| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
 Postano: 11:29 uto, 12. 6. 2012 Naslov: |
    |
|
|
Sada mi se ne da prepisivati dokaz i možda i jesi u pravu za dokaz diferencijabilnosti [tex]e^x[/tex] preko limesa niza ( neću reći da jesi ili nisi kada ne znam jesi li ili nisi ), ali u svakom slučaju smo mi na predavanjima dokazali diferencijabilnost [tex]e^x[/tex] tek kada smo proširili niz [tex]\left(1+\frac 1n\right)^n[/tex] na skup realnih brojeva jer nam je to proširenje bilo ključno za sam dokaz. Ne znam koliko će profesor prihvaćati dokaze koje nije radio, ma da mislim čak i da bi, ali bi onda morao prvo dokazati da je to što si ti rekao istina, a onda ne bi uopće imalo potrebe dokazivati ovo što tražimo, jer smo to i "dokazivali" da bismo pokazali diferencijabilnost :D
EDIT: Netko me je tražio da dokažem onda ja. Vrlo rado, ali ne znam kako :D Ja jesam imao jedan dokaz i pitao sam profesora valja li i potvrdio je, ali sam kasnije uz pomoć kolega shvatio da baš i nije valjan jer sam u dokazu koristio da je [tex]e^x[/tex] diferencijabilna, što ne bih smio. Inače, pričao sam s više studenata koji prolaze s 5 do 5.0 i nitko to nije uspio skroz korektno dokazati. Svi imaju neke ideje, ali nitko ne uspjeva realizirati. Svima stvara problem to što ne mogu dokazati monotonost funkcije (nakon toga je dokaz očito gotov po teoremu o sendviču).
[size=9][color=#999999]Added after 16 minutes:[/color][/size]
[quote="quark"]Kako konstruirati funkciju na I čiji je integral na svakom podsegmentu od I jednak 0, a da je sama funkcija različita od nul-funkcije?
(znam da takva funkcija ne postoji ako je neprekidna, tj. nužno je nul-funkcija)[/quote]
Na predavanjima smo dokazali da je vrijedi:
Neka je [tex]h\colon [a,b]\to\mathbb R[/tex] funkcija takva da postoji [tex]c\in [a,b][/tex] sa svojstvom [dtex]h(x)=\begin{cases}h(c); & x=c\\ 0; & x\neq x\end{cases}.[/dtex] Tada je h Riemann-integrabilna i [tex]\int_a ^b h(x)d\!x=0[/tex].
U nekoj analogiji s tim, tvoja tražena funkcija bi možda izgledala nešto tipa [tex]f\colon\mathbb R \to\mathbb R , \ f(x)=\chi _{\mathbb Z}[/tex]
Sada mi se ne da prepisivati dokaz i možda i jesi u pravu za dokaz diferencijabilnosti [tex]e^x[/tex] preko limesa niza ( neću reći da jesi ili nisi kada ne znam jesi li ili nisi ), ali u svakom slučaju smo mi na predavanjima dokazali diferencijabilnost [tex]e^x[/tex] tek kada smo proširili niz [tex]\left(1+\frac 1n\right)^n[/tex] na skup realnih brojeva jer nam je to proširenje bilo ključno za sam dokaz. Ne znam koliko će profesor prihvaćati dokaze koje nije radio, ma da mislim čak i da bi, ali bi onda morao prvo dokazati da je to što si ti rekao istina, a onda ne bi uopće imalo potrebe dokazivati ovo što tražimo, jer smo to i "dokazivali" da bismo pokazali diferencijabilnost 
EDIT: Netko me je tražio da dokažem onda ja. Vrlo rado, ali ne znam kako Ja jesam imao jedan dokaz i pitao sam profesora valja li i potvrdio je, ali sam kasnije uz pomoć kolega shvatio da baš i nije valjan jer sam u dokazu koristio da je [tex]e^x[/tex] diferencijabilna, što ne bih smio. Inače, pričao sam s više studenata koji prolaze s 5 do 5.0 i nitko to nije uspio skroz korektno dokazati. Svi imaju neke ideje, ali nitko ne uspjeva realizirati. Svima stvara problem to što ne mogu dokazati monotonost funkcije (nakon toga je dokaz očito gotov po teoremu o sendviču).
Added after 16 minutes:
| quark (napisa): | Kako konstruirati funkciju na I čiji je integral na svakom podsegmentu od I jednak 0, a da je sama funkcija različita od nul-funkcije?
(znam da takva funkcija ne postoji ako je neprekidna, tj. nužno je nul-funkcija) |
Na predavanjima smo dokazali da je vrijedi:
Neka je [tex]h\colon [a,b]\to\mathbb R[/tex] funkcija takva da postoji [tex]c\in [a,b][/tex] sa svojstvom [dtex]h(x)=\begin{cases}h(c); & x=c\\ 0; & x\neq x\end{cases}.[/dtex] Tada je h Riemann-integrabilna i [tex]\int_a ^b h(x)d\!x=0[/tex].
U nekoj analogiji s tim, tvoja tražena funkcija bi možda izgledala nešto tipa [tex]f\colon\mathbb R \to\mathbb R , \ f(x)=\chi _{\mathbb Z}[/tex]
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: 
|
| Postano: 14:07 uto, 12. 6. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="Zenon"]Sada mi se ne da prepisivati dokaz i možda i jesi u pravu za dokaz diferencijabilnosti [tex]e^x[/tex] preko limesa niza ( neću reći da jesi ili nisi kada ne znam jesi li ili nisi )[/quote]
Npr. [url]http://web.math.pmf.unizg.hr/~guljas/skripte/MATANALuR.pdf[/url], strana 96 (dovoljan je slučaj x>0).
Drugi način je koristiti definiciju [tex]\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.[/tex] Ako je [tex]f(x)=e^x[/tex], onda je [tex]\displaystyle f'(x)=e^x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h},[/tex] a za ovaj drugi limes, koristeći definiciju [tex]\displaystyle e^x=\lim_{n\to\infty}(1+x/n)^n[/tex], imamo
[dtex]\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=\lim_{h\to 0} \frac 1 h\left(\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac hn\right)^n-1\right)=\lim_{h\to 0}\frac 1 h \left(\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac h n\right)^k-1\right)=\lim_{h\to 0}\frac 1 h\left(1+\lim_{n\to \infty}\left(n\cdot\frac h n + \sum_{k=2}^n{n\choose k}\left(\frac h n\right)^k\right)-1\right)=[/dtex]
[dtex]1+\lim_{h\to 0}\frac 1 h \left(\lim_{n\to \infty}\sum_{k=2}^n{n\choose k}\left(\frac h n\right)^k\right)=1+\lim_{h\to 0}\frac 1 h \cdot h \lim_{n\to \infty}\sum_{k=2}^n{n\choose k}\frac{h^{k-1}}{n^k}=1+\lim_{h\to 0}\lim_{n\to \infty}\sum_{k=2}^n{n\choose k}\frac{h^{k-1}}{n^k}=1.
[/dtex]
[quote]jer smo to i "dokazivali" da bismo pokazali diferencijabilnost[/quote]
Prošli ste čitav kolegij bez da ste korektno dokazali da je e^x derivabilna?
| Zenon (napisa): | | Sada mi se ne da prepisivati dokaz i možda i jesi u pravu za dokaz diferencijabilnosti [tex]e^x[/tex] preko limesa niza ( neću reći da jesi ili nisi kada ne znam jesi li ili nisi ) |
Npr. http://web.math.pmf.unizg.hr/~guljas/skripte/MATANALuR.pdf, strana 96 (dovoljan je slučaj x>0).
Drugi način je koristiti definiciju [tex]\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.[/tex] Ako je [tex]f(x)=e^x[/tex], onda je [tex]\displaystyle f'(x)=e^x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h},[/tex] a za ovaj drugi limes, koristeći definiciju [tex]\displaystyle e^x=\lim_{n\to\infty}(1+x/n)^n[/tex], imamo
[dtex]\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=\lim_{h\to 0} \frac 1 h\left(\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac hn\right)^n-1\right)=\lim_{h\to 0}\frac 1 h \left(\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac h n\right)^k-1\right)=\lim_{h\to 0}\frac 1 h\left(1+\lim_{n\to \infty}\left(n\cdot\frac h n + \sum_{k=2}^n{n\choose k}\left(\frac h n\right)^k\right)-1\right)=[/dtex]
[dtex]1+\lim_{h\to 0}\frac 1 h \left(\lim_{n\to \infty}\sum_{k=2}^n{n\choose k}\left(\frac h n\right)^k\right)=1+\lim_{h\to 0}\frac 1 h \cdot h \lim_{n\to \infty}\sum_{k=2}^n{n\choose k}\frac{h^{k-1}}{n^k}=1+\lim_{h\to 0}\lim_{n\to \infty}\sum_{k=2}^n{n\choose k}\frac{h^{k-1}}{n^k}=1.
[/dtex]
| Citat: | | jer smo to i "dokazivali" da bismo pokazali diferencijabilnost |
Prošli ste čitav kolegij bez da ste korektno dokazali da je e^x derivabilna?
_________________
The Dude Abides
Zadnja promjena: goranm; 15:06 uto, 12. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
malalodacha
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 10. 2011. (17:06:13)
Postovi: (79)16
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
| Postano: 17:17 uto, 12. 6. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="malalodacha"]ponovno pitam na kojoj je stranici guljaševe skripte na netu dokaz da je e^x=x^n/n!, a na kojoj razvoj e^x?[/quote]
Izraz e^x=x^n/n! ne vrijedi (uvrsti npr. x=1, lijevo imaš iracionalan, a desno racionalan broj za svaki prirodan n). Tebi treba dokaz da je [tex]\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex], tj. da Taylorov red od e^x oko 0 konvergira prema e^x, a prvo mjesto gdje bih ja to tražio je poglavlje 6.7. Taylorovi redovi. Inače, strana 176, primjer 6.17.
| malalodacha (napisa): | | ponovno pitam na kojoj je stranici guljaševe skripte na netu dokaz da je e^x=x^n/n!, a na kojoj razvoj e^x? |
Izraz e^x=x^n/n! ne vrijedi (uvrsti npr. x=1, lijevo imaš iracionalan, a desno racionalan broj za svaki prirodan n). Tebi treba dokaz da je [tex]\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}[/tex], tj. da Taylorov red od e^x oko 0 konvergira prema e^x, a prvo mjesto gdje bih ja to tražio je poglavlje 6.7. Taylorovi redovi. Inače, strana 176, primjer 6.17.
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
| [Vrh] |
|
Silenoz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 10. 2011. (18:45:11)
Postovi: (4F)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
|
