DIFRAF- predavanja (skripta)

[Phoenix]

Koordinatni (pod)niz se odnosi na niz koji dobivaš tako da promatraš točno određenu koordinatu svakog elementa niza u [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Recimo, za [tex]a^k=(a_1^k,a_2^k,...,a_n^k)[/tex] (i ovdje nije riječ o potencijama, već o oznaci elementa u nizu, pošto je nezgodno pisati i razlikovati dva indeksa, jer je uobičajeno i koordinatu i niz označavati preko indeksa) niz koji promatramo je [tex](a^k)_k[/tex], ali koordinatni niz je, recimo, [tex](a_1^k)_k[/tex]. Konkretno, bilo koji [tex](a_i^k)_k, i \in \left\{1,2,...,n\right\}[/tex] označava koordinatu.

Koordinatni nizovi se proučavaju jer želiš dobiti konvergentni podniz niza [tex](a^k)_k[/tex], što znači da koordinatni podnizovi moraju biti usklađeni po indeksima - a to se radi doslovno indeks po indeks.

Treba li dalje nastaviti s dokazom ili ti je sada jasno?

[Shaman]

uoci da su koordinatni nizovi u R, a takodjer su ograniceni jer je euklidska norma veca ili jednaka od norme beskonacno za svaki x iz R^n. Sada po Weierstarssovom teoremu postoji konvergentan podniz za svaki od koordinatnih nizova, a primjenjujuci korolar 2.2
http://web.math.pmf.unizg.hr/~guljas/skripte/MATANALuR.pdf na 52 stranici
dobivas strogo rastuci niz p tako da su svi podnizovi koordinatnih nizova monotoni sto zajedno s ogranicenoscu daje konvergentnost.
Niz je konvergentan ako i samo ako su mu svi koordinatni nizovi konvergentni.
i imas podniz a kruzic p koji je konvergentan u R^n.(gdje je a polazni niz u R^n)

_________________
it was merely a setback

[angelika]

Shvaćam! Ne treba ostatak dokaza...hvala

[moni_poni]

Zamolila bih za pomoć oko dokaza propozicije 3.34. (jasan mi je samo prvi red )
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

[Zenon]

[Loo]

[Zenon]

Može li mi itko reći do kud smo točno stigli (stranica, teorem) iz predavanja kod prof. Pandžića?

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[frutabella]

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/ch5.pdf

tm 5.3 kako iz zatvorenosti skupa A možemo znati da je limes b u A

[Loo]

ima teorem koji kaže da je skup A zatvoren ako i samo ako svaki konvergentan niz u A ima limes u A

Added after 4 minutes:

točnije, teorem 4.17
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o4.pdf

[pedro]

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o7.pdf

može samo za korolar 7.2 objašnjenje zašto su supA i infA gomilišta od f(K)?

[Shaman]

to slijedi direktno iz definicije supremuma i infimuma, pogledaj definiciju.

kako 2. tvrdnja definicije vrijedi za sve epislone vece od 0 onda vrijedi i za epislon=1/k gdje je k prirodan broj.Na taj nacin dobivas niz (a(n)) u danom skupu (nazovimo ga A) jer su svi a(n) iz A po definiciji. i vrijedi a(n) tezi supremumu/infimumu kada k tezi u beskonacno, to mozes preko teorema o sendvicu dokazat. Skup A je kompaktan a time i zatvoren pa svi konvergenti nizovi u A imaju limes u A, pa su infimum i supremum (a postoje u korolaru jer je A ograničen sto isto slijedi iz kompaktnosti) elementi skupa A.

Added after 42 seconds:

dobivas niz a(k)*

_________________
it was merely a setback

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o8.pdf

korolar 8.8

može mi samo netko objasniti zašto L-1(u) i L-1(v) u uniji daju čitav segment, nisam pohvatala taj dio na predavanjima?

jel to možda zato što je L-1(u)=a, i L-1(v)=b, a znamo da postoji put između a i b koji obuhvača cijeli segment pa tako vrijedi i za L-1(u) i L-1(v)


i nije mi baš jasno s čime dolazi u kontradikciju

[goranm]

[pedro]

[Phoenix]

U slučaju jedinstvene maksimalne koordinate (naravno, [tex]x=(x_1,x_2,...,x_n)[/tex]), postoji jedinstveni [tex]1 \leq k \leq n[/tex] takav da je [tex]|x_i| < |x_k|[/tex] za svaki [tex]1 \leq i \leq n, i \neq k[/tex], pa je jasno da je [tex]||x||_{\infty}=|x_k|[/tex], što je neprekidna funkcija.
U slučaju barem dviju jednakih koordinati koje po apsolutnoj vrijednosti predstavljaju maksimum (recimo da se maksimum postiže u koordinatama s indeksima [tex]\left\{ i_1,i_2,...,i_m : m \geq 2 \right\} \subseteq \left\{ 1,2,...,n \right\}[/tex]), funkcija u otvorenoj okolini može postići bilo koju vrijednost [tex]|x_{i_j}|[/tex] za [tex]1 \leq j \leq m[/tex]. Za proizvoljan niz [tex](x^l)_{l \in \mathbb{N}}[/tex] koji konverigra prema gore navedenoj točki (barem dvije koordinate postižu maksimum po apsolutnoj vrijednosti) te u njenoj "dovoljno maloj" okolini, vrijedi [tex]||x^l||_{\infty}=|x^l_{i_j}|[/tex] za neki [tex]j[/tex] iz [tex]\left\{ 1,2,...,m \right\}[/tex]. Dakle, možemo očekivati za takav niz najviše [tex]m[/tex] gomilišta skupa (ako beskonačno mnogo puta poprima vrijednosti po svim mogućim koordinatama; tada je skup gomilišta cijeli [tex]\left\{ |x_{i_1}|, |x_{i_2}|, ..., |x_{i_m}| \right\}[/tex]). No, sve te vrijednosti (jer je funkcija modul neprekidna) konvergiraju prema istoj vrijednosti upravo zato jer smo definirali [tex]\left\{ i_1,i_2,...,i_m : m \geq 2 \right\} \subseteq \left\{ 1,2,...,n \right\}[/tex] kao skup indeksa gdje se poprimaju jednake vrijednosti (i to maksimalne) - odnosno, [tex]\left\{ |x_{i_1}|, |x_{i_2}|, ..., |x_{i_m}| \right\} = \left\{ |x_{i_1}| \right\}[/tex]. Stoga je i u takvim točkama ova norma neprekidna.

Intuitivno (drugi slučaj): neovisno o tome u kojim koordinatama se postiže maksimum po apsolutnoj vrijednosti i koliko ih je, za bilo koji niz koji teži u tu točku je max norma za točke u malenoj okolini jednaka modulu od neke od tih koordinata, a to svejedno konvergira prema maksimumu modula koordinate.

[bloo]

Imam par pitanja

1. Kako dokazati nenegativnost norme?
2. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf
Propozicija 3.5, tvrdnja 3. kako dokazati?
3. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o6.pdf
Teorem 6.8, opet tvrdnja 3., opet kako dokazati?
4. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o7.pdf
Teorem 7.6, nije mi jasan samo dio ''Prelaskom na konvergentne podnizove možemo pretpostaviti da [tex]x_m[/tex] i [tex]y_m[/tex] konvergiraju."

Hvaaala puno!

[Phoenix]

1. Za normu zadanu kao u definiciji [tex]2.2[/tex], norma je drugi korijen skalarnog produkta dviju istih točaka, a slika funkcije drugi korijen je [tex]\left[ 0, +\infty \right>[/tex].
Ako misliš na općenitu normu, vjerujem da je funkcija sama po sebi norma ako zadovoljava navedene (ne)jednakosti u skripti, pa isto tako i tu da je norma kao funkcija nenegativna.
2. To smo pisali negdje na forumu, ali da ne tražim link jer pojma nemam gdje je taj post: promatramo skup [tex]\displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i[/tex], odnosno presjek konačno mnogo otvorenih skupova. Za [tex]x \in \bigcap_{i=1}^n A_i[/tex] vrijedi [tex]x \in A_i[/tex], pa posebno da za svaki takav skup postoji otvorena kugla oko te točke sadržana u skupu. Dakle, [tex]( \exists r_i > 0) K(x,r_i) \subseteq A_i[/tex].
Sad još definiraj [tex]r := \min \left\{ r_i : 1 \leq i \leq n \right\}[/tex] i primijeti da je [tex](\forall i)K(x,r) \subseteq A_i[/tex]. No, iz toga konačno slijedi i [tex]K(x,r) \subseteq \bigcap_{i=1}^n A_i[/tex].
3. Riječ je o standardnom skalarnom produktu u [tex]\mathbb{R}^n[/tex], dakle baci oko na definiciju [tex]2.2[/tex] i raspiši tvrdnju iz teorema.
4. Svaki niz ima monoton podniz, pa tako i [tex](x_m)[/tex] i [tex](y_m)[/tex] imaju konvergentne podnizove. No, to su nizovu iz kompaktnog, dakle ograničenog skupa, pa slijedi da isti nizovi imaju konvergentne podnizove (to su zapravo oni isti monotoni podnizovi). I da bi se nastavio dokaz, trebali bi striktno promatrati samo te podnizove, a ne cijele nizove. No, ostatak dokaza je isti. Zato si je uzeto "na slobodu" da su sami nizovi od početka konvergentni.

[sasha.f]

Može usput i napomena 6.13.
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o6.pdf
to je trebalo dokazati u jednom kolokviju..