Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
|
[Vrh] |
|
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
Postano: 21:49 pon, 3. 6. 2013 Naslov: |
|
|
6. c) Ja mislim da je to Tm 21.9
d) Imas dokaz u produzetku (ovogodisnje) skripte
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/pred/p_o22.pdf
skroz na kraju
a) je ista stvar, samo direktnim dokazom, jasno mi je na primjeru, ali gubim se u oznakama, ne znam kako bi to opcenito napisali
b) I mene ovo zanima.
Da li ti 3. (2011) pod a) ispada 2PI?
I kako si rijesila 3. pod b) ?
Sad se s njim borim. Direktnim uvrstavanjem se stvar prezakomplicira, nije 1. povezano pa ne mozemo koristit onaj 2.Tm, i ostaje mi samo jos Green po povrsini, ali opet nekakva cuda dobivam.
:S Da li ipak to cudo treba sredit kako treba, ali nisam uopce na pravom putu?
[size=9][color=#999999]Added after 23 minutes:[/color][/size]
Skontala sam, ako ne kontam dobro nek me netko ispravi.
Znaci, kardiodu mogu stisnuti u kruznicu x^2+y^2=1, a da smo cijelo vrijeme u podrucju R^2/ {(1,0)}.
Parametriziram kruznicu kao obicno x=cos(fi) y=sin(fi), fi = [0, 2PI]
I to lijepo uvrstim u w i dobijem rezultat PI, buduci da nije jeddnako 0, naslucujem da bi moglo biti tocno.
6. c) Ja mislim da je to Tm 21.9
d) Imas dokaz u produzetku (ovogodisnje) skripte
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/pred/p_o22.pdf
skroz na kraju
a) je ista stvar, samo direktnim dokazom, jasno mi je na primjeru, ali gubim se u oznakama, ne znam kako bi to opcenito napisali
b) I mene ovo zanima.
Da li ti 3. (2011) pod a) ispada 2PI?
I kako si rijesila 3. pod b) ?
Sad se s njim borim. Direktnim uvrstavanjem se stvar prezakomplicira, nije 1. povezano pa ne mozemo koristit onaj 2.Tm, i ostaje mi samo jos Green po povrsini, ali opet nekakva cuda dobivam.
:S Da li ipak to cudo treba sredit kako treba, ali nisam uopce na pravom putu?
Added after 23 minutes:
Skontala sam, ako ne kontam dobro nek me netko ispravi.
Znaci, kardiodu mogu stisnuti u kruznicu x^2+y^2=1, a da smo cijelo vrijeme u podrucju R^2/ {(1,0)}.
Parametriziram kruznicu kao obicno x=cos(fi) y=sin(fi), fi = [0, 2PI]
I to lijepo uvrstim u w i dobijem rezultat PI, buduci da nije jeddnako 0, naslucujem da bi moglo biti tocno.
|
|
[Vrh] |
|
fkirsek Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51) Postovi: (23)16
|
Postano: 21:59 pon, 3. 6. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="frutabella"]6. c) Ja mislim da je to Tm 21.9
d) Imas dokaz u produzetku (ovogodisnje) skripte
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/pred/p_o22.pdf
skroz na kraju
a) je ista stvar, samo direktnim dokazom, jasno mi je na primjeru, ali gubim se u oznakama, ne znam kako bi to opcenito napisali
b) I mene ovo zanima.
Da li ti 3. (2011) pod a) ispada 2PI?
I kako si rijesila 3. pod b) ?
Sad se s njim borim. Direktnim uvrstavanjem se stvar prezakomplicira, nije 1. povezano pa ne mozemo koristit onaj 2.Tm, i ostaje mi samo jos Green po povrsini, ali opet nekakva cuda dobivam.
:S Da li ipak to cudo treba sredit kako treba, ali nisam uopce na pravom putu?[/quote]
3.b) je riješen na prethodnoj stranici. Pozivaš se na a) u kojem riješenje je [tex]2\pi[/tex]. Da, ima veze sa "stiskanjem" u kružnicu, ali ti to ne treba; dosta je pozvati se na neka često korištena svojstva zatvorenih formi.
6. zadatak
a) Direktnim uvrštavanjem.
[dtex]div F =div (F_1, F_2, F_3) = div(rot G) = (\frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z} , \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x} , \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} ) =\frac{\partial^2 G_3}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 G_2}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 G_1}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 G_3}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 G_2}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 G_1}{\partial y \partial z} = 0[/dtex]
Pretpostavka da je [tex]G[/tex] klase [tex]C^2[/tex] nam treba da bi zamjenili poredak parcijalnog deriviranja.
b) Dakle, tražimo [tex]\mu[/tex] td. je [tex]d\mu= div F dx dy dz = (\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z})dx\wedge dy\wedge dz[/tex].
Kako će konačan zbroj doći iz sva tri člana forme [tex]\mu[/tex], možemo pretpostaviti da će svaka od ovih parcijalni derivacija doći iz točno jednog. Nadalje, pošto će uz član [tex]dx\wedge dy[/tex] "preživjeti" samo parcijalne derivacije po z-u, uzmimo da uz taj član stoji [tex]F_3[/tex]. Analognim zaključivanjem došli bi do forme:
[dtex]\mu = F_3 dx\wedge dy + F_2 dx\wedge dz + F_1 dy\wedge dz[/dtex]
Međutim, kad izračunamo [tex]d\mu[/tex], vidimo da se ne poklapa zbog predznaka sa traženom formom. Dakle, promjenimo predznak drugog člana, pa je rješenje zapravo:
[dtex]\mu = F_3 dx\wedge dy - F_2 dx\wedge dz + F_1 dy\wedge dz[/dtex]
c) je Teorem 22.4.
d) Pretpostavimo da je [tex]divF=0[/tex]. Promatrajmo formu [tex]\mu[/tex] iz b) dijela. Slijedi da je [tex]d\mu = 0[/tex] tj. [tex]\mu[/tex] je zatvorena forma, i to na [tex]U[/tex] koji je zvjezdast skup. Iz toga slijedi da je [tex]\mu[/tex] egzaktna, pa postoji 1-forma [tex]\nu[/tex] td. vrijedi [tex]d\nu = \mu[/tex]. Označimo [tex]\nu = G_1dx + G_2dy + G_3dz[/tex] i raspišimo [tex]d\nu[/tex]. Dobijamo:
[dtex]d\nu = (\frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z})dx\wedge dy - ( \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x})dx\wedge dz +( \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} )dy\wedge dz[/dtex]. Kada to izjednačimo sa formom [tex]\mu[/tex] dobijemo:
[dtex]\mu = F_3 dx\wedge dy - F_2 dx\wedge dz + F_1 dy\wedge dz = (\frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z})dx\wedge dy - ( \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x})dx\wedge dz +( \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} )dy\wedge dz[/dtex] [/dtex] iz čega slijedi
[dtex]F = (F_1,F_2,F_3) = (\frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z} , \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x} , \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} ) [/dtex] što je upravo [tex]rotG[/tex] za funkciju [tex]G = (G_1, G_2, G_3)[/tex]
frutabella (napisa): | 6. c) Ja mislim da je to Tm 21.9
d) Imas dokaz u produzetku (ovogodisnje) skripte
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/pred/p_o22.pdf
skroz na kraju
a) je ista stvar, samo direktnim dokazom, jasno mi je na primjeru, ali gubim se u oznakama, ne znam kako bi to opcenito napisali
b) I mene ovo zanima.
Da li ti 3. (2011) pod a) ispada 2PI?
I kako si rijesila 3. pod b) ?
Sad se s njim borim. Direktnim uvrstavanjem se stvar prezakomplicira, nije 1. povezano pa ne mozemo koristit onaj 2.Tm, i ostaje mi samo jos Green po povrsini, ali opet nekakva cuda dobivam.
:S Da li ipak to cudo treba sredit kako treba, ali nisam uopce na pravom putu? |
3.b) je riješen na prethodnoj stranici. Pozivaš se na a) u kojem riješenje je [tex]2\pi[/tex]. Da, ima veze sa "stiskanjem" u kružnicu, ali ti to ne treba; dosta je pozvati se na neka često korištena svojstva zatvorenih formi.
6. zadatak
a) Direktnim uvrštavanjem.
[dtex]div F =div (F_1, F_2, F_3) = div(rot G) = (\frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z} , \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x} , \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} ) =\frac{\partial^2 G_3}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 G_2}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 G_1}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 G_3}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 G_2}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 G_1}{\partial y \partial z} = 0[/dtex]
Pretpostavka da je [tex]G[/tex] klase [tex]C^2[/tex] nam treba da bi zamjenili poredak parcijalnog deriviranja.
b) Dakle, tražimo [tex]\mu[/tex] td. je [tex]d\mu= div F dx dy dz = (\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z})dx\wedge dy\wedge dz[/tex].
Kako će konačan zbroj doći iz sva tri člana forme [tex]\mu[/tex], možemo pretpostaviti da će svaka od ovih parcijalni derivacija doći iz točno jednog. Nadalje, pošto će uz član [tex]dx\wedge dy[/tex] "preživjeti" samo parcijalne derivacije po z-u, uzmimo da uz taj član stoji [tex]F_3[/tex]. Analognim zaključivanjem došli bi do forme:
[dtex]\mu = F_3 dx\wedge dy + F_2 dx\wedge dz + F_1 dy\wedge dz[/dtex]
Međutim, kad izračunamo [tex]d\mu[/tex], vidimo da se ne poklapa zbog predznaka sa traženom formom. Dakle, promjenimo predznak drugog člana, pa je rješenje zapravo:
[dtex]\mu = F_3 dx\wedge dy - F_2 dx\wedge dz + F_1 dy\wedge dz[/dtex]
c) je Teorem 22.4.
d) Pretpostavimo da je [tex]divF=0[/tex]. Promatrajmo formu [tex]\mu[/tex] iz b) dijela. Slijedi da je [tex]d\mu = 0[/tex] tj. [tex]\mu[/tex] je zatvorena forma, i to na [tex]U[/tex] koji je zvjezdast skup. Iz toga slijedi da je [tex]\mu[/tex] egzaktna, pa postoji 1-forma [tex]\nu[/tex] td. vrijedi [tex]d\nu = \mu[/tex]. Označimo [tex]\nu = G_1dx + G_2dy + G_3dz[/tex] i raspišimo [tex]d\nu[/tex]. Dobijamo:
[dtex]d\nu = (\frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z})dx\wedge dy - ( \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x})dx\wedge dz +( \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} )dy\wedge dz[/dtex]. Kada to izjednačimo sa formom [tex]\mu[/tex] dobijemo:
[dtex]\mu = F_3 dx\wedge dy - F_2 dx\wedge dz + F_1 dy\wedge dz = (\frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z})dx\wedge dy - ( \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x})dx\wedge dz +( \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} )dy\wedge dz[/dtex] [/dtex] iz čega slijedi
[dtex]F = (F_1,F_2,F_3) = (\frac{\partial G_3}{\partial y} - \frac{\partial G_2}{\partial z} , \frac{\partial G_1}{\partial z} - \frac{\partial G_3}{\partial x} , \frac{\partial G_2}{\partial x} - \frac{\partial G_1}{\partial y} ) [/dtex] što je upravo [tex]rotG[/tex] za funkciju [tex]G = (G_1, G_2, G_3)[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
kiara Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57) Postovi: (55)16
|
Postano: 22:56 pon, 3. 6. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="fkirsek"]
[quote="kiara"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf
moze li pomoc sa 2.b),kako parametrizirati tu plohu?meni ispada u xz ravnini kruznica,a u yz i xy parabola,pa ne znam kako bi parametrizirala plohu da bi mogla racunati onu determinantu,ili ima neki drugi nacin kako rjesiti ovo?[/quote]
Radi se o paraboloidu, no to ti nije potrebno da bi znala uvrstiti. Jedna parametrizacija je recimo:
[dtex]
1-y = r^2 \rightarrow y = 1-r^2[/dtex][dtex]
x = r cos \varphi [/dtex][dtex]
z = r sin \varphi [/dtex]
Kad ubaciš u jednadžbu, vidiš da ju ova parametrizacija zadovoljava.
[/quote]
Hvala!mozes li mi pomoci samo u tom istom kolokviju kako u trecem zadatku naci parametrizaciju kvadrata? nemam uopce ideju kako bi nasla parametrizaciju,a treba mi za b) zadatak ako se ne varam
fkirsek (napisa): |
kiara (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf
moze li pomoc sa 2.b),kako parametrizirati tu plohu?meni ispada u xz ravnini kruznica,a u yz i xy parabola,pa ne znam kako bi parametrizirala plohu da bi mogla racunati onu determinantu,ili ima neki drugi nacin kako rjesiti ovo? |
Radi se o paraboloidu, no to ti nije potrebno da bi znala uvrstiti. Jedna parametrizacija je recimo:
[dtex]
1-y = r^2 \rightarrow y = 1-r^2[/dtex][dtex]
x = r cos \varphi [/dtex][dtex]
z = r sin \varphi [/dtex]
Kad ubaciš u jednadžbu, vidiš da ju ova parametrizacija zadovoljava.
|
Hvala!mozes li mi pomoci samo u tom istom kolokviju kako u trecem zadatku naci parametrizaciju kvadrata? nemam uopce ideju kako bi nasla parametrizaciju,a treba mi za b) zadatak ako se ne varam
|
|
[Vrh] |
|
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
Postano: 0:41 uto, 4. 6. 2013 Naslov: |
|
|
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf
Da provjerim jos neke stvari:
1. zad: 2e + 4
2. zad: Parametrizirala sam taj trokut na sljedeci nacin:
[latex]\gamma_1(t)=(t, t-1) [/latex]
[latex]\gamma_2(t)=(1-t, t)[/latex]
[latex]\gamma_3(t)=(0, -2t+1)[/latex]
[latex]za t iz [0,1][/latex]
I onda sam integrirala posebno po svakoj paramterizaciji, no problem nastaje kod ovog [latex]cosxarctg(e^x)[/latex].
Kako to integrirati?
4. zad: Da li ovo zeli da za kruznicu x^2+y^2=1 dokazem jednakost Greenove formule?
Znaci za lijevu stranu odaberem P=-1/2y, a Q=1/2x i ubacim u forumulu i paramteriziram polarnim koordinatama?
A na desnoj strani jednostavno integriram 1.
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf
Da provjerim jos neke stvari:
1. zad: 2e + 4
2. zad: Parametrizirala sam taj trokut na sljedeci nacin:
I onda sam integrirala posebno po svakoj paramterizaciji, no problem nastaje kod ovog .
Kako to integrirati?
4. zad: Da li ovo zeli da za kruznicu x^2+y^2=1 dokazem jednakost Greenove formule?
Znaci za lijevu stranu odaberem P=-1/2y, a Q=1/2x i ubacim u forumulu i paramteriziram polarnim koordinatama?
A na desnoj strani jednostavno integriram 1.
Zadnja promjena: frutabella; 4:11 uto, 4. 6. 2013; ukupno mijenjano 3 put/a.
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
Postano: 1:31 uto, 4. 6. 2013 Naslov: |
|
|
Ne volim ispravljati ljude po forumu jer sam daleko od nekoga tko je za to kompetentan, ali ovaj zadatak s provjerom teorema o rotaciji...
Zaista je rješenje [tex]24\pi[/tex], ali moj je postupak drugačiji. [b]Molim demosa i sve koji ovo vide da me isprave ako sam u krivu.[/b] Ovo je samo moje ponuđeno rješenje koje bih volio provjeriti dok nije prekasno.
Prvo, [tex]z\in [0, 4][/tex], dakle stožac je okrenut "naopako", vrh mu je u [tex](0,0,4)[/tex]. Na vježbama smo u zadatku s unijom cilindra i "poklopca" spomenuli taj poklopac pa je valjak bio "zazidan" s jedne strane, a ploha je bila ta unija. Ovdje se nigdje ne spominje taj "poklopac", dakle ploha koju promatram je samo plašt stošca, a varijabla [tex]z[/tex] govori mi da će rub te plohe biti kružnica u [tex]xy[/tex]-ravnini radijusa 2 (zbog [tex]x^2+y^2=4[/tex]).
Parametrizacija tog ruba mi je [tex]\gamma (t) = (2\cos t, 2\sin t, 0), t\in [0, 2\pi][/tex] i iz toga slijedi da je desna strana teorema jednaka [tex]\displaystyle \int_0^{2\pi} F \cdot T ds = 24\pi[/tex].
E sad, lijeva strana odgovara integralu po tom plaštu, kojeg sam parametrizirao ovako: [tex]\varphi (z, \theta) = (\frac {4-z}{2} \cos \theta, \frac {4-z}{2} \sin \theta, z), \theta \in [0, 2\pi], z\in [0, 4][/tex].
Iz toga slijedi: [tex]\displaystyle \sqrt {det \nabla \varphi ^T \nabla \varphi} = \frac {\sqrt {5} \cdot (4-z)}{4}, N = \frac {1}{\sqrt {5}} (2\cos \theta, 2\sin \theta, 1)[/tex].
Kad to sve uvrstim u formulu [tex]\displaystyle \int_D rotF \cdot N dA[/tex], puno toga se pokrati i dobijem [tex]\displaystyle 3\pi \int_0^4 (4-z)dz = 24\pi[/tex].
Ne volim ispravljati ljude po forumu jer sam daleko od nekoga tko je za to kompetentan, ali ovaj zadatak s provjerom teorema o rotaciji...
Zaista je rješenje [tex]24\pi[/tex], ali moj je postupak drugačiji. Molim demosa i sve koji ovo vide da me isprave ako sam u krivu. Ovo je samo moje ponuđeno rješenje koje bih volio provjeriti dok nije prekasno.
Prvo, [tex]z\in [0, 4][/tex], dakle stožac je okrenut "naopako", vrh mu je u [tex](0,0,4)[/tex]. Na vježbama smo u zadatku s unijom cilindra i "poklopca" spomenuli taj poklopac pa je valjak bio "zazidan" s jedne strane, a ploha je bila ta unija. Ovdje se nigdje ne spominje taj "poklopac", dakle ploha koju promatram je samo plašt stošca, a varijabla [tex]z[/tex] govori mi da će rub te plohe biti kružnica u [tex]xy[/tex]-ravnini radijusa 2 (zbog [tex]x^2+y^2=4[/tex]).
Parametrizacija tog ruba mi je [tex]\gamma (t) = (2\cos t, 2\sin t, 0), t\in [0, 2\pi][/tex] i iz toga slijedi da je desna strana teorema jednaka [tex]\displaystyle \int_0^{2\pi} F \cdot T ds = 24\pi[/tex].
E sad, lijeva strana odgovara integralu po tom plaštu, kojeg sam parametrizirao ovako: [tex]\varphi (z, \theta) = (\frac {4-z}{2} \cos \theta, \frac {4-z}{2} \sin \theta, z), \theta \in [0, 2\pi], z\in [0, 4][/tex].
Iz toga slijedi: [tex]\displaystyle \sqrt {det \nabla \varphi ^T \nabla \varphi} = \frac {\sqrt {5} \cdot (4-z)}{4}, N = \frac {1}{\sqrt {5}} (2\cos \theta, 2\sin \theta, 1)[/tex].
Kad to sve uvrstim u formulu [tex]\displaystyle \int_D rotF \cdot N dA[/tex], puno toga se pokrati i dobijem [tex]\displaystyle 3\pi \int_0^4 (4-z)dz = 24\pi[/tex].
Zadnja promjena: student_92; 15:46 uto, 4. 6. 2013; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
[Vrh] |
|
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
Postano: 2:16 uto, 4. 6. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="student_92"]Ne volim ispravljati ljude po forumu jer sam daleko od nekoga tko je za to kompetentan, ali ovaj zadatak s provjerom teorema o rotaciji...
Zaista je rješenje [tex]24\pi[/tex], ali mi postupak je čudan. [b]Molim demosa i sve koji ovo vide da me isprave ako sam u krivu.[/b] Ovo je samo moje ponuđeno rješenje koje bih volio provjeriti dok nije prekasno.
Prvo, [tex]z\in [0, 4][/tex], dakle stožac je okrenut "naopako", vrh mu je u [tex](0,0,4)[/tex]. Na vježbama smo u zadatku s unijom cilindra i "poklopca" spomenuli taj poklopac pa je valjak bio "zazidan" s jedne strane, a ploha je bila ta unija. Ovdje se nigdje ne spominje taj "poklopac", dakle ploha koju promatram je samo plašt stošca, a varijabla [tex]z[/tex] govori mi da će rub te plohe biti kružnica u [tex]xy[/tex]-ravnini radijusa 2 (zbog [tex]x^2+y^2=4[/tex]).
Parametrizacija tog ruba mi je [tex]\gamma (t) = (2\cos t, 2\sin t, 0), t\in [0, 2\pi][/tex] i iz toga slijedi da je desna strana teorema jednaka [tex]\displaystyle \int_0^{2\pi} F \cdot T ds = 24\pi[/tex].
E sad, lijeva strana odgovara integralu po tom plaštu, kojeg sam parametrizirao ovako: [tex]\varphi (z, \theta) = (\frac {4-z}{2} \cos \theta, \frac {4-z}{2} \sin \theta, z), \theta \in [0, 2\pi], z\in [0, 4][/tex].
Iz toga slijedi: [tex]\displaystyle \sqrt {det \nabla \varphi ^T \nabla \varphi} = \frac {5 \cdot (4-z)^2}{16}, N = \frac {4}{5} \frac {(2\cos \theta, 2\sin \theta, 1)}{4-z}[/tex].
Kad to sve uvrstim u formulu [tex]\displaystyle \int_D rotF \cdot N dA[/tex], puno toga se pokrati i dobijem [tex]\displaystyle 3\pi \int_0^4 (4-z)dz = 24\pi[/tex].[/quote]
Ovo je sigurno tocnije, ja sam zaboravila da se u plastu r mijenja u ovisnosti o z.
[size=9][color=#999999]Added after 16 minutes:[/color][/size]
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf
1.zad:
parametrizacija:
[tex]γ_1 (t)=(1-t,2-t)[/tex]
[tex]γ_2 (t)=(-t,t+1)[/tex]
[tex]γ_3 (t)=(-1,2-2t)[/tex]
[tex]za t∈[0,1]
[/tex]
Posebno po svakoj paramterizaciji rijesvam integral oc 0 do 1:
[tex]
F(γ_i (t))* γ_i'(t)
i=1,2,3
[/tex]
Rezlutat mi je ispao: [tex]-2e^2+3e+ln4-ln5-17/20[/tex]
:roll: Nisam bas sigurna da je ovo dobro, hocu reci, ocekivala sam normalniji rezultat.
Jos jedno pitanje:
Provjerila sam zatovrenost i vidjela da je zatovrena, sto znaci da je i egzaktna, sto znaci da ne ovisi o putu integracije.
Znaci postoji f t.d. ∆f=F.
I onda provjeravam [tex]∫_0^1 F=f(γ_i (0) )-f(γ_i (1) ) [/tex]i zbrojim ta tri rjesenja za i=1,2,3?
Trebalo bi ispasti isto kao da samo isli direktno?
U kolokviju iz 2011. u 2. zadatku ocito forma nije zatvorena, pa smo morali posebno po svakoj parametrizaciji racunati.
Evo rijesila sam na ovaj 2. nacin:
[tex]f(x,y)=xe^x+x/(y+3)+1/(y+3) [/tex]
[tex]∫_0^1 F=f(γ_i (0) )-f(γ_i (1) )=[e^2+1]+ [-e^2-1/4]+ [-e^2-3/5]= -e^2-3/5, [/tex]
za i=3,2,1
student_92 (napisa): | Ne volim ispravljati ljude po forumu jer sam daleko od nekoga tko je za to kompetentan, ali ovaj zadatak s provjerom teorema o rotaciji...
Zaista je rješenje [tex]24\pi[/tex], ali mi postupak je čudan. Molim demosa i sve koji ovo vide da me isprave ako sam u krivu. Ovo je samo moje ponuđeno rješenje koje bih volio provjeriti dok nije prekasno.
Prvo, [tex]z\in [0, 4][/tex], dakle stožac je okrenut "naopako", vrh mu je u [tex](0,0,4)[/tex]. Na vježbama smo u zadatku s unijom cilindra i "poklopca" spomenuli taj poklopac pa je valjak bio "zazidan" s jedne strane, a ploha je bila ta unija. Ovdje se nigdje ne spominje taj "poklopac", dakle ploha koju promatram je samo plašt stošca, a varijabla [tex]z[/tex] govori mi da će rub te plohe biti kružnica u [tex]xy[/tex]-ravnini radijusa 2 (zbog [tex]x^2+y^2=4[/tex]).
Parametrizacija tog ruba mi je [tex]\gamma (t) = (2\cos t, 2\sin t, 0), t\in [0, 2\pi][/tex] i iz toga slijedi da je desna strana teorema jednaka [tex]\displaystyle \int_0^{2\pi} F \cdot T ds = 24\pi[/tex].
E sad, lijeva strana odgovara integralu po tom plaštu, kojeg sam parametrizirao ovako: [tex]\varphi (z, \theta) = (\frac {4-z}{2} \cos \theta, \frac {4-z}{2} \sin \theta, z), \theta \in [0, 2\pi], z\in [0, 4][/tex].
Iz toga slijedi: [tex]\displaystyle \sqrt {det \nabla \varphi ^T \nabla \varphi} = \frac {5 \cdot (4-z)^2}{16}, N = \frac {4}{5} \frac {(2\cos \theta, 2\sin \theta, 1)}{4-z}[/tex].
Kad to sve uvrstim u formulu [tex]\displaystyle \int_D rotF \cdot N dA[/tex], puno toga se pokrati i dobijem [tex]\displaystyle 3\pi \int_0^4 (4-z)dz = 24\pi[/tex]. |
Ovo je sigurno tocnije, ja sam zaboravila da se u plastu r mijenja u ovisnosti o z.
Added after 16 minutes:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf
1.zad:
parametrizacija:
[tex]γ_1 (t)=(1-t,2-t)[/tex]
[tex]γ_2 (t)=(-t,t+1)[/tex]
[tex]γ_3 (t)=(-1,2-2t)[/tex]
[tex]za t∈[0,1]
[/tex]
Posebno po svakoj paramterizaciji rijesvam integral oc 0 do 1:
[tex]
F(γ_i (t))* γ_i'(t)
i=1,2,3
[/tex]
Rezlutat mi je ispao: [tex]-2e^2+3e+ln4-ln5-17/20[/tex]
Nisam bas sigurna da je ovo dobro, hocu reci, ocekivala sam normalniji rezultat.
Jos jedno pitanje:
Provjerila sam zatovrenost i vidjela da je zatovrena, sto znaci da je i egzaktna, sto znaci da ne ovisi o putu integracije.
Znaci postoji f t.d. ∆f=F.
I onda provjeravam [tex]∫_0^1 F=f(γ_i (0) )-f(γ_i (1) ) [/tex]i zbrojim ta tri rjesenja za i=1,2,3?
Trebalo bi ispasti isto kao da samo isli direktno?
U kolokviju iz 2011. u 2. zadatku ocito forma nije zatvorena, pa smo morali posebno po svakoj parametrizaciji racunati.
Evo rijesila sam na ovaj 2. nacin:
[tex]f(x,y)=xe^x+x/(y+3)+1/(y+3) [/tex]
[tex]∫_0^1 F=f(γ_i (0) )-f(γ_i (1) )=[e^2+1]+ [-e^2-1/4]+ [-e^2-3/5]= -e^2-3/5, [/tex]
za i=3,2,1
|
|
[Vrh] |
|
fkirsek Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51) Postovi: (23)16
|
Postano: 10:22 uto, 4. 6. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="frutabella"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf
Da provjerim jos neke stvari:
1. zad: 2e + 4
2. zad: Parametrizirala sam taj trokut na sljedeci nacin:
[latex]\gamma_1(t)=(t, t-1) [/latex]
[latex]\gamma_2(t)=(1-t, t)[/latex]
[latex]\gamma_3(t)=(0, -2t+1)[/latex]
[latex]za t iz [0,1][/latex]
I onda sam integrirala posebno po svakoj paramterizaciji, no problem nastaje kod ovog [latex]cosxarctg(e^x)[/latex].
Kako to integrirati?
4. zad: Da li ovo zeli da za kruznicu x^2+y^2=1 dokazem jednakost Greenove formule?
Znaci za lijevu stranu odaberem P=-1/2y, a Q=1/2x i ubacim u forumulu i paramteriziram polarnim koordinatama?
A na desnoj strani jednostavno integriram 1.[/quote]
1. Radi se o egzaktnoj formi, lako se nađe da je [tex]F = x \sin y + ze^x +2z[/tex]. Dakle, dosta je uvrstiti krajnje točke u potencijal pa rješenje zaista ispadne [tex]2e+4[/tex]
2.Idealno, niti ne želiš integrirati po toj izlomljenoj crti (primjeti da se ne radi o cijelom trokutu već samo o stranicama [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] i [tex]\overrightarrow{BC}[/tex]. Također, ova forma nije zatvorena, pa nije niti egzaktna. No, možemo ju rastaviti na dva dijela, egzaktan i neegzaktan.
[tex](\cos x\cdot arctg(e^x) - y) dx + (2xy - y^2)dy = (\cos x \cdot arctg(e^x) - y + y^2) dx + (2xy - y^2 - x)dy - y^2dx + x dy[/tex]
Neka je prva forma [tex]\mu_1[/tex], a druga [tex]\mu_2[/tex].
Sada je prva forma zatvorena, pa je i egzaktna. Dakle, njen integral po cijelom trokutu bi bio nula. To povlači da je [tex]\int_{\overrightarrow{AB}} \mu_1 + \int_{\overrightarrow{BC}} \mu_1 = -\int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 = \int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 [/tex] a po toj stranici nemaš problema sa ovim [tex](\cos x \cdot arctg(e^x)[/tex] jer po toj stranici nema promjene po x-u pa će to biti konstanta. Po formi [tex]\mu_2[/tex] jednostavno integriraš po definiciji. Zbroj integrala po [tex]\mu_1[/tex] i [tex]\mu_2[/tex] daje konačno rješenje.
4. zad
Da, trebaš dokazati izravno Greenov, ali ne za neku specifičnu formu nego za općenitu formu [tex]Pdx + Qdy[/tex]
[size=9][color=#999999]Added after 27 minutes:[/color][/size]
[quote="frutabella"]
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf
1.zad:
[/tex]
za i=3,2,1[/quote]
1. zad
Čini mi se da ti sve parametrizacije idu unazad. Tj. idu u pozitivnom smjeru, a u zadatku se kreću u negativnom. Onda, ovo sa f-om je točno, i dobar si potencijal našla, ali onda krivo uvrštavaš. Treba ti biti [tex]]\int_0^1 F=f(γ_i (1) )-f(γ_i (0) )[/tex], a ne ono što si ti napisala. Svjestan sam da se to poništi, ali je lakše kad se ne buniš takvim stvarima :D
Na kraju, to što je forma egzaktna znači da će integral ovisiti samo o krajnjim točkama. Dakle, ne moraš uopće računati ovo po dijelovima, rješenje je jednostavno:
[tex]f(1,2) - f(-1,0) = e^2 + \frac{7}{5}[/tex] (ako nisam krivo uvrstio)
[size=9][color=#999999]Added after 8 minutes:[/color][/size]
[quote="kiara"][quote="fkirsek"]
[quote="kiara"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf
moze li pomoc sa 2.b),kako parametrizirati tu plohu?meni ispada u xz ravnini kruznica,a u yz i xy parabola,pa ne znam kako bi parametrizirala plohu da bi mogla racunati onu determinantu,ili ima neki drugi nacin kako rjesiti ovo?[/quote]
Radi se o paraboloidu, no to ti nije potrebno da bi znala uvrstiti. Jedna parametrizacija je recimo:
[dtex]
1-y = r^2 \rightarrow y = 1-r^2[/dtex][dtex]
x = r cos \varphi [/dtex][dtex]
z = r sin \varphi [/dtex]
Kad ubaciš u jednadžbu, vidiš da ju ova parametrizacija zadovoljava.
[/quote]
Hvala!mozes li mi pomoci samo u tom istom kolokviju kako u trecem zadatku naci parametrizaciju kvadrata? nemam uopce ideju kako bi nasla parametrizaciju,a treba mi za b) zadatak ako se ne varam[/quote]
Da, treba ti za b) zadatak. Parametrizaciju je najlakše odrediti tako da prvo odrediš vektorski podprostor, a onda samo dodaš jednu točku. Dakle, ovaj potprostor razapinju vektori [tex]\overrightarrow{AB} = (0, \sqrt{2}, 0)[/tex] i [tex]\overrightarrow{AD} = (-1,0,1)[/tex]. Sada samo dodamo točku A, dakle parametrizacija je:
[tex]\gamma(u,v) = (1,0,0) + u\cdot(0,\sqrt{2},0) + v\cdot(-1,0,1)[/tex], gdje u i v idu od 0 do 1.
frutabella (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf
Da provjerim jos neke stvari:
1. zad: 2e + 4
2. zad: Parametrizirala sam taj trokut na sljedeci nacin:
I onda sam integrirala posebno po svakoj paramterizaciji, no problem nastaje kod ovog .
Kako to integrirati?
4. zad: Da li ovo zeli da za kruznicu x^2+y^2=1 dokazem jednakost Greenove formule?
Znaci za lijevu stranu odaberem P=-1/2y, a Q=1/2x i ubacim u forumulu i paramteriziram polarnim koordinatama?
A na desnoj strani jednostavno integriram 1. |
1. Radi se o egzaktnoj formi, lako se nađe da je [tex]F = x \sin y + ze^x +2z[/tex]. Dakle, dosta je uvrstiti krajnje točke u potencijal pa rješenje zaista ispadne [tex]2e+4[/tex]
2.Idealno, niti ne želiš integrirati po toj izlomljenoj crti (primjeti da se ne radi o cijelom trokutu već samo o stranicama [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] i [tex]\overrightarrow{BC}[/tex]. Također, ova forma nije zatvorena, pa nije niti egzaktna. No, možemo ju rastaviti na dva dijela, egzaktan i neegzaktan.
[tex](\cos x\cdot arctg(e^x) - y) dx + (2xy - y^2)dy = (\cos x \cdot arctg(e^x) - y + y^2) dx + (2xy - y^2 - x)dy - y^2dx + x dy[/tex]
Neka je prva forma [tex]\mu_1[/tex], a druga [tex]\mu_2[/tex].
Sada je prva forma zatvorena, pa je i egzaktna. Dakle, njen integral po cijelom trokutu bi bio nula. To povlači da je [tex]\int_{\overrightarrow{AB}} \mu_1 + \int_{\overrightarrow{BC}} \mu_1 = -\int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 = \int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 [/tex] a po toj stranici nemaš problema sa ovim [tex](\cos x \cdot arctg(e^x)[/tex] jer po toj stranici nema promjene po x-u pa će to biti konstanta. Po formi [tex]\mu_2[/tex] jednostavno integriraš po definiciji. Zbroj integrala po [tex]\mu_1[/tex] i [tex]\mu_2[/tex] daje konačno rješenje.
4. zad
Da, trebaš dokazati izravno Greenov, ali ne za neku specifičnu formu nego za općenitu formu [tex]Pdx + Qdy[/tex]
Added after 27 minutes:
1. zad
Čini mi se da ti sve parametrizacije idu unazad. Tj. idu u pozitivnom smjeru, a u zadatku se kreću u negativnom. Onda, ovo sa f-om je točno, i dobar si potencijal našla, ali onda krivo uvrštavaš. Treba ti biti [tex]]\int_0^1 F=f(γ_i (1) )-f(γ_i (0) )[/tex], a ne ono što si ti napisala. Svjestan sam da se to poništi, ali je lakše kad se ne buniš takvim stvarima
Na kraju, to što je forma egzaktna znači da će integral ovisiti samo o krajnjim točkama. Dakle, ne moraš uopće računati ovo po dijelovima, rješenje je jednostavno:
[tex]f(1,2) - f(-1,0) = e^2 + \frac{7}{5}[/tex] (ako nisam krivo uvrstio)
Added after 8 minutes:
kiara (napisa): | fkirsek (napisa): |
kiara (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf
moze li pomoc sa 2.b),kako parametrizirati tu plohu?meni ispada u xz ravnini kruznica,a u yz i xy parabola,pa ne znam kako bi parametrizirala plohu da bi mogla racunati onu determinantu,ili ima neki drugi nacin kako rjesiti ovo? |
Radi se o paraboloidu, no to ti nije potrebno da bi znala uvrstiti. Jedna parametrizacija je recimo:
[dtex]
1-y = r^2 \rightarrow y = 1-r^2[/dtex][dtex]
x = r cos \varphi [/dtex][dtex]
z = r sin \varphi [/dtex]
Kad ubaciš u jednadžbu, vidiš da ju ova parametrizacija zadovoljava.
|
Hvala!mozes li mi pomoci samo u tom istom kolokviju kako u trecem zadatku naci parametrizaciju kvadrata? nemam uopce ideju kako bi nasla parametrizaciju,a treba mi za b) zadatak ako se ne varam |
Da, treba ti za b) zadatak. Parametrizaciju je najlakše odrediti tako da prvo odrediš vektorski podprostor, a onda samo dodaš jednu točku. Dakle, ovaj potprostor razapinju vektori [tex]\overrightarrow{AB} = (0, \sqrt{2}, 0)[/tex] i [tex]\overrightarrow{AD} = (-1,0,1)[/tex]. Sada samo dodamo točku A, dakle parametrizacija je:
[tex]\gamma(u,v) = (1,0,0) + u\cdot(0,\sqrt{2},0) + v\cdot(-1,0,1)[/tex], gdje u i v idu od 0 do 1.
|
|
[Vrh] |
|
kiara Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57) Postovi: (55)16
|
Postano: 11:20 uto, 4. 6. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="fkirsek"]
2.Idealno, niti ne želiš integrirati po toj izlomljenoj crti (primjeti da se ne radi o cijelom trokutu već samo o stranicama [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] i [tex]\overrightarrow{BC}[/tex]. Također, ova forma nije zatvorena, pa nije niti egzaktna. No, možemo ju rastaviti na dva dijela, egzaktan i neegzaktan.
[tex](\cos x\cdot arctg(e^x) - y) dx + (2xy - y^2)dy = (\cos x \cdot arctg(e^x) - y + y^2) dx + (2xy - y^2 - x)dy - y^2dx + x dy[/tex]
Neka je prva forma [tex]\mu_1[/tex], a druga [tex]\mu_2[/tex].
Sada je prva forma zatvorena, pa je i egzaktna. Dakle, njen integral po cijelom trokutu bi bio nula. To povlači da je [tex]\int_{\overrightarrow{AB}} \mu_1 + \int_{\overrightarrow{BC}} \mu_1 = -\int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 = \int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 [/tex] a po toj stranici nemaš problema sa ovim [tex](\cos x \cdot arctg(e^x)[/tex] jer po toj stranici nema promjene po x-u pa će to biti konstanta. Po formi [tex]\mu_2[/tex] jednostavno integriraš po definiciji. Zbroj integrala po [tex]\mu_1[/tex] i [tex]\mu_2[/tex] daje konačno rješenje.
[/quote]
jel se moze odmah koristiti greenovim teoremom?tj. da racunamo po trokutu dw koja je 2y+1
koje rjesenje tebi ispada?meni je po ovom tvom ispalo 1,a i kad sam ja odmah greenov koristila mi je ispalo 1.
fkirsek (napisa): |
2.Idealno, niti ne želiš integrirati po toj izlomljenoj crti (primjeti da se ne radi o cijelom trokutu već samo o stranicama [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] i [tex]\overrightarrow{BC}[/tex]. Također, ova forma nije zatvorena, pa nije niti egzaktna. No, možemo ju rastaviti na dva dijela, egzaktan i neegzaktan.
[tex](\cos x\cdot arctg(e^x) - y) dx + (2xy - y^2)dy = (\cos x \cdot arctg(e^x) - y + y^2) dx + (2xy - y^2 - x)dy - y^2dx + x dy[/tex]
Neka je prva forma [tex]\mu_1[/tex], a druga [tex]\mu_2[/tex].
Sada je prva forma zatvorena, pa je i egzaktna. Dakle, njen integral po cijelom trokutu bi bio nula. To povlači da je [tex]\int_{\overrightarrow{AB}} \mu_1 + \int_{\overrightarrow{BC}} \mu_1 = -\int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 = \int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 [/tex] a po toj stranici nemaš problema sa ovim [tex](\cos x \cdot arctg(e^x)[/tex] jer po toj stranici nema promjene po x-u pa će to biti konstanta. Po formi [tex]\mu_2[/tex] jednostavno integriraš po definiciji. Zbroj integrala po [tex]\mu_1[/tex] i [tex]\mu_2[/tex] daje konačno rješenje.
|
jel se moze odmah koristiti greenovim teoremom?tj. da racunamo po trokutu dw koja je 2y+1
koje rjesenje tebi ispada?meni je po ovom tvom ispalo 1,a i kad sam ja odmah greenov koristila mi je ispalo 1.
|
|
[Vrh] |
|
fkirsek Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51) Postovi: (23)16
|
|
[Vrh] |
|
kiara Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57) Postovi: (55)16
|
Postano: 12:54 uto, 4. 6. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="fkirsek"][quote="kiara"]
jel se moze odmah koristiti greenovim teoremom?tj. da racunamo po trokutu dw koja je 2y+1
koje rjesenje tebi ispada?meni je po ovom tvom ispalo 1,a i kad sam ja odmah greenov koristila mi je ispalo 1.[/quote]
Ne možeš se pozvati na Greena jer ne integriraš po zatvorenoj krivulji, integriraš samo po dvije od 3 stranice trokuta.
Rezultat nisam izračunao do kraja, al čini mi se da nije pošto mi se pojavljuje [tex]\pi/4[/tex] u prvom integralu.[/quote]
a mozes li mi raspisati samo kako dobis prvi integral?tj integral mi1
Ahaa,skuzila sam, hvala!
fkirsek (napisa): | kiara (napisa): |
jel se moze odmah koristiti greenovim teoremom?tj. da racunamo po trokutu dw koja je 2y+1
koje rjesenje tebi ispada?meni je po ovom tvom ispalo 1,a i kad sam ja odmah greenov koristila mi je ispalo 1. |
Ne možeš se pozvati na Greena jer ne integriraš po zatvorenoj krivulji, integriraš samo po dvije od 3 stranice trokuta.
Rezultat nisam izračunao do kraja, al čini mi se da nije pošto mi se pojavljuje [tex]\pi/4[/tex] u prvom integralu. |
a mozes li mi raspisati samo kako dobis prvi integral?tj integral mi1
Ahaa,skuzila sam, hvala!
|
|
[Vrh] |
|
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
Postano: 16:04 uto, 4. 6. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="fkirsek"][quote="frutabella"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf
Da provjerim jos neke stvari:
1. zad: 2e + 4
2. zad: Parametrizirala sam taj trokut na sljedeci nacin:
[latex]\gamma_1(t)=(t, t-1) [/latex]
[latex]\gamma_2(t)=(1-t, t)[/latex]
[latex]\gamma_3(t)=(0, -2t+1)[/latex]
[latex]za t iz [0,1][/latex]
I onda sam integrirala posebno po svakoj paramterizaciji, no problem nastaje kod ovog [latex]cosxarctg(e^x)[/latex].
Kako to integrirati?
4. zad: Da li ovo zeli da za kruznicu x^2+y^2=1 dokazem jednakost Greenove formule?
Znaci za lijevu stranu odaberem P=-1/2y, a Q=1/2x i ubacim u forumulu i paramteriziram polarnim koordinatama?
A na desnoj strani jednostavno integriram 1.[/quote]
1. Radi se o egzaktnoj formi, lako se nađe da je [tex]F = x \sin y + ze^x +2z[/tex]. Dakle, dosta je uvrstiti krajnje točke u potencijal pa rješenje zaista ispadne [tex]2e+4[/tex]
2.Idealno, niti ne želiš integrirati po toj izlomljenoj crti (primjeti da se ne radi o cijelom trokutu već samo o stranicama [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] i [tex]\overrightarrow{BC}[/tex]. Također, ova forma nije zatvorena, pa nije niti egzaktna. No, možemo ju rastaviti na dva dijela, egzaktan i neegzaktan.
[tex](\cos x\cdot arctg(e^x) - y) dx + (2xy - y^2)dy = (\cos x \cdot arctg(e^x) - y + y^2) dx + (2xy - y^2 - x)dy - y^2dx + x dy[/tex]
Neka je prva forma [tex]\mu_1[/tex], a druga [tex]\mu_2[/tex].
Sada je prva forma zatvorena, pa je i egzaktna. Dakle, njen integral po cijelom trokutu bi bio nula. To povlači da je [tex]\int_{\overrightarrow{AB}} \mu_1 + \int_{\overrightarrow{BC}} \mu_1 = -\int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 = \int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 [/tex] a po toj stranici nemaš problema sa ovim [tex](\cos x \cdot arctg(e^x)[/tex] jer po toj stranici nema promjene po x-u pa će to biti konstanta. Po formi [tex]\mu_2[/tex] jednostavno integriraš po definiciji. Zbroj integrala po [tex]\mu_1[/tex] i [tex]\mu_2[/tex] daje konačno rješenje.
[/quote]
Samo da provjerim jos nesto:
[tex]\int_{\overrightarrow{AB}} \mu_1 + \int_{\overrightarrow{BC}} \mu_1 = -\int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 = \int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 [/tex]
Ovaj integralcic s - , jasno mi je da je minus, ali minus se gubi ako zamijenimo orijentaciju, znaci, trebali bi ici od A do C, zar ne?
Onda i parametrizacija mora ici tako, znaci:
[tex]γ_3 (t)=(0,2t-1)[/tex]
Ma da sad kad izracunam dobijem istu stvar, taj egzaktni dio po
[tex]γ_3 (t)=(0,2t-1)[/tex] ispadne 2/3.
A onaj neegzaktni dio, direktnim uvrstavanjem po [tex]γ_1 (t)[/tex] i [tex]γ_2 (t)[/tex] ispadne 1.
Zbroj: 5/3
[size=9][color=#999999]Added after 21 minutes:[/color][/size]
[quote="fkirsek"]
1. zad
Čini mi se da ti sve parametrizacije idu unazad. Tj. idu u pozitivnom smjeru, a u zadatku se kreću u negativnom. Onda, ovo sa f-om je točno, i dobar si potencijal našla, ali onda krivo uvrštavaš. Treba ti biti [tex]]\int_0^1 F=f(γ_i (1) )-f(γ_i (0) )[/tex], a ne ono što si ti napisala. Svjestan sam da se to poništi, ali je lakše kad se ne buniš takvim stvarima :D
Na kraju, to što je forma egzaktna znači da će integral ovisiti samo o krajnjim točkama. Dakle, ne moraš uopće računati ovo po dijelovima, rješenje je jednostavno:
[tex]f(1,2) - f(-1,0) = e^2 + \frac{7}{5}[/tex] (ako nisam krivo uvrstio)
[/quote]
Aha, ja sam se zaletjela, posto je pisalo u zadatku po orijentiranoj krivulji, odmah sam mislila, pozitivno orijentiranoj.
To sam ispravila, a [tex]]\int_0^1 F=f(γ_i (1) )-f(γ_i (0) )[/tex] sam pogresno prepisala. Dobijemo isti rezultat.
fkirsek (napisa): | frutabella (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf
Da provjerim jos neke stvari:
1. zad: 2e + 4
2. zad: Parametrizirala sam taj trokut na sljedeci nacin:
I onda sam integrirala posebno po svakoj paramterizaciji, no problem nastaje kod ovog .
Kako to integrirati?
4. zad: Da li ovo zeli da za kruznicu x^2+y^2=1 dokazem jednakost Greenove formule?
Znaci za lijevu stranu odaberem P=-1/2y, a Q=1/2x i ubacim u forumulu i paramteriziram polarnim koordinatama?
A na desnoj strani jednostavno integriram 1. |
1. Radi se o egzaktnoj formi, lako se nađe da je [tex]F = x \sin y + ze^x +2z[/tex]. Dakle, dosta je uvrstiti krajnje točke u potencijal pa rješenje zaista ispadne [tex]2e+4[/tex]
2.Idealno, niti ne želiš integrirati po toj izlomljenoj crti (primjeti da se ne radi o cijelom trokutu već samo o stranicama [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] i [tex]\overrightarrow{BC}[/tex]. Također, ova forma nije zatvorena, pa nije niti egzaktna. No, možemo ju rastaviti na dva dijela, egzaktan i neegzaktan.
[tex](\cos x\cdot arctg(e^x) - y) dx + (2xy - y^2)dy = (\cos x \cdot arctg(e^x) - y + y^2) dx + (2xy - y^2 - x)dy - y^2dx + x dy[/tex]
Neka je prva forma [tex]\mu_1[/tex], a druga [tex]\mu_2[/tex].
Sada je prva forma zatvorena, pa je i egzaktna. Dakle, njen integral po cijelom trokutu bi bio nula. To povlači da je [tex]\int_{\overrightarrow{AB}} \mu_1 + \int_{\overrightarrow{BC}} \mu_1 = -\int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 = \int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 [/tex] a po toj stranici nemaš problema sa ovim [tex](\cos x \cdot arctg(e^x)[/tex] jer po toj stranici nema promjene po x-u pa će to biti konstanta. Po formi [tex]\mu_2[/tex] jednostavno integriraš po definiciji. Zbroj integrala po [tex]\mu_1[/tex] i [tex]\mu_2[/tex] daje konačno rješenje.
|
Samo da provjerim jos nesto:
[tex]\int_{\overrightarrow{AB}} \mu_1 + \int_{\overrightarrow{BC}} \mu_1 = -\int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 = \int_{\overrightarrow{CA}}\mu_1 [/tex]
Ovaj integralcic s - , jasno mi je da je minus, ali minus se gubi ako zamijenimo orijentaciju, znaci, trebali bi ici od A do C, zar ne?
Onda i parametrizacija mora ici tako, znaci:
[tex]γ_3 (t)=(0,2t-1)[/tex]
Ma da sad kad izracunam dobijem istu stvar, taj egzaktni dio po
[tex]γ_3 (t)=(0,2t-1)[/tex] ispadne 2/3.
A onaj neegzaktni dio, direktnim uvrstavanjem po [tex]γ_1 (t)[/tex] i [tex]γ_2 (t)[/tex] ispadne 1.
Zbroj: 5/3
Added after 21 minutes:
fkirsek (napisa): |
1. zad
Čini mi se da ti sve parametrizacije idu unazad. Tj. idu u pozitivnom smjeru, a u zadatku se kreću u negativnom. Onda, ovo sa f-om je točno, i dobar si potencijal našla, ali onda krivo uvrštavaš. Treba ti biti [tex]]\int_0^1 F=f(γ_i (1) )-f(γ_i (0) )[/tex], a ne ono što si ti napisala. Svjestan sam da se to poništi, ali je lakše kad se ne buniš takvim stvarima
Na kraju, to što je forma egzaktna znači da će integral ovisiti samo o krajnjim točkama. Dakle, ne moraš uopće računati ovo po dijelovima, rješenje je jednostavno:
[tex]f(1,2) - f(-1,0) = e^2 + \frac{7}{5}[/tex] (ako nisam krivo uvrstio)
|
Aha, ja sam se zaletjela, posto je pisalo u zadatku po orijentiranoj krivulji, odmah sam mislila, pozitivno orijentiranoj.
To sam ispravila, a [tex]]\int_0^1 F=f(γ_i (1) )-f(γ_i (0) )[/tex] sam pogresno prepisala. Dobijemo isti rezultat.
|
|
[Vrh] |
|
fkirsek Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51) Postovi: (23)16
|
|
[Vrh] |
|
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
Postano: 17:34 uto, 4. 6. 2013 Naslov: |
|
|
Provjera: kolokvij 2010
2. zad: Rjesenje mi je [tex]3/8 π[/tex]
Znaci rastavila sam na egzaktni i neegzaktni dio.
[tex]F(x,y)=(e^x siny,e^x cosy)+ (-2y,x)[/tex], prvi dio nazovem G,
a drugi H.
Parametrizacija: [tex]γ(t)=(1/2 cosφ,1/2 sinφ),φ∈[0,π][/tex]
Za G nasla g t.d. [tex]g=G [/tex] [tex]g(x,y,)=e^x siny [/tex]-> integral po rubnim tockama ispadne 0.
A onda jos H dio integriram direktnim uvrstavanjem.
[size=9][color=#999999]Added after 14 minutes:[/color][/size]
2. zad pod b)
Koliko sam skontala to je lezeci paraboloid s vrhom u y=1.
Znaci promatram "kapicu" tog paraboloida za y=0 do y=1.
E sad, paramtrizirala sam ovako:
[tex]F(ϕ,y)=((1-y)cosϕ,y,(1-y)sinϕ)[/tex]
[tex]ϕ∈[0,2π],y∈[0,1][/tex]
I rjesenje: [tex]√2 π[/tex]
[size=9][color=#999999]Added after 13 minutes:[/color][/size]
3. zad:
a) Malo bih htjela da mi netko objasni kako se određuje ovo s normalom, priblizno znam kako odrediti, ali nisam sigurna.
Ja sam odredila
[tex]N= 1/4(1,√2,1)[/tex] (jednostavno uzela ne nul koordinate koje se pojavljuju od svake tocke)
b) Objasnjen u prethodnim postovim.
c) rotF=(5, -2x-1, -1)
d) Parametrizacija:
[tex]γ_1 (t)=(1 √2 t,0)[/tex]
[tex]γ_2 (t)=(1-t,√2,t)[/tex]
[tex]γ_3 (t)=(0,- √2 t+√2,1)[/tex]
[tex]γ_4 (t)=(t,0,1- t) [/tex]
Direktnim uvrstavnjem dobijem: [tex]-√2-3+5√2+1/6=4√2-17/6[/tex]
[size=9][color=#999999]Added after 44 minutes:[/color][/size]
Da se vratim malo na 3. zad iz 2010, pod b) treba odrediti formu povrsine.
Kvadrat smo paramterizirali po rubu.
Znaci k=1, (to je 1-celija, zar ne? ), a n=3.
Znaci imali bi 1-formu i ona bi izgledala:
dA=n_1 dx + n_2 dy + n_3 dz
Kako sad odrediti n_1, n_2, n_3?
Ja sam svaku paramtrizaciju derivirala po t
[tex]γ_1 '(t)=(0 √2 ,0)[/tex]
[tex]γ_2' (t)=(-1,0,1)[/tex]
[tex]γ_3 '(t)=(0,- √2, 0)[/tex]
[tex]γ_4 '(t)=(1,0,- 1) [/tex]
i uvrstila je u formulu za D i kod svake dobijemo rjesenje
[tex]√2[/tex].
Da li onda imamo i 4 puta po n_1, za svaku paramterizaciju jedna.
Znaci: n_1 = 0 za [tex]γ_1 '(t)[/tex]
(prvi "stupac" u toj matrici je 0, pa je 0/korjen(2) =0
n_1 = -1/korjen(2) za [tex]γ_2' (t)=(-1,0,1)[/tex]
(prvi stupac je -1, pa je onda -1/D)
i tako dalje... dobijem ta 4. Onda ih zbrojim?
Ali ako ih zbrojim svi ce u sumi dati nula. :roll:
Provjera: kolokvij 2010
2. zad: Rjesenje mi je [tex]3/8 π[/tex]
Znaci rastavila sam na egzaktni i neegzaktni dio.
[tex]F(x,y)=(e^x siny,e^x cosy)+ (-2y,x)[/tex], prvi dio nazovem G,
a drugi H.
Parametrizacija: [tex]γ(t)=(1/2 cosφ,1/2 sinφ),φ∈[0,π][/tex]
Za G nasla g t.d. [tex]g=G [/tex] [tex]g(x,y,)=e^x siny [/tex]→ integral po rubnim tockama ispadne 0.
A onda jos H dio integriram direktnim uvrstavanjem.
Added after 14 minutes:
2. zad pod b)
Koliko sam skontala to je lezeci paraboloid s vrhom u y=1.
Znaci promatram "kapicu" tog paraboloida za y=0 do y=1.
E sad, paramtrizirala sam ovako:
[tex]F(ϕ,y)=((1-y)cosϕ,y,(1-y)sinϕ)[/tex]
[tex]ϕ∈[0,2π],y∈[0,1][/tex]
I rjesenje: [tex]√2 π[/tex]
Added after 13 minutes:
3. zad:
a) Malo bih htjela da mi netko objasni kako se određuje ovo s normalom, priblizno znam kako odrediti, ali nisam sigurna.
Ja sam odredila
[tex]N= 1/4(1,√2,1)[/tex] (jednostavno uzela ne nul koordinate koje se pojavljuju od svake tocke)
b) Objasnjen u prethodnim postovim.
c) rotF=(5, -2x-1, -1)
d) Parametrizacija:
[tex]γ_1 (t)=(1 √2 t,0)[/tex]
[tex]γ_2 (t)=(1-t,√2,t)[/tex]
[tex]γ_3 (t)=(0,- √2 t+√2,1)[/tex]
[tex]γ_4 (t)=(t,0,1- t) [/tex]
Direktnim uvrstavnjem dobijem: [tex]-√2-3+5√2+1/6=4√2-17/6[/tex]
Added after 44 minutes:
Da se vratim malo na 3. zad iz 2010, pod b) treba odrediti formu povrsine.
Kvadrat smo paramterizirali po rubu.
Znaci k=1, (to je 1-celija, zar ne? ), a n=3.
Znaci imali bi 1-formu i ona bi izgledala:
dA=n_1 dx + n_2 dy + n_3 dz
Kako sad odrediti n_1, n_2, n_3?
Ja sam svaku paramtrizaciju derivirala po t
[tex]γ_1 '(t)=(0 √2 ,0)[/tex]
[tex]γ_2' (t)=(-1,0,1)[/tex]
[tex]γ_3 '(t)=(0,- √2, 0)[/tex]
[tex]γ_4 '(t)=(1,0,- 1) [/tex]
i uvrstila je u formulu za D i kod svake dobijemo rjesenje
[tex]√2[/tex].
Da li onda imamo i 4 puta po n_1, za svaku paramterizaciju jedna.
Znaci: n_1 = 0 za [tex]γ_1 '(t)[/tex]
(prvi "stupac" u toj matrici je 0, pa je 0/korjen(2) =0
n_1 = -1/korjen(2) za [tex]γ_2' (t)=(-1,0,1)[/tex]
(prvi stupac je -1, pa je onda -1/D)
i tako dalje... dobijem ta 4. Onda ih zbrojim?
Ali ako ih zbrojim svi ce u sumi dati nula.
|
|
[Vrh] |
|
kiara Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57) Postovi: (55)16
|
Postano: 18:57 uto, 4. 6. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="frutabella"]
Da se vratim malo na 3. zad iz 2010, pod b) treba odrediti formu povrsine.
Kvadrat smo paramterizirali po rubu.
Znaci k=1, (to je 1-celija, zar ne? ), a n=3.
Znaci imali bi 1-formu i ona bi izgledala:
dA=n_1 dx + n_2 dy + n_3 dz
Kako sad odrediti n_1, n_2, n_3?
Ja sam svaku paramtrizaciju derivirala po t
[tex]γ_1 '(t)=(0 √2 ,0)[/tex]
[tex]γ_2' (t)=(-1,0,1)[/tex]
[tex]γ_3 '(t)=(0,- √2, 0)[/tex]
[tex]γ_4 '(t)=(1,0,- 1) [/tex]
i uvrstila je u formulu za D i kod svake dobijemo rjesenje
[tex]√2[/tex].
Da li onda imamo i 4 puta po n_1, za svaku paramterizaciju jedna.
Znaci: n_1 = 0 za [tex]γ_1 '(t)[/tex]
(prvi "stupac" u toj matrici je 0, pa je 0/korjen(2) =0
n_1 = -1/korjen(2) za [tex]γ_2' (t)=(-1,0,1)[/tex]
(prvi stupac je -1, pa je onda -1/D)
i tako dalje... dobijem ta 4. Onda ih zbrojim?
Ali ako ih zbrojim svi ce u sumi dati nula. :roll:[/quote]
pogledaj si ovdje,vec je netko pitao za taj zadatak i normalu
http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=18102&highlight=http%3A%2F%2Fweb.math.pmf.unizg.hr%2Fnastava%2Fdifraf%2Fint%2F2009-10%2Fkolokvij2.pdf
frutabella (napisa): |
Da se vratim malo na 3. zad iz 2010, pod b) treba odrediti formu povrsine.
Kvadrat smo paramterizirali po rubu.
Znaci k=1, (to je 1-celija, zar ne? ), a n=3.
Znaci imali bi 1-formu i ona bi izgledala:
dA=n_1 dx + n_2 dy + n_3 dz
Kako sad odrediti n_1, n_2, n_3?
Ja sam svaku paramtrizaciju derivirala po t
[tex]γ_1 '(t)=(0 √2 ,0)[/tex]
[tex]γ_2' (t)=(-1,0,1)[/tex]
[tex]γ_3 '(t)=(0,- √2, 0)[/tex]
[tex]γ_4 '(t)=(1,0,- 1) [/tex]
i uvrstila je u formulu za D i kod svake dobijemo rjesenje
[tex]√2[/tex].
Da li onda imamo i 4 puta po n_1, za svaku paramterizaciju jedna.
Znaci: n_1 = 0 za [tex]γ_1 '(t)[/tex]
(prvi "stupac" u toj matrici je 0, pa je 0/korjen(2) =0
n_1 = -1/korjen(2) za [tex]γ_2' (t)=(-1,0,1)[/tex]
(prvi stupac je -1, pa je onda -1/D)
i tako dalje... dobijem ta 4. Onda ih zbrojim?
Ali ako ih zbrojim svi ce u sumi dati nula. |
pogledaj si ovdje,vec je netko pitao za taj zadatak i normalu
http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=18102&highlight=http%3A%2F%2Fweb.math.pmf.unizg.hr%2Fnastava%2Fdifraf%2Fint%2F2009-10%2Fkolokvij2.pdf
|
|
[Vrh] |
|
|