| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
lost_soul
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2009. (17:38:41)
Postovi: (133)16
|
|
| [Vrh] |
|
pbakic
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol: 
|
 Postano: 15:50 pet, 11. 1. 2013 Naslov: |
    |
|
|
Ovdje su H, K hermitski pa je iK zapravo antihermitski.
Svaki operator ima rastav na hermitski i antihermitski dio(stovise, on je jedinstven). Za zadani operator [latex]A[/latex], rastav na hermitski i antihermitski dio uvijek mozete dobiti tako da pogledate
[latex]\frac{A+A^*}{2}[/latex] i [latex]\frac{A-A^*}{2}[/latex]
prvi je ocito hermitski, drugi antihermitski, a u zbroju daju upravo A.
Dakle, stavimo [latex]H=\frac{A+A^*}{2}[/latex], a [latex]iK=\frac{A-A^*}{2}[/latex], tj. [latex]K=\frac{A-A^*}{2i}[/latex]
Izracunamo ovo dvoje i dobili smo trazene operatore :)
Ovdje su H, K hermitski pa je iK zapravo antihermitski.
Svaki operator ima rastav na hermitski i antihermitski dio(stovise, on je jedinstven). Za zadani operator  , rastav na hermitski i antihermitski dio uvijek mozete dobiti tako da pogledate
 i 
prvi je ocito hermitski, drugi antihermitski, a u zbroju daju upravo A.
Dakle, stavimo  , a  , tj. 
Izracunamo ovo dvoje i dobili smo trazene operatore 
|
|
| [Vrh] |
|
lost_soul
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2009. (17:38:41)
Postovi: (133)16
|
|
| [Vrh] |
|
pbakic
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
lost_soul
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2009. (17:38:41)
Postovi: (133)16
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
pitalica
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
pbakic
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 10. 2009. (17:48:30)
Postovi: (143)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
rom
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
Joker
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 09. 2010. (10:19:16)
Postovi: (8C)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
ceps
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
ceps
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
|
| Postano: 14:05 ned, 13. 1. 2013 Naslov: |
|
|
|
@pedro
11. Znači, uz ono što sam već napisao, znamo: P pozitivan operator, P^2 + 2P unitaran.
Imamo: [latex](P^2 + 2P)(P^2 + 2P)^* = I[/latex], tj. pošto je P pozitivan (pa i hermitski) imamo [latex](P^2 + 2P)^2 = I[/latex].
Sad mislim da znaš nastaviti dalje: pošto je P pozitivan, znamo da ima neprazan, realan i pozitivan spektar... ostaje ti naći nultočke gornjeg polinoma.
12.Opet, kad iskoristimo ono što sam napisao u prošlom postu imamo da su operatori [latex]A, A - iI, A + I[/latex] unitarni. Znaš onu definiciju unitarnosti: [latex]T[/latex] je unitaran ako je [latex]TT^* = I[/latex]. Ispiši to za svaki od ova tri operatora i vidi možeš li uočiti kontradikciju.
EDIT: Nisam siguran da A^n unitaran povlači A unitaran ako A nije normalna matrica... dakle, 11. je u redu ali 12. možda i ne.
@pedro
11. Znači, uz ono što sam već napisao, znamo: P pozitivan operator, P^2 + 2P unitaran.
Imamo:  , tj. pošto je P pozitivan (pa i hermitski) imamo  .
Sad mislim da znaš nastaviti dalje: pošto je P pozitivan, znamo da ima neprazan, realan i pozitivan spektar... ostaje ti naći nultočke gornjeg polinoma.
12.Opet, kad iskoristimo ono što sam napisao u prošlom postu imamo da su operatori  unitarni. Znaš onu definiciju unitarnosti:  je unitaran ako je  . Ispiši to za svaki od ova tri operatora i vidi možeš li uočiti kontradikciju.
EDIT: Nisam siguran da A^n unitaran povlači A unitaran ako A nije normalna matrica... dakle, 11. je u redu ali 12. možda i ne.
Zadnja promjena: ceps; 16:46 ned, 13. 1. 2013; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
ceps
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
|
| Postano: 15:12 ned, 13. 1. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="pedro"]a kako znamo da ako je A^n unitaran da je i A unitaran?[/quote]
EDIT: Zapravo nisam siguran da je ovo dobro (ako A već nije normalna matrica). :/
Sumnjivo mi je ovo: [latex]A^n v = \lambda v \implies Av = \sqrt[n]{ \lambda } v[/latex]
Intuitivno, unitarni operatori predstavljaju zrcaljenja i rotacije (unitarni operatori čuvaju normu i kut između vektora). Meni je nekako logično da ako A^n čuva normu, da i A mora čuvati, ili bolje rečeno nije mi logično da A ''razvlači'' vektore a A^n (n puta primjenjen A) ih ostavlja na miru.
Formalno, pretpostavimo suprotno, [latex]A^n[/latex] je unitaran a [latex]A[/latex] nije.
[latex]A^n[/latex] i [latex]A[/latex] dijele iste svojstvene vektore, [latex]A^n v = \lambda v \implies Av = \sqrt[n]{ \lambda } v[/latex] (ovaj korijen iz [latex]\lambda[/latex] nije jedinstveno određen, ali nam sada to nije ni bitno).
Dakle, pošto je se [latex]A^n[/latex] može dijagonalizirati, može se i [latex]A[/latex].
Sjeti se kakve svojstvene vrijednosti imaju unitarne matrice: one s apsolutnom vrijednošću 1 (što odgovara intuitivnoj predodžbi ''ostavljanja norme vektora na miru'').
I sad smo u ovakvoj situaciji: pretpostavili smo da A nije unitarna, ali smo pokazali da se može dijagonalizirati. To znači da ima bar jedan svojstveni vektor v kojeg ''produžuje'' ili ''skraćuje'', odnosno [latex]| \lambda | \neq 1[/latex] ili još jasnije napisano [latex]||Av|| \neq ||v|| [/latex]
No, s druge strane imamo da bi trebalo biti [latex]||A^n v|| = ||v||[/latex]. Vidiš kontradikciju? :)
| pedro (napisa): | | a kako znamo da ako je A^n unitaran da je i A unitaran? |
EDIT: Zapravo nisam siguran da je ovo dobro (ako A već nije normalna matrica). 
Sumnjivo mi je ovo: 
Intuitivno, unitarni operatori predstavljaju zrcaljenja i rotacije (unitarni operatori čuvaju normu i kut između vektora). Meni je nekako logično da ako A^n čuva normu, da i A mora čuvati, ili bolje rečeno nije mi logično da A ''razvlači'' vektore a A^n (n puta primjenjen A) ih ostavlja na miru.
Formalno, pretpostavimo suprotno,  je unitaran a nije.
i dijele iste svojstvene vektore, (ovaj korijen iz  nije jedinstveno određen, ali nam sada to nije ni bitno).
Dakle, pošto je se može dijagonalizirati, može se i .
Sjeti se kakve svojstvene vrijednosti imaju unitarne matrice: one s apsolutnom vrijednošću 1 (što odgovara intuitivnoj predodžbi ''ostavljanja norme vektora na miru'').
I sad smo u ovakvoj situaciji: pretpostavili smo da A nije unitarna, ali smo pokazali da se može dijagonalizirati. To znači da ima bar jedan svojstveni vektor v kojeg ''produžuje'' ili ''skraćuje'', odnosno  ili još jasnije napisano 
No, s druge strane imamo da bi trebalo biti  . Vidiš kontradikciju?
Zadnja promjena: ceps; 16:45 ned, 13. 1. 2013; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
rom
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
ceps
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
|
| Postano: 15:57 ned, 13. 1. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="rom"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/zad2_12_13.pdf
Kako bi isao 6.?[/quote]
Pozitivni operatori su i hermitski, pa bi trebalo biti [latex](U + \frac{1}{2}I) = (U + \frac{1}{2}I)^* = U^* + \frac{1}{2}I \implies U^* = U[/latex].
Znači, imamo da je U pozitivni, hermitski, unitarni (da, glupo je govoriti pozitivni i hermitski dvaput, ali da bude jasnije) pa znamo da njegov spektar mora biti:
- realan
- pozitivan
- 1 po apsolutnoj vrijednosti
Koliko takvih brojeva ima?
EDIT: Ispravio lapsus, hvala vsego.
| rom (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/zad2_12_13.pdf
Kako bi isao 6.? |
Pozitivni operatori su i hermitski, pa bi trebalo biti  .
Znači, imamo da je U pozitivni, hermitski, unitarni (da, glupo je govoriti pozitivni i hermitski dvaput, ali da bude jasnije) pa znamo da njegov spektar mora biti:
- realan
- pozitivan
- 1 po apsolutnoj vrijednosti
Koliko takvih brojeva ima?
EDIT: Ispravio lapsus, hvala vsego.
Zadnja promjena: ceps; 16:33 ned, 13. 1. 2013; ukupno mijenjano 2 put/a.
|
|
| [Vrh] |
|
|
