Izomorfizam grupa

[banank0]

može pomoć oko ovog zadatka?

http://prntscr.com/25y3cj

nisam sigurna jel kužim što trebam napraviti

[Loo]

trebaš pokazati da je nemoguće napraviti izomorfizam između te dvije grupe.
tu ti je jako korisna ona lema/propozicija koja kaže da monomorfizam "čuva" red elementa tj. da vrijedi [tex]|f(a)|=|a|[/tex].
i sad pogledaš redove elemenata u [tex]\mathbb{Z}_9[/tex] i vidiš da unutra imaš element reda [tex]9[/tex], to je npr. [tex][1][/tex] (ima ih [tex]\phi(9)=6[/tex]).
a u grupi [tex]\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3 [/tex] ne postoji element reda [tex]9[/tex] (nije ciklička grupa).
dakle nemoguće je napraviti monomorfizam, a time i izomorfizam.
(jer ne može biti [tex]f([1]) \in \mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3[/tex] i [tex]|f([1])|=|[1]|=9[/tex])

[banank0]

joj tog se uopće nisam sjetila, ja sam to išla na drugačiji način

pretpostavila sam da postoji izomorfizam

i onda sam gledala f(3) = f( 2 +9 1) = (f izom) = f(2) +3 f(1)
također rastavim opet f(2) = f(1 +9 1) =f izom =f(1) +3 f(1)

pa dobijem dalje f(1) +3 f(1) +3 f(1)
stavim f(1)=(x,y) pa imamo (x +3 x +3 x, y +3 y +3 y) = (0,0) = f(0) pa vidimo da imamo kontadikciju. Našla sam takav primjer u skripti i po tome radila.

http://prntscr.com/25zr55

ugl imam jedno pitanje još vezano uz određivanje reda u Z3 x Z3
kako bi odredila red od (1,2) ?

[Loo]

čini mi se da bi generalno trebalo vrijediti [tex]|(k,l)|=NZV(|k|,|l|)[/tex] (najmanji zajednički višekratnik)
jer ti tražiš najmanji prirodni broj t.d. [tex](k,l)^n=(k^n,l^n)=(e,e)[/tex]
to znači da redovi od [tex]k, l[/tex] moraju dijeliti [tex]n[/tex] i onda je najmanji takav [tex]n[/tex] baš [tex]NZV(|k|,|l|)[/tex]
znači od [tex]([1],[2])[/tex] bi red bio [tex]3[/tex] jer je red od obje klase u [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] jednak [tex]3[/tex].