zadaci s kolokvija

[pedro]

hm.. probala sam sad pomoću restrikcije, al sam opet zapela

znači promatramo neprekidnost za točke oblike (0,y)

restrikcija: y=0

f(x,0)=...(dobijem)=(x^2-1)/x * sin(1/x) / (1/x) * cos(-1)

opet ne znam što da napravim s (x^2-1)/x jer tu opet ne postoji limes

[Phoenix]

Pokušavaš pronaći limes u [tex](0,0)[/tex], pretpostavljam.
Dat ću ti hint: u toj točki ne postoji limes.

[pedro]

i kako limes ne postoji na toj restrikciji, limes fun kada konvergira prem (0,y) uopće ne postoji?

jel bi mogao ipak natipkat svoje ak ti se da, ja se samo u krug vrtim

[Phoenix]

Jesi li probala s mojom uputom (dakle, izbjegavanje tog limesa i proučavanje ako jedan od onih produkta ide u nulu)? To je uglavnom cijelo rješenje zadatka.
Za početak, promatraj točke oblika [tex](0,y), y \in \mathbb{R}[/tex]. [tex]\sin(\frac{1}{x})[/tex] se ovdje jako čudno ponaša, ali ograničen je. Znaš li možda za koje točke [tex]y[/tex] će izraz [tex]\cos(\frac{1}{y-1})[/tex] ići u [tex]0[/tex]? U takvim točkama funkcija ima limes (probaj i to pokazati). U preostalima se može pokazati da ne vrijedi - uzmi bilo koji niz [tex]x_n[/tex] za koji vrijedi [tex]x_n \rightarrow 0[/tex] i takav da [tex]\sin(\frac{1}{x})[/tex] ne konvergira. Tada neće ni cijeli izraz konvergirati.
Analogno pokaži i za [tex](x,1), x \in \mathbb{R}[/tex].
Konačno, preostaje točka [tex](0,1)[/tex], no tada prva zagrada teži u nulu. I to je to.

Evo, rekao sam ti više-manje sve. Probaj sada sama, izdvoji malo vremena, koliko je potrebno, da ovo riješiš. Puno rješenje zadatka će po potrebi biti objavljeno na forumu uskoro.

[jax]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2011-12/kolokvij1.pdf

moze li mi netko objasniti 5. zadatak
pod a) fja je neprekidna jer su joj komponente neprekidne i sada kako provjeriti pod b) i c) je li uniformno neprekidna odnosno Lipschitzova?

[Phoenix]

Tako je, a možeš i pokazati da vrijedi c) pa da iz c) slijedi b), odnosno iz b) slijedi a) (rezultati s predavanja).

Uvod: ako je funkcija jedne varijable diferencijabilna te joj je derivacija ograničena, tada je i Lipschitzova, što se lako pokaže. Pred kraj primjera [tex]9.3[/tex] s predavanja je spomenuto da se rezultat može generalizirati i za funkcije više varijabli. To ću iskoristiti u rješenju.
Iz teorema [tex]14. 4[/tex], inače analogon onoga što znamo o funkcijama jedne varijable, moramo samo pokazati da je norma Jacobijeve matrice ograničena i upravo tada ćemo pronaći Lipschitzovu konstantu.
Iz e), kada se raspiše oblik matrice, slijedi [tex]||Df(x,y)||=\sqrt{4+1+1+4}=\sqrt{10}[/tex], dakle ograničena je. Stoga je funkcija [tex]f[/tex] zaista Lipschitzova i to s Lipschitzovom konstantom, primjerice, [tex]L=\sqrt{10}[/tex].

[pedro]

[jax]

hvala, jasno je sada

[pedro]

i onda x → 0 a y → 1

a f(x,y) → 0

i tako pokažemo da za takve y, limes funkcije postoji?

Added after 15 minutes:

[ceps]

Pomiješala/o si nešto. Uniformna neprekidnost je jače svojstvo od neprekidnosti, tj. svaka uniformno neprekidna je neprekidna, ali obrat ne mora vrijediti.

Više: http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity pogledaj pod Properties primjer.
Također zgodno: http://math.stackexchange.com/questions/11538/intuition-for-uniform-continuity-of-a-function-on-mathbbr

EDIT: Kad na ovom math.stackexchange linku pričaju o ''funkcijama sa ograničenom derivacijom'', zapravo pričaju o Lipschitz neprekidnim funkcijama (postoji teorem koji tako karakterizira Lipschitzove funkcije, tako mi je nekako i najlakše intuitivno gledati na njih).

[pedro]

[R2-D2]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2011-12/kolokvij1.pdf
Imam problema s 5. zadatkom pod d). Trebalo bi pokazati da su funkcije 2x1 + x2 i x1 + 2x2 diferencijabilne, zar ne? Ali, ne znam baš kako to pokazati.

[pedro]

[ceps]

[Phoenix]

pedro: Možda i može, no ovo mi je nekako prvo palo na pamet pošto nejednakost iz definicije Lipschitzove funkcije podsjeća na ograničenost derivacije funkcije u točki (kada nejednakost podijeliš s [tex]||x-y||[/tex]). Uostalom, općenita tvrdnja i ovaj teorem je najavljen u [tex]9.[/tex] poglavlju, pa vjerujem da bi i to (u tom trenutku) bilo dovoljno, naravno, ako nema boljeg rješenja od ovog.

R2-D2: Upotrijebi teorem [tex]12.7[/tex].

[angelika]

Može pomoć sa 4.zadatkom?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2007-08/DRFVVkol_1.pdf

[Phoenix]

Točke prekida (koja su na kraju također i gomilišta domene funkcije) su [tex]2\mathbb{Z} \times \left\{ 0 \right\}[/tex].
Za točke [tex](2k,0), k \in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0,2 \right\}[/tex] limes ne postoji (uvrsti niz [tex](2k, \frac{1}{n})[/tex]).
U točki [tex](4,0)[/tex] također ne postoji limes funkcije (isprobaj nizove [tex](4,\frac{1}{n})[/tex] te [tex](4-\frac{1}{n},\frac{1}{n})[/tex]).
U točki [tex](0,0)[/tex] također ne postoji limes funkcije (isprobaj [tex](0,\frac{1}{n})[/tex] te [tex](\frac{1}{n},\frac{1}{n})[/tex] - limes za ovaj drugi je malo teže pokazati nego prethodne, ali sjeti se da možeš rabiti L'Hospitalovo pravilo).

Javi ako ne znaš dovršiti.

[angelika]

a što je točno domena te funkcije? Jel tu gledam samo kad bu nazivnik jednak nuli ( a to bi bilo kad je ovaj cijeli sinus jednak 0 i kad je y=0
) pa je domena R^2\{(2x,0),x iz Z}?
Nisam bila na zadnjim vježbama pa sam totalno izgubljena

[Phoenix]

Tako je, da. Isto kao i prije.

[angelika]

zahvaljujem