[quote="GODIMENTI"]Može li za nas koji nismo više u Zagrebu netko napisati rješenja testa?[/quote]
1. Potprsten I prstena R je ideal ako je [tex]RI\subseteq I[/tex] te [tex]IR\subseteq I[/tex]. Dakle, A ce biti ideal u [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] ako i samo ako je [tex]\mathbb{Z}[x]A\subseteq A[/tex] (druga inkluzija nije potrebna jer je [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] komutativan prsten pa je A, kao njegov podskup takodjer komutativan). Imamo [tex]x\in\mathbb{Z}[x], 1\in A[/tex], ali [tex]x\cdot 1=x\notin A[/tex] jer koeficijent uz x polinoma koji je u A mora biti djeljiv s 3.
2. Funkcija F je homomorfizam jer za [tex]p(x)=a_0+a_1x+\cdots a_mx^m[/tex] i [tex]q(x)=b_0+b_1x+\cdots b_nx^n[/tex] vrijedi:
[tex]F(p(x)-q(x))=F((a_0-b_0)+(a_1-b_1)x+\cdots+(a_n-b_n)x^n)=(a_0-b_0)+(a_1-b_1)\sqrt{2}+\cdots+(a_n-b_n)\sqrt{2}^n=\cdots=f(p(x))-f(g(x)).[/tex]
Ovdje bez smanjenja opcenitosti pretpostavljam da je [tex]\max\{m,n\}=n[/tex] i da su svi koeficijenti u p uz [tex]x^{m+1}[/tex] i sve do [tex]x^n[/tex] jednaki 0.
Nesto kompliciranije, [tex]F(p(x)q(x))=F\left(\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{j=0}^k a_jb_{k-j}\right)x^k\right)=\sum_{k=0}^{m+n}F\left(\sum_{j=0}^ka_jb_{k-j}x^k\right)=\sum_{k=0}^{m+n}\sum_{j=0}^ka_jb_{k-j}\sqrt{2}^k=\cdots=p(\sqrt{2})q(\sqrt{2})=F(p(x))F(q(x)).[/tex]
Nije monomorfizam jer je [tex]F(x^2-2)=\sqrt{2}^2-2=0[/tex]. Neka je [tex]a+b\sqrt{2}\in\mathbb{Z}[\sqrt{2}][/tex]. Tada je [tex]f(a+bx)=a+b\sqrt{2}[/tex]. Prema tome, F je epimorfizam.
1. Potprsten I prstena R je ideal ako je [tex]RI\subseteq I[/tex] te [tex]IR\subseteq I[/tex]. Dakle, A ce biti ideal u [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] ako i samo ako je [tex]\mathbb{Z}[x]A\subseteq A[/tex] (druga inkluzija nije potrebna jer je [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] komutativan prsten pa je A, kao njegov podskup takodjer komutativan). Imamo [tex]x\in\mathbb{Z}[x], 1\in A[/tex], ali [tex]x\cdot 1=x\notin A[/tex] jer koeficijent uz x polinoma koji je u A mora biti djeljiv s 3.
2. Funkcija F je homomorfizam jer za [tex]p(x)=a_0+a_1x+\cdots a_mx^m[/tex] i [tex]q(x)=b_0+b_1x+\cdots b_nx^n[/tex] vrijedi:
[tex]F(p(x)-q(x))=F((a_0-b_0)+(a_1-b_1)x+\cdots+(a_n-b_n)x^n)=(a_0-b_0)+(a_1-b_1)\sqrt{2}+\cdots+(a_n-b_n)\sqrt{2}^n=\cdots=f(p(x))-f(g(x)).[/tex]
Ovdje bez smanjenja opcenitosti pretpostavljam da je [tex]\max\{m,n\}=n[/tex] i da su svi koeficijenti u p uz [tex]x^{m+1}[/tex] i sve do [tex]x^n[/tex] jednaki 0.
Nesto kompliciranije, [tex]F(p(x)q(x))=F\left(\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{j=0}^k a_jb_{k-j}\right)x^k\right)=\sum_{k=0}^{m+n}F\left(\sum_{j=0}^ka_jb_{k-j}x^k\right)=\sum_{k=0}^{m+n}\sum_{j=0}^ka_jb_{k-j}\sqrt{2}^k=\cdots=p(\sqrt{2})q(\sqrt{2})=F(p(x))F(q(x)).[/tex]
Nije monomorfizam jer je [tex]F(x^2-2)=\sqrt{2}^2-2=0[/tex]. Neka je [tex]a+b\sqrt{2}\in\mathbb{Z}[\sqrt{2}][/tex]. Tada je [tex]f(a+bx)=a+b\sqrt{2}[/tex]. Prema tome, F je epimorfizam.
_________________
The Dude Abides
