Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
|
[Vrh] |
|
simon11 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (21:02:52) Postovi: (7C)16
Spol:
Lokacija: FunkyTown
|
Postano: 12:34 sub, 19. 5. 2012 Naslov: Re: 2 KOLOKVIJ |
|
|
[quote="pedro"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-1011-kol2.pdf
može treći zadatak iz bilo koje grupe? hvala[/quote]
evo kako sam ga ja rijesio.prvo prostor [latex]P_2[/latex] je prostor
[latex]dim=3[/latex] ali u ovom zadanom potprostoru [latex]S[/latex] ''zive'' samo oni polinomi za koje vrijedi [latex]p(0)=0[/latex] dakle njegova dimenzija je ocigledno 2,pa za bazu od [latex]S[/latex] mogu onda uzeti,npr. [latex]\{t,t^2\}[/latex] Isto tako kako vrijedi da je [latex]P_2=S \oplus S^{\bot}[/latex] proizlazi da je [latex]P_2\ominus S =S^{\bot}[/latex].To znaci da se vektor [latex]1+t^2-\alpha t-\beta t^2[/latex] nalazi u potprostoru [latex]S^{\bot}[/latex] pa je taj vektor okomit na [latex]t[/latex] i [latex]t^2[/latex].Odnosno
[latex]<1+t^2-\alpha t -\beta t^2,t>=0[/latex] i
[latex]<1+t^2-\alpha t -\beta t^2,t^2>=0[/latex]
Kada se rijesi ovaj integral dobijem da je [latex]\alpha=0[/latex] i [latex]\beta=\frac{23}{9}[/latex]
sada je neki [latex]q(t)=1+t^2-\alpha t -\beta t^2[/latex] jer je [latex]q(t) \in S^{\bot}[/latex] to proizlazi da je [latex]q(t)=1-\frac{14}{9}t^2[/latex] pa je udaljenost zadanog polinoma od potprostora[latex]S[/latex] jednaka [latex]||q(t)||[/latex],odnosno [latex]\sqrt{<1-\frac{14}{9}t^2,1-\frac{14}{9}t^2>}[/latex] i kada rijesim ovaj integral dobijem [latex]\sqrt{\frac{136}{135}}[/latex]
eto,nadam se da nisam negdje kardinalno pogrijesio :)
EDIT
kad malo bolje razmislim,mozda,ali samo mozda,posto je [latex]dim S^{\bot}=1[/latex] ovo moze biti laksi nacin.Naime,mogao bih uzeti odmah neki [latex]q(t) \in S^{\bot};q(t)=a+bt+ct^2 [/latex].Tada po definiciji vrijedi da je [latex]<q,t>=0 \ i \ <q,t^2>=0[/latex] dakle koristim istu bazu za [latex]S[/latex] kao i gore.kada se rjesava [latex]<q,t>=0[/latex] dobije se da je b=0,a iz [latex]<q,t^2>=0[/latex] dobije se sustav [latex] \frac{16a}{35}+\frac{24c}{35}=0[/latex] znaci ako uzmem da je [latex]c=t;t \in R[/latex] dobije se [latex]\{t\cdot \left(\begin{bmatrix}\frac{-9}{14} \\0\\1 \end{bmatrix}\right);t \in R\}[/latex].sada treba zadani polinom [latex]1+t^2[/latex] prikazati kao [latex]1+t^2=\alpha t+\beta t^2+\gamma (\frac{-9}{14}+t^2)[/latex] rjesavanjem se dobije [latex]\alpha=0;\beta=\frac{23}{9};\gamma=\frac{-14}{9}[/latex] ali nama je samo bitan [latex]\gamma[/latex] pa kada [latex]q(t)=\frac{-9}{14}+t^2[/latex] pomnozim s [latex]\gamma[/latex] dobijem da je taj [latex]q(t)=1-\frac{14t^2}{9}[/latex] bas kao i gore,pa je i udaljenost ista.eto nadam se da si shvatio sto je pjesnik htio reci :)
pedro (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-1011-kol2.pdf
može treći zadatak iz bilo koje grupe? hvala |
evo kako sam ga ja rijesio.prvo prostor je prostor
ali u ovom zadanom potprostoru ''zive'' samo oni polinomi za koje vrijedi dakle njegova dimenzija je ocigledno 2,pa za bazu od mogu onda uzeti,npr. Isto tako kako vrijedi da je proizlazi da je .To znaci da se vektor nalazi u potprostoru pa je taj vektor okomit na i .Odnosno
i
Kada se rijesi ovaj integral dobijem da je i
sada je neki jer je to proizlazi da je pa je udaljenost zadanog polinoma od potprostora jednaka ,odnosno i kada rijesim ovaj integral dobijem
eto,nadam se da nisam negdje kardinalno pogrijesio
EDIT
kad malo bolje razmislim,mozda,ali samo mozda,posto je ovo moze biti laksi nacin.Naime,mogao bih uzeti odmah neki .Tada po definiciji vrijedi da je dakle koristim istu bazu za kao i gore.kada se rjesava dobije se da je b=0,a iz dobije se sustav znaci ako uzmem da je dobije se .sada treba zadani polinom prikazati kao rjesavanjem se dobije ali nama je samo bitan pa kada pomnozim s dobijem da je taj bas kao i gore,pa je i udaljenost ista.eto nadam se da si shvatio sto je pjesnik htio reci
_________________
getting recognized
|
|
[Vrh] |
|
marička Forumaš(ica)
Pridružen/a: 27. 05. 2011. (14:57:58) Postovi: (31)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
simon11 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (21:02:52) Postovi: (7C)16
Spol:
Lokacija: FunkyTown
|
|
[Vrh] |
|
marička 444 Gost
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 16:52 ned, 27. 5. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="marička"]e a jel bi mogao napisati samo bazu za potprostor S iz trećeg zadatka al iz one druge grupe( gdje je p(1)=0 ) ??[/quote]
To ti se radi ovako (inače gradivo Elementarne matematike 1):
[tex]p(1)=0 \Longleftrightarrow[/tex] zbroj koeficijenata polinoma je 0.
Znači za [tex]p(t)=at^2+bt+c[/tex] imamo [tex]a+b+c=0[/tex], tj. [tex]c=-a-b[/tex], pa je prvi vektor za [tex]a=1, b=0\Longrightarrow t^2-1[/tex], a drugi za [tex]a=0, b=1\Longrightarrow t-1[/tex], pa je [tex]\{t-1, t^2-1\}[/tex] jedna baza za [tex]S[/tex] (linearna nezavisnost je očita).
A zašto je dimenzija 2? Pa imaš tri parametra i jednu jednadžbu [tex]c=-a-b[/tex], što znači da imaš dva nezavisna parametra, a treći je njihova linearna kombinacija.
marička (napisa): | e a jel bi mogao napisati samo bazu za potprostor S iz trećeg zadatka al iz one druge grupe( gdje je p(1)=0 ) ?? |
To ti se radi ovako (inače gradivo Elementarne matematike 1):
[tex]p(1)=0 \Longleftrightarrow[/tex] zbroj koeficijenata polinoma je 0.
Znači za [tex]p(t)=at^2+bt+c[/tex] imamo [tex]a+b+c=0[/tex], tj. [tex]c=-a-b[/tex], pa je prvi vektor za [tex]a=1, b=0\Longrightarrow t^2-1[/tex], a drugi za [tex]a=0, b=1\Longrightarrow t-1[/tex], pa je [tex]\{t-1, t^2-1\}[/tex] jedna baza za [tex]S[/tex] (linearna nezavisnost je očita).
A zašto je dimenzija 2? Pa imaš tri parametra i jednu jednadžbu [tex]c=-a-b[/tex], što znači da imaš dva nezavisna parametra, a treći je njihova linearna kombinacija.
|
|
[Vrh] |
|
marička 444 Gost
|
|
[Vrh] |
|
thepineapple Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 11. 2011. (18:58:15) Postovi: (12)16
|
|
[Vrh] |
|
simon11 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (21:02:52) Postovi: (7C)16
Spol:
Lokacija: FunkyTown
|
Postano: 17:32 ned, 27. 5. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="thepineapple"]Kako se rjesava 2.a?[/quote]
Odredite vektor [latex]w \in C^3[/latex] tako da vrijedi [latex]f(z)=(z,w)[/latex] i to [latex]\forall z \in C^3[/latex] (!)
E,pa onda bi mogli uzeti bas ove zadane vektore iz baze.dakle neka je [latex]z_1=(1,i,0);z_2=(1+i,0,1);z_3=(0,1,-i)[/latex],a tom nekom [latex]w[/latex] mozemo oznaciti koordinate s
[latex]w=(w_1,w_2,w_3)[/latex].
Sada s jedne znamo da je [latex]f(z_1)=2[/latex] pa izracunamo
[latex]((1,i,0),(w_1,w_2,w_3))=[/latex][latex]\overline{w_1}+[/latex][latex]\overline w_2\cdot i=2[/latex] pazi na skalarni produkt jer se sada nalazimo u svijetu kompl.brojeva (konjugiranje!)
Sada to ponovimo za [latex]w_2[/latex] i [latex]w_3[/latex] pa na kraju dobijemo 3 jednadbe s 3 nepoznanice,rjesavanjem se dobiva da je
[latex]w=(1,i,4)[/latex] ako sam dobro izracunao :D javi ako bude trebalo nes detaljnije
btw. bravo zenone jako dobro objasnjeno,dao bih ti pohvalu kad bih mogao ;)
thepineapple (napisa): | Kako se rjesava 2.a? |
Odredite vektor tako da vrijedi i to (!)
E,pa onda bi mogli uzeti bas ove zadane vektore iz baze.dakle neka je ,a tom nekom mozemo oznaciti koordinate s
.
Sada s jedne znamo da je pa izracunamo
pazi na skalarni produkt jer se sada nalazimo u svijetu kompl.brojeva (konjugiranje!)
Sada to ponovimo za i pa na kraju dobijemo 3 jednadbe s 3 nepoznanice,rjesavanjem se dobiva da je
ako sam dobro izracunao javi ako bude trebalo nes detaljnije
btw. bravo zenone jako dobro objasnjeno,dao bih ti pohvalu kad bih mogao
_________________
getting recognized
|
|
[Vrh] |
|
thepineapple Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 11. 2011. (18:58:15) Postovi: (12)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
quark Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:47:39) Postovi: (DA)16
Spol:
|
Postano: 21:35 ned, 27. 5. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="thepineapple"][url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-0809-kol2.pdf[/url]
4. zadatak
sta tocno znaci zapisite nove koordinate preko starih, kako to treba izgledati?[/quote]
Dakle, simetrična kvadratna forma definirana je kao [tex]g(x):=\left \langle A(x),x \right \rangle[/tex] gdje je [tex]A[/tex] simetrična matrica.
Ti želiš naći [tex] y = \left( \begin{array}{ccc}
y_1 \\
\ldots \\
y_n \end{array} \right)[/tex] takav da je
[tex] g(y)=\left \langle Dy,y \right \rangle[/tex], a [tex]D[/tex] dijagonalna matrica.
Da sad ne raspisujem sve, pokaže se da je [tex]y=S^{\tau}x[/tex].
Od tebe se dakle traži:
[latex]\left( \begin{array}{ccc}
y_1 \\
\ldots \\
y_n \end{array} \right) = S^{\tau} \left( \begin{array}{ccc}
x_1 \\
\ldots \\
x_n \end{array} \right)[/latex]
Izmnožiš i onda ti je i-ti redak zapravo taj traženi [tex]y_i[/tex]
Dakle, simetrična kvadratna forma definirana je kao [tex]g(x):=\left \langle A(x),x \right \rangle[/tex] gdje je [tex]A[/tex] simetrična matrica.
Ti želiš naći [tex] y = \left( \begin{array}{ccc}
y_1 \\
\ldots \\
y_n \end{array} \right)[/tex] takav da je
[tex] g(y)=\left \langle Dy,y \right \rangle[/tex], a [tex]D[/tex] dijagonalna matrica.
Da sad ne raspisujem sve, pokaže se da je [tex]y=S^{\tau}x[/tex].
Od tebe se dakle traži:
Izmnožiš i onda ti je i-ti redak zapravo taj traženi [tex]y_i[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
pingvin007 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 10. 2012. (22:20:35) Postovi: (11)16
|
|
[Vrh] |
|
hendrix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 09. 2012. (15:59:06) Postovi: (92)16
|
Postano: 19:58 pet, 24. 5. 2013 Naslov: |
|
|
Pronađi bazu za dani unitarni prostor (ne treba ići dalje od kanonske), kako jednakost s kraja zadatka mora vrijediti za sve članove tog prostora, mora vrijediti i za članove baze, a za njih lako izračunaš koju im vrijednost pridružuje funkcional. Onda s jedne strane jednakosti imaš tu vrijednost, a s druge skalarni produkt člana baze i polinoma koji tražiš (standardno ga označiš s [tex]q(t) = at^2 + bt + c[/tex] ili kako već želiš), postupak ponoviš za preostale članove baze i... to je to, dobiješ sustav s tri jednadžbe i tri nepoznanice, njegova rješenja su koeficijenti traženog polinoma.
Pronađi bazu za dani unitarni prostor (ne treba ići dalje od kanonske), kako jednakost s kraja zadatka mora vrijediti za sve članove tog prostora, mora vrijediti i za članove baze, a za njih lako izračunaš koju im vrijednost pridružuje funkcional. Onda s jedne strane jednakosti imaš tu vrijednost, a s druge skalarni produkt člana baze i polinoma koji tražiš (standardno ga označiš s [tex]q(t) = at^2 + bt + c[/tex] ili kako već želiš), postupak ponoviš za preostale članove baze i... to je to, dobiješ sustav s tri jednadžbe i tri nepoznanice, njegova rješenja su koeficijenti traženog polinoma.
|
|
[Vrh] |
|
pingvin007 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 10. 2012. (22:20:35) Postovi: (11)16
|
|
[Vrh] |
|
Shirohige Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 11. 2012. (20:19:56) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
hendrix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 09. 2012. (15:59:06) Postovi: (92)16
|
|
[Vrh] |
|
helga Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2011. (22:24:33) Postovi: (1C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Silenoz Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 10. 2011. (18:45:11) Postovi: (4F)16
Spol:
|
Postano: 4:05 ned, 9. 6. 2013 Naslov: |
|
|
Može li me netko prosvijetliti sa trećim zadatkom 2. kolokvija ove godine, svejedno koja grupa?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-1213-kol2.pdf
najbitniji dio bi bilo u vezi ortonormiranja skupa u podzadatku a), osjećam se glupo što pitam al zar 1,t,t^2 nije kanonska baza za P2, a kanonska baza je ortonormirana po definiciji? Što propuštam?
Može li me netko prosvijetliti sa trećim zadatkom 2. kolokvija ove godine, svejedno koja grupa?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-1213-kol2.pdf
najbitniji dio bi bilo u vezi ortonormiranja skupa u podzadatku a), osjećam se glupo što pitam al zar 1,t,t^2 nije kanonska baza za P2, a kanonska baza je ortonormirana po definiciji? Što propuštam?
|
|
[Vrh] |
|
|