Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Boris Davidovič Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18) Postovi: (3C)16
|
Postano: 16:40 sri, 30. 6. 2004 Naslov: Duljina krivulje |
|
|
Pretpostavimo da želimo numerički odrediti duljinu luka krivulje između neke dvije točke (npr. graf neke funkcije ili dio hiperbole).
Prvo što mi pada na pamet je aproksimirati traženu duljinu linearnim splineom, ali kako tada naći ocjenu pogreške?
Jasno mi je da mogu interpolirati samu funkciju s točnošću epsilon, ali to ništa ne govori o točnosti pronađene duljine (npr polukrug radijusa jedan, čiji je dijametar zapravo spline duljine dva, dok je duljina luka pi, tj. greška određivanja duljine je pi-2, a interpolacija je točna do jedan).
Pri ovome zažmirimo na činjenicu da za glatke funkcije(realne var) znademo duljinu grafa izračunati egzaktno.
Hvala.
Pretpostavimo da želimo numerički odrediti duljinu luka krivulje između neke dvije točke (npr. graf neke funkcije ili dio hiperbole).
Prvo što mi pada na pamet je aproksimirati traženu duljinu linearnim splineom, ali kako tada naći ocjenu pogreške?
Jasno mi je da mogu interpolirati samu funkciju s točnošću epsilon, ali to ništa ne govori o točnosti pronađene duljine (npr polukrug radijusa jedan, čiji je dijametar zapravo spline duljine dva, dok je duljina luka pi, tj. greška određivanja duljine je pi-2, a interpolacija je točna do jedan).
Pri ovome zažmirimo na činjenicu da za glatke funkcije(realne var) znademo duljinu grafa izračunati egzaktno.
Hvala.
|
|
[Vrh] |
|
beros Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 11. 2002. (11:48:22) Postovi: (29)16
|
|
[Vrh] |
|
ZELENIZUBNAPLANETIDO SADE Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 03. 2004. (19:56:15) Postovi: (54F)16
Lokacija: hm?
|
Postano: 11:17 uto, 10. 8. 2004 Naslov: |
|
|
[quote="beros"]integral od A do B ( korijen(1+f'(x)^2) dx) [/quote]
[latex]\int_A^B{\sqrt{1+f`(x)^2} dx}[/latex] :g:
beros (napisa): | integral od A do B ( korijen(1+f'(x)^2) dx) |
_________________
Pupoljak nije negiran. Rekao sam to i ponovit cu to jos jedanput. Pupoljak NIJE negirAn.
MADD
(Mothers Against Dirty Dialectics)
Based on a true story. NOT.
Ko ih sljivi, mi sviramo punk
|
|
[Vrh] |
|
beros Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 11. 2002. (11:48:22) Postovi: (29)16
|
|
[Vrh] |
|
ZELENIZUBNAPLANETIDO SADE Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 03. 2004. (19:56:15) Postovi: (54F)16
Lokacija: hm?
|
Postano: 14:25 uto, 10. 8. 2004 Naslov: |
|
|
[quote="beros"]Nemam pojma da li je to sličica ili ne, ali super izgleda. Hvala! [/quote]
I drugi put :g: vsego je slozio integrirani tex/latex/metapost na forumu :) vise o tome ovdje:
[url]http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=17480#17480[/url]
beros (napisa): | Nemam pojma da li je to sličica ili ne, ali super izgleda. Hvala! |
I drugi put vsego je slozio integrirani tex/latex/metapost na forumu vise o tome ovdje:
http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=17480#17480
_________________
Pupoljak nije negiran. Rekao sam to i ponovit cu to jos jedanput. Pupoljak NIJE negirAn.
MADD
(Mothers Against Dirty Dialectics)
Based on a true story. NOT.
Ko ih sljivi, mi sviramo punk
|
|
[Vrh] |
|
veky Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43) Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
Postano: 10:26 pet, 27. 8. 2004 Naslov: Re: Duljina krivulje |
|
|
[quote="Boris Davidovič"]Jasno mi je da mogu interpolirati samu funkciju s točnošću epsilon, ali to ništa ne govori o točnosti pronađene duljine (npr polukrug radijusa jedan, čiji je dijametar zapravo spline duljine dva, dok je duljina luka pi, tj. greška određivanja duljine je pi-2, a interpolacija je točna do jedan).[/quote]
Ne mogu odoljeti da ne navedem jedan primjer te pojave, koji je mene svojedobno vrlo čudio. Možda nekome od mlađih bude zanimljiv. :-)
Cilj nam je aproksimirati spojnicu točaka (0,0) i (1,1) (označimo je s l ) izlomljenim linijama koje se sastoje od dužinâ paralelnih koordinatnim osima (ukratko, dozvoljeno je kretanje samo gore, dolje, lijevo i desno - za proizvoljno male pomake). Naravno, na taj način se lako možemo proizvoljno približiti našoj l - npr. konstuiramo niz izlomljenih linijâ:
[code:1]l0:=1gore1desno
l1:=(1/2)gore(1/2)desno(1/2)gore(1/2)desno
l2:=((1/4)gore(1/4)desno)x4
l_n:=((2^-n)gore(2^-n)desno)x2^n[/code:1]
koji očito "konvergira" k l (maksimalna udaljenost od l_n do l je
2^(-n-0.5) ). No ono što je zanimljivo, je da _duljine_ od svih l_n iznose 2 , i nemaju apsolutno ništa s duljinom od l , koja naravno iznosi sqrt2 . Još zanimljivije, _svaka_ izlomljena linija gornjeg tipa koja spaja (0,0) i (1,1) imat će duljinu bar 2 . Dakle, nema šanse da uđemo već u (1/2)-okolinu od d(l) . :-)
(Mislim da primjer, između ostalog, dobro pokazuje kako priče o "beskonačno dugačkim obalama" i "duljinama" fraktalâ nisu tako jednostavne kakvim ih popularna matematika često nastoji prikazati.)
Boris Davidovič (napisa): | Jasno mi je da mogu interpolirati samu funkciju s točnošću epsilon, ali to ništa ne govori o točnosti pronađene duljine (npr polukrug radijusa jedan, čiji je dijametar zapravo spline duljine dva, dok je duljina luka pi, tj. greška određivanja duljine je pi-2, a interpolacija je točna do jedan). |
Ne mogu odoljeti da ne navedem jedan primjer te pojave, koji je mene svojedobno vrlo čudio. Možda nekome od mlađih bude zanimljiv.
Cilj nam je aproksimirati spojnicu točaka (0,0) i (1,1) (označimo je s l ) izlomljenim linijama koje se sastoje od dužinâ paralelnih koordinatnim osima (ukratko, dozvoljeno je kretanje samo gore, dolje, lijevo i desno - za proizvoljno male pomake). Naravno, na taj način se lako možemo proizvoljno približiti našoj l - npr. konstuiramo niz izlomljenih linijâ:
Kod: | l0:=1gore1desno
l1:=(1/2)gore(1/2)desno(1/2)gore(1/2)desno
l2:=((1/4)gore(1/4)desno)x4
l_n:=((2^-n)gore(2^-n)desno)x2^n |
koji očito "konvergira" k l (maksimalna udaljenost od l_n do l je
2^(-n-0.5) ). No ono što je zanimljivo, je da _duljine_ od svih l_n iznose 2 , i nemaju apsolutno ništa s duljinom od l , koja naravno iznosi sqrt2 . Još zanimljivije, _svaka_ izlomljena linija gornjeg tipa koja spaja (0,0) i (1,1) imat će duljinu bar 2 . Dakle, nema šanse da uđemo već u (1/2)-okolinu od d(l) .
(Mislim da primjer, između ostalog, dobro pokazuje kako priče o "beskonačno dugačkim obalama" i "duljinama" fraktalâ nisu tako jednostavne kakvim ih popularna matematika često nastoji prikazati.)
|
|
[Vrh] |
|
|