Evo, ovako sam ja to rijesio:
Prvo oznacimo [tex]v(0)=v_0= 100 \ m/s [/tex].
Sad imamo ovako: buduci da raketa ide uvis, i otpor zraka je sila, imamo jednadzbu:
[tex]ma = -mg - kv^2[/tex]
a znamo i da je [tex] a = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}[/tex], pa pisimo [tex] a = v' [/tex].
Imamo sad ovako redom:
[tex]mv' = -mg - kv^2[/tex]
[tex]\displaystyle - \frac{mv'}{mg + kv^2} = 1 \quad / \int_0^t \! \mathrm{d} \tilde{t} [/tex]
[tex]\displaystyle -m \int_{v(0)}^{v(t)} \! \frac{\mathrm{d} \tilde{v}}{mg+k{\tilde{v}}^2} \ \mathrm{d} \tilde{v} = t [/tex]
Sad se to integrira (ovo je tablicni integral, ide se na arctg), malo sredi, i dobijemo jednadzbu:
[tex] v(t) = \sqrt{\frac{mg}{k}} \tan \left( - \sqrt{\frac{kg}{m}}t + \arctan(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0) \right) [/tex].
Uvrstimo v=0 i nademo pripadni t.
Evo, ovako sam ja to rijesio:
Prvo oznacimo [tex]v(0)=v_0= 100 \ m/s [/tex].
Sad imamo ovako: buduci da raketa ide uvis, i otpor zraka je sila, imamo jednadzbu:
[tex]ma = -mg - kv^2[/tex]
a znamo i da je [tex] a = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}[/tex], pa pisimo [tex] a = v' [/tex].
Imamo sad ovako redom:
[tex]mv' = -mg - kv^2[/tex]
[tex]\displaystyle - \frac{mv'}{mg + kv^2} = 1 \quad / \int_0^t \! \mathrm{d} \tilde{t} [/tex]
[tex]\displaystyle -m \int_{v(0)}^{v(t)} \! \frac{\mathrm{d} \tilde{v}}{mg+k{\tilde{v}}^2} \ \mathrm{d} \tilde{v} = t [/tex]
Sad se to integrira (ovo je tablicni integral, ide se na arctg), malo sredi, i dobijemo jednadzbu:
[tex] v(t) = \sqrt{\frac{mg}{k}} \tan \left( - \sqrt{\frac{kg}{m}}t + \arctan(\sqrt{\frac{k}{mg}}v_0) \right) [/tex].
Uvrstimo v=0 i nademo pripadni t.
Zadnja promjena: kikzmyster; 0:44 uto, 25. 6. 2013; ukupno mijenjano 2 put/a.
|