačije. Moglo se riješiti sustav nejednadžbi [dtex]0\leq \sqrt{3^{\sin x}}<2.[/dtex] Taj način je možda i jednostavniji, jer lijeva nejednakost vrijedi uvijek pa treba riješiti samo lijevi uvjet, koji također očito vrijedi uvijek, jer sinus postiže najveću vrijednost za [tex]\frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k\in\mathbb Z[/tex] i ona iznosi [tex]1[/tex] i tada imamo [tex]\sqrt 3<2[/tex] što znamo da je istina. Dakle, rješenje sustava nejednadžbi je očito čitav [tex]\mathbb R[/tex].

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[iva93]

puno hvala..

[Favor]

Moze pomoc oko jednog dijela zadatka, f(x)=(-3|cosx-1|-5)/(|cosx-1|+2)
Trazi se f^-1(<-11/4, -8/3])

Znaci sve kuzim do dijela kada imam f^-1(x)=f1^-1(f2^-1(f3^-1(<-11/4, -8/3]))), gdje mi je f3^-1 inverz od cosx -1, odnosno arccosx -1. E i sta sada posto nesmijemo koristit kalkulator na kolokviju jel ima netko neki nacin da zna za rjesavanje neceg ovog tipa.

Hvala unaprijed treba mi za sutra

[Popara]

Krivo si kompoziciju složio.Odnosno,u ovome je problem:
(napisat ću ti općenito pa probaj dalje sam)
Ako imaš [tex]f(x)=f_1(f_2(f_3(x)))[/tex] onda kad tražiš prasliku skupa ideš ''obrnuto'' tj. [tex]f^{-1}(A)=f_3^{-1}(f_2^{-1}(f_1^{-1}(A)))[/tex]

Ako nisi shvatio, ovdje: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=18228 imaš za skinuti rješenja dva kolokvija koja je kolega Zenon lijepo zapisao pa možda od njega dobiješ bolju ideju